正弦线与余弦线-三角函数的概念知识点教师选题进阶选择题自测题答案-河北省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['三角恒等变换综合应用'， '导数与单调性'， '正弦线与余弦线'， '利用函数单调性比较大小']

正确率0.0%已知$$\alpha\in( 0， \， \， \， \frac{\pi} {2} )， \， \， \， \beta\in( 0， \， \， \， \frac{\pi} {2} )，$$且$$\frac\alpha{2 ( 1+\operatorname{c o s} \frac\alpha2 )} < \operatorname{t a n} \beta< \frac{1-\operatorname{c o s} \alpha} \alpha，$$则（）

A.$${\frac{\alpha} {4}} < \beta< {\frac{\alpha} {2}}$$

B.$$\frac{\alpha} {2} < \beta< \alpha$$

C.$$\frac{\alpha} {8} < \beta< \frac{\alpha} {4}$$

D.$${\frac{\alpha} {1 6}} < \beta< {\frac{\alpha} {8}}$$

2、['正切线'， '正弦线与余弦线']

正确率60.0%下面四个不等式中正确的是（）

A.$$\operatorname{s i n} \! {\frac{\pi} {5}} < \operatorname{s i n} \! {\frac{4 \pi} {5}}$$

B.$$\operatorname{s i n} \frac{\pi} {5} > \operatorname{c o s} \frac{4 \pi} {5}$$

C.$$\operatorname{c o s} \frac{\pi} {5} < \operatorname{c o s} \frac{4 \pi} {5}$$

D.$$\operatorname{t a n} \frac{\pi} {5} < \operatorname{t a n} \frac{4 \pi} {5}$$

3、['正弦线与余弦线']

正确率60.0%若角$${{α}}$$的正弦线的长度为$${{1}{，}}$$则角$${{α}}$$的终边在（）

A.$${{x}}$$轴上

B.$${{y}}$$轴上

C.$${{x}}$$轴的正半轴上

D.$${{y}}$$轴的正半轴上

4、['正切线'， '正弦线与余弦线']

正确率60.0%下列关系式中正确的是（）

A.$${{s}{i}{n}{1}{<}{{c}{o}{s}}{1}{<}{{t}{a}{n}}{1}}$$

B.$${{c}{o}{s}{1}{<}{{s}{i}{n}}{1}{<}{{t}{a}{n}}{1}}$$

C.$${{t}{a}{n}{1}{<}{{s}{i}{n}}{1}{<}{{c}{o}{s}}{1}}$$

D.$${{c}{o}{s}{1}{<}{{t}{a}{n}}{1}{<}{{s}{i}{n}}{1}}$$

5、['正弦线与余弦线'， '特殊角的三角函数值']

正确率40.0%在$${{(}{0}{，}{2}{π}{)}}$$内，使$${{s}{i}{n}{x}{>}{{c}{o}{s}}{x}}$$成立的$${{x}}$$的取值范围为（）

A.$$\left( \frac{\pi} {4}， \pi\right)$$

B.$$\left( \frac{\pi} {4}， \frac{5 \pi} {4} \right)$$

C.$$\left( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} \right) \cup\left( \pi， \ \frac{5 \pi} {4} \right)$$

D.$$\left( \frac{\pi} {4}， \pi\right) \cup\left( \frac{3 \pi} {4}， \ \frac{5 \pi} {4} \right)$$

6、['正切线'， '正弦线与余弦线']

正确率60.0%若$$\frac{\pi} {4} < \theta< \frac{\pi} {2}，$$则下列不等式成立的是（）

A.$${{t}{a}{n}{θ}{<}{{c}{o}{s}}{θ}{<}{{s}{i}{n}}{θ}}$$

B.$${{s}{i}{n}{θ}{<}{{t}{a}{n}}{θ}{<}{{c}{o}{s}}{θ}}$$

C.$${{c}{o}{s}{θ}{<}{{t}{a}{n}}{θ}{<}{{s}{i}{n}}{θ}}$$

D.$${{c}{o}{s}{θ}{<}{{s}{i}{n}}{θ}{<}{{t}{a}{n}}{θ}}$$

7、['正切线'， '正弦线与余弦线'， '不等式比较大小']

正确率60.0%若$$\frac{\pi} {4} < \alpha< \frac{\pi} {2}，$$以下不等式成立的是（）

A.$${{s}{i}{n}{α}{<}{{c}{o}{s}}{α}{<}{{t}{a}{n}}{α}}$$

B.$${{c}{o}{s}{α}{<}{{s}{i}{n}}{α}{<}{{t}{a}{n}}{α}}$$

C.$${{c}{o}{s}{α}{<}{{t}{a}{n}}{α}{<}{{s}{i}{n}}{α}}$$

D.$${{s}{i}{n}{α}{<}{{t}{a}{n}}{α}{<}{{c}{o}{s}}{α}}$$

8、['正弦（型）函数的单调性'， '正切线'， '正弦线与余弦线'， '特殊角的三角函数值'， '余弦（型）函数的单调性'， '不等式比较大小']

正确率40.0%已知$${{a}{=}{{s}{i}{n}}{{5}{0}^{∘}}{，}{b}{=}{{c}{o}{s}}{(}{−}{{2}{0}^{∘}}{)}{，}{c}{=}{{t}{a}{n}}{{6}{0}^{∘}}}$$，则（）

A.$${{c}{>}{b}{>}{a}}$$

B.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$

C.$${{b}{>}{a}{>}{c}}$$

D.$${{b}{>}{c}{>}{a}}$$

9、['正切线'， '正弦线与余弦线']

正确率60.0%已知$$\theta\in\textsubscript{(} \frac{\pi} {4}， \ \frac{\pi} {2} \mathbb{)}$$，在单位圆中角$${{θ}}$$的正弦线$${、}$$余弦线$${、}$$正切线的长度分别$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，则它们的大小关系是（）

A.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$

B.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$

C.$${{c}{>}{b}{>}{a}}$$

D.$${{b}{>}{c}{>}{a}}$$

10、['交集'， '绝对值不等式的解法'， '正弦线与余弦线']

正确率40.0%已知集合$$A=\left\{x \left\vert\left\vert x \right\vert\geqslant1 \right\}， \right. \ B=\left\{y \vert y=\sqrt{3 \operatorname{s i n} x+1} \right\}$$，则$${{A}{⋂}{B}{=}{(}{)}}$$

A.$${{[}{1}{，}{2}{]}}$$

B.$${{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{]}{⋃}{{[}{1}{，}{2}{]}}}$$

D.$${{[}{0}{，}{1}{]}}$$

1. 解析：

对于 $$\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$$，利用泰勒展开近似：

$$1 - \cos \alpha \approx \frac{\alpha^2}{2}$$，因此 $$\frac{1 - \cos \alpha}{\alpha} \approx \frac{\alpha}{2}$$。

对于 $$\frac{\alpha}{2(1 + \cos \frac{\alpha}{2})}$$，由于 $$\cos \frac{\alpha}{2} \approx 1 - \frac{(\alpha/2)^2}{2}$$，分母近似为 $$2 - \frac{\alpha^2}{8}$$，整体近似为 $$\frac{\alpha}{4}$$。

因此不等式化简为 $$\frac{\alpha}{4} < \tan \beta < \frac{\alpha}{2}$$。

由于 $$\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$$，且 $$\tan \beta \approx \beta$$（小角度近似），故 $$\beta$$ 的范围为 $$\frac{\alpha}{4} < \beta < \frac{\alpha}{2}$$。

正确答案为 A。

2. 解析：

计算各选项的值：

A. $$\sin \frac{\pi}{5} \approx 0.5878$$，$$\sin \frac{4\pi}{5} \approx 0.9511$$，故 $$\sin \frac{\pi}{5} < \sin \frac{4\pi}{5}$$ 正确。

B. $$\cos \frac{4\pi}{5} = -\cos \frac{\pi}{5} \approx -0.8090$$，故 $$\sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{4\pi}{5}$$ 正确。

C. $$\cos \frac{\pi}{5} \approx 0.8090$$，$$\cos \frac{4\pi}{5} \approx -0.8090$$，故 $$\cos \frac{\pi}{5} > \cos \frac{4\pi}{5}$$，选项错误。

D. $$\tan \frac{\pi}{5} \approx 0.7265$$，$$\tan \frac{4\pi}{5} = \tan (-\frac{\pi}{5}) \approx -0.7265$$，故 $$\tan \frac{\pi}{5} > \tan \frac{4\pi}{5}$$，选项错误。

综上，A、B 正确，但题目为单选题，可能题目有误或选项需调整。

3. 解析：

正弦线长度为 1，即 $$|\sin \alpha| = 1$$，故 $$\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。

终边在 $$y$$ 轴上，可能为正半轴或负半轴。

选项中只有 B（$$y$$ 轴）完全包含所有可能，故正确答案为 B。

4. 解析：

1 弧度约为 $$57.3^\circ$$，计算各函数值：

$$\sin 1 \approx 0.8415$$，$$\cos 1 \approx 0.5403$$，$$\tan 1 \approx 1.5574$$。

因此 $$\cos 1 < \sin 1 < \tan 1$$，对应选项 B。

5. 解析：

解不等式 $$\sin x > \cos x$$，即 $$\sin x - \cos x > 0$$，或 $$\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) > 0$$。

在 $$(0, 2\pi)$$ 内，解为 $$x - \frac{\pi}{4} \in (0, \pi) \cup (2\pi, \frac{9\pi}{4})$$，即 $$x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$$。

正确答案为 B。

6. 解析：

对于 $$\theta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$$：

$$\sin \theta$$ 从 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 增大到 1，$$\cos \theta$$ 从 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 减小到 0，$$\tan \theta$$ 从 1 增大到 $$+\infty$$。

因此 $$\cos \theta < \sin \theta < \tan \theta$$，对应选项 D。

7. 解析：

与第 6 题类似，$$\alpha \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$$ 时：

$$\cos \alpha < \sin \alpha < \tan \alpha$$，对应选项 B。

8. 解析：

计算各值：

$$a = \sin 50^\circ \approx 0.7660$$，$$b = \cos (-20^\circ) = \cos 20^\circ \approx 0.9397$$，$$c = \tan 60^\circ \approx 1.732$$。

因此 $$c > b > a$$，对应选项 A。

9. 解析：

在单位圆中，$$\theta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$$ 时：

正弦线长度 $$a = \sin \theta$$，余弦线长度 $$b = \cos \theta$$，正切线长度 $$c = \tan \theta$$。

由第 6 题结论，$$\cos \theta < \sin \theta < \tan \theta$$，即 $$b < a < c$$，对应选项 B。

10. 解析：

集合 $$A = \{x \mid |x| \geq 1\} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$$。

集合 $$B = \{y \mid y = \sqrt{3 \sin x + 1}\}$$，由于 $$\sin x \in [-1, 1]$$，$$y \in [0, 2]$$。

因此 $$A \cap B = (-\infty, -1] \cup [1, 2]$$，对应选项 C。

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