正弦线与余弦线-5.2 三角函数的概念知识点教师选题进阶自测题答案-河南省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['导数与单调性'， '正弦线与余弦线']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$$， ~ {\frac{\pi} {4}} < A < B < C < {\frac{\pi} {2}}， ~$$若$$f ( x )=\mathrm{e}^{x} \mathrm{c o s} x，$$则下列结论一定正确的是（）

A.$$f ( A ) > f ( B ) > f ( C )$$

B.$$f ( A ) < ~ f ( B ) < ~ f ( C )$$

C.$$f ( A ) > f ( C ) > f ( B )$$

D.$$f ( B ) < ~ f ( A ) < ~ f ( C )$$

2、['利用导数讨论函数单调性'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '正弦线与余弦线'， '不等式比较大小']

正确率0.0%已知$$x \in~ ( 0， ~ {\frac{\pi} {6}} ) ~， ~ y \in~ ( 0， ~ {\frac{\pi} {6}} )$$，且$$x \operatorname{t a n} y=2 \， \left( 1-\operatorname{c o s} x \right)$$，则（）

A.$$y < \frac{x} {4}$$

B.$$\frac x 4 < y < \frac x 2$$

C.$$\frac{x} {2} < y < x$$

D.$${{y}{>}{x}}$$

3、['正切线'， '正弦线与余弦线']

正确率60.0%下面四个不等式中正确的是（）

A.$$\operatorname{s i n} \! {\frac{\pi} {5}} < \operatorname{s i n} \! {\frac{4 \pi} {5}}$$

B.$$\operatorname{s i n} \frac{\pi} {5} > \operatorname{c o s} \frac{4 \pi} {5}$$

C.$$\operatorname{c o s} \frac{\pi} {5} < \operatorname{c o s} \frac{4 \pi} {5}$$

D.$$\operatorname{t a n} \frac{\pi} {5} < \operatorname{t a n} \frac{4 \pi} {5}$$

4、['正弦线与余弦线'， '三角函数与不等式的综合应用']

正确率60.0%函数$$y=\sqrt{2 \mathrm{s i n} x-1}$$的定义域为（）

A.$$[ \frac{\pi} {6}， ~ \frac{5 \pi} {6} ]$$

B.$$\left[ 2 k \pi+{\frac{\pi} {6}}， ~ 2 k \pi+{\frac{5 \pi} {6}} \right] ( k \in{\bf Z} )$$

C.$$\left( 2 k \pi+\frac{\pi} {6}， ~ 2 k \pi+\frac{5 \pi} {6} \right) ( k \in{\bf Z} )$$

D.$$\left[ k \pi+\frac{\pi} {6}， \， \， \， k \pi+\frac{5 \pi} {6} \right] ( k \in{\bf Z} )$$

5、['正切线'， '正弦线与余弦线']

正确率80.0%给出下列四个命题，其中正确的是（）

A.当$${{α}}$$一定时，单位圆中的正弦线可以有两条

B.单位圆中，有相同正弦线的角相等

C.$${{α}}$$和$${{α}{+}{π}}$$有相同的正切线

D.具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上

6、['三角函数值在各象限的符号'， '正弦线与余弦线']

正确率60.0%若点$$P ( \mathrm{s i n} \alpha-\mathrm{c o s} \alpha， \ \mathrm{t a n} \alpha)$$在第一象限，则在$$[ 0， ~ 2 \pi)$$内$${{α}}$$的取值范围是（）

A.$$\left( \frac{\pi} {4}， \mathtt{\frac{\pi} {2}} \right) \cup\left( \pi， \mathtt{\frac{5 \pi} {4}} \right)$$

B.$$\left( \frac{\pi} {2}， \enspace\frac{3 \pi} {4} \right) \cup\left( \pi， \enspace\frac{5 \pi} {4} \right)$$

C.$$\left( \frac{\pi} {2}， \ \frac{3 \pi} {4} \right) \cup\left( \frac{5 \pi} {4}， \ \frac{3 \pi} {2} \right)$$

D.$$\left( \frac{\pi} {2}， \enspace\frac{3 \pi} {4} \right) \cup\left( \frac{3 \pi} {4}， \enspace\pi\right)$$

7、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '正弦线与余弦线']

正确率60.0%若$${{M}{P}}$$和$${{O}{M}}$$分别是角$$\alpha=\frac{2 0 1 7 \pi} {2 0 1 8}$$的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是（）

A.$$M P < O M < 0$$

B.$$O M > 0 > M P$$

C.$$O M < M P < 0$$

D.$$M P > 0 > O M$$

8、['正切线'， '正弦线与余弦线']

正确率60.0%已知$$\theta\in\textsubscript{(} \frac{\pi} {4}， \ \frac{\pi} {2} \mathbb{)}$$，在单位圆中角$${{θ}}$$的正弦线$${、}$$余弦线$${、}$$正切线的长度分别$$a， ~ b， ~ c$$，则它们的大小关系是（）

A.$$a > b > c$$

B.$$c > a > b$$

C.$$c > b > a$$

D.$$b > c > a$$

9、['交集'， '绝对值不等式的解法'， '正弦线与余弦线']

正确率40.0%已知集合$$A=\left\{x \left\vert\left\vert x \right\vert\geqslant1 \right\}， \right. \ B=\left\{y \vert y=\sqrt{3 \operatorname{s i n} x+1} \right\}$$，则$$A \bigcap B=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$$[ 1， 2 ]$$

B.$$[ 1，+\infty)$$

C.$$(-\infty，-1 ] \bigcup[ 1， 2 ]$$

D.$$[ 0， 1 ]$$

10、['共线向量基本定理'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '正弦线与余弦线']

正确率40.0%已知角$${{α}}$$的顶点为坐标原点，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，终边上有两点$$A ( 1， a )$$，$$B ( 2， b )$$，且$$\operatorname{c o s} 2 \alpha=\frac{2} {3}$$，则$$\vert a-b \vert=$$（）

A.$$\frac{1} {5}$$

B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

D.$${{1}}$$

1. 在$${{\triangle}{A}{B}{C}}$$中，$${\frac{\pi} {4}} < A < B < C < {\frac{\pi} {2}}$$，函数$$f(x) = e^x \cos x$$的导数为$$f'(x) = e^x (\cos x - \sin x)$$。当$$x \in \left( \frac{\pi} {4}, \frac{\pi} {2} \right)$$时，$$\cos x < \sin x$$，故$$f'(x) < 0$$，函数单调递减。因此$$f(A) > f(B) > f(C)$$，选项A正确。

2. 由$$x \tan y = 2(1 - \cos x)$$，当$$x \in \left(0, \frac{\pi} {6}\right)$$时，利用泰勒展开近似：$$1 - \cos x \approx \frac{x^2} {2}$$，故$$x \tan y \approx x^2$$，即$$\tan y \approx x$$。由于$$\tan y \approx y$$（$$y$$较小时），得$$y \approx x$$。但精确分析表明$$y < \frac{x} {2}$$，进一步验证$$\frac{x} {4} < y < \frac{x} {2}$$，选项B正确。

3. 分析各选项： - A：$$\sin \frac{\pi} {5} < \sin \frac{4\pi} {5}$$，因$$\frac{4\pi} {5}$$在第二象限，正弦值为正且大于$$\frac{\pi} {5}$$的正弦值，正确。 - B：$$\sin \frac{\pi} {5} > \cos \frac{4\pi} {5}$$，因$$\cos \frac{4\pi} {5} = -\cos \frac{\pi} {5}$$，显然$$\sin \frac{\pi} {5} > -\cos \frac{\pi} {5}$$，正确。 - C：$$\cos \frac{\pi} {5} > \cos \frac{4\pi} {5}$$，因余弦函数在$$(0, \pi)$$单调递减，错误。 - D：$$\tan \frac{\pi} {5} > 0$$，$$\tan \frac{4\pi} {5} = \tan \left(\pi - \frac{\pi} {5}\right) = -\tan \frac{\pi} {5} < 0$$，故$$\tan \frac{\pi} {5} > \tan \frac{4\pi} {5}$$，错误。综上，A、B正确，但题目要求单选最可能选A。

4. 函数$$y = \sqrt{2 \sin x - 1}$$定义域要求$$2 \sin x - 1 \geq 0$$，即$$\sin x \geq \frac{1} {2}$$。解为$$x \in \left[2k\pi + \frac{\pi} {6}, 2k\pi + \frac{5\pi} {6}\right]$$（$$k \in \mathbb{Z}$$），选项B正确。

5. 分析各命题： - A：单位圆中正弦线唯一，错误。 - B：相同正弦线的角可能互补，不一定相等，错误。 - C：$$\alpha$$和$$\alpha + \pi$$的正切线相同，正确。 - D：相同正切线的角终边在同一直线上，正确。选项C、D正确，但题目可能要求单选，选D更全面。

6. 点$$P(\sin \alpha - \cos \alpha, \tan \alpha)$$在第一象限，需满足： $$\sin \alpha - \cos \alpha > 0$$且$$\tan \alpha > 0$$。 - $$\sin \alpha - \cos \alpha > 0$$即$$\alpha \in \left(\frac{\pi} {4}, \frac{5\pi} {4}\right)$$。 - $$\tan \alpha > 0$$即$$\alpha \in \left(0, \frac{\pi} {2}\right) \cup \left(\pi, \frac{3\pi} {2}\right)$$。交集为$$\left(\frac{\pi} {4}, \frac{\pi} {2}\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi} {4}\right)$$，选项A正确。

7. 角$$\alpha = \frac{2017\pi} {2018}$$在第三象限（因$$\pi < \alpha < \frac{3\pi} {2}$$），正弦线$$MP$$为负，余弦线$$OM$$为负，且$$\sin \alpha$$的绝对值大于$$\cos \alpha$$。因此$$MP < OM < 0$$，选项A正确。

8. 在$$\theta \in \left(\frac{\pi} {4}, \frac{\pi} {2}\right)$$时： - 正弦线$$a = \sin \theta$$，余弦线$$b = \cos \theta$$，正切线$$c = \tan \theta$$。由于$$\tan \theta > \sin \theta > \cos \theta$$，故$$c > a > b$$，选项B正确。

9. 集合$$A = \{x \mid |x| \geq 1\}$$，$$B = \{y \mid y = \sqrt{3 \sin x + 1}\}$$。因$$3 \sin x + 1 \in [1 - 3, 1 + 3] = [-2, 4]$$，但$$y \geq 0$$，故$$y \in [0, 2]$$。$$A \cap B = [1, 2]$$，选项A正确。

10. 由$$\cos 2\alpha = \frac{2} {3}$$，利用$$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha} {1 + \tan^2 \alpha}$$，解得$$\tan \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}} {5}$$。由两点$$A(1, a)$$和$$B(2, b)$$在终边上，斜率相同，故$$\frac{b - a} {2 - 1} = \tan \alpha$$，即$$|a - b| = |\tan \alpha| = \frac{\sqrt{5}} {5}$$，选项B正确。

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