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正确率60.0%已知$$a， ~ b， ~ c$$分别是$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的三个内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边，若$$A=4 5^{\circ}， \， \， \， B=6 0^{\circ}， \， \， \， b=\sqrt{3}$$，则$${{a}}$$等于（）
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {6}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${{1}}$$
2、['利用诱导公式化简'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$$\operatorname{s i n} (-\frac{1 1 \pi} {6} )$$的值是（）
C
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
3、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '特殊角的三角函数值']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{s}{i}{n}{A}}$$∶$${{s}{i}{n}{B}}$$∶$$\operatorname{s i n} C=\sqrt{3}$$∶$${{4}}$$∶$${\sqrt {{3}{1}}{，}}$$则角$${{C}}$$的大小为（）
A
A.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
B.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$
4、['正切函数的诱导公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$${{t}{a}{n}{{9}{6}{0}^{∘}}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
5、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%若$$f ( x )=\operatorname{t a n} x+\frac{1} {\operatorname{t a n} x}$$，则$$f ( \frac{\pi} {1 2} )$$的值是（）
D
A.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${{−}{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}}$$
6、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$$2 c o s^{2} \frac{\pi} {1 2}-1$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
7、['正弦定理及其应用'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a=2， \， \， b=2 \sqrt{2}， \， \， \angle A=3 0^{\circ}$$，则$${{∠}{B}}$$等于
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{3}{0}^{∘}}$$或$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{4}{5}^{∘}}$$或$${{1}{3}{5}^{∘}}$$
9、['等比数列的性质'， '特殊角的三角函数值'， '等差数列的性质']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等差数列，$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$为等比数列，且$$a_{2 0 1 7}+a_{2 0 1 8}=\pi， b_{2 0}^{2}=4$$，则$$\operatorname{t a n} {\frac{a_{2}+a_{4 0 3 3}} {b_{1} b_{3 9}}}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
10、['正弦定理及其应用'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle A， ~ \angle B， ~ \angle C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$\angle A=\frac{\pi} {3}， \， \， \， a=\sqrt{3}， \， \， \， b=\sqrt{2}$$，则$${{∠}{B}{=}}$$（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
1. 在三角形$$ABC$$中，已知$$A=45^\circ$$，$$B=60^\circ$$，$$b=\sqrt{3}$$，求边$$a$$。
解析：根据正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，代入已知条件：
$$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60^\circ}$$
计算得：$$a = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2}$$
正确答案：A.$${\sqrt {2}}$$
2. 计算$$\sin \left(-\frac{11\pi}{6}\right)$$的值。
解析：利用正弦函数的周期性和奇偶性：
$$\sin \left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -\sin \left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\sin \left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$
正确答案：C.$$\frac{1}{2}$$
3. 在三角形$$ABC$$中，若$$\sin A : \sin B : \sin C = \sqrt{3} : 4 : \sqrt{31}$$，求角$$C$$的大小。
解析：根据正弦定理，边长比例与正弦值比例相同，设边长$$a = \sqrt{3}k$$，$$b = 4k$$，$$c = \sqrt{31}k$$。
利用余弦定理求角$$C$$：
$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3k^2 + 16k^2 - 31k^2}{2 \cdot \sqrt{3}k \cdot 4k} = \frac{-12k^2}{8\sqrt{3}k^2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
因此，$$C = 150^\circ$$。
正确答案：A.$$150^\circ$$
4. 计算$$\tan 960^\circ$$的值。
解析：利用正切函数的周期性，$$\tan 960^\circ = \tan (960^\circ - 2 \times 360^\circ) = \tan 240^\circ$$。
$$240^\circ$$在第三象限，正切值为正：
$$\tan 240^\circ = \tan (180^\circ + 60^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$
正确答案：D.$${\sqrt {3}}$$
5. 若$$f(x) = \tan x + \frac{1}{\tan x}$$，求$$f\left(\frac{\pi}{12}\right)$$的值。
解析：设$$x = \frac{\pi}{12}$$，则：
$$f(x) = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$$
代入$$x = \frac{\pi}{12}$$：
$$f\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{2}{\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$$
正确答案：D.$$4$$
6. 计算$$2 \cos^2 \frac{\pi}{12} - 1$$的值。
解析：利用余弦倍角公式：
$$2 \cos^2 \theta - 1 = \cos 2\theta$$
代入$$\theta = \frac{\pi}{12}$$：
$$2 \cos^2 \frac{\pi}{12} - 1 = \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
正确答案：C.$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
7. 在三角形$$ABC$$中，已知$$a=2$$，$$b=2\sqrt{2}$$，$$\angle A=30^\circ$$，求$$\angle B$$。
解析：根据正弦定理：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$
代入已知条件：
$$\frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin B}$$
解得：$$\sin B = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
因此，$$\angle B = 45^\circ$$或$$135^\circ$$。
正确答案：D.$$45^\circ$$或$$135^\circ$$
9. 已知数列$$\{a_n\}$$为等差数列，$$\{b_n\}$$为等比数列，且$$a_{2017} + a_{2018} = \pi$$，$$b_{20}^2 = 4$$，求$$\tan \left(\frac{a_2 + a_{4033}}{b_1 b_{39}}\right)$$的值。
解析：设等差数列的公差为$$d$$，等比数列的公比为$$q$$。
由$$a_{2017} + a_{2018} = 2a_1 + (2016 + 2017)d = \pi$$。
注意到$$a_2 + a_{4033} = a_1 + d + a_1 + 4032d = 2a_1 + 4033d$$。
由于$$2016 + 2017 = 4033$$，所以$$a_2 + a_{4033} = \pi$$。
对于等比数列，$$b_{20}^2 = b_1^2 q^{38} = 4$$，因此$$b_1 b_{39} = b_1^2 q^{38} = 4$$。
所以：
$$\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$
正确答案：C.$$1$$
10. 在三角形$$ABC$$中，已知$$\angle A = \frac{\pi}{3}$$，$$a = \sqrt{3}$$，$$b = \sqrt{2}$$，求$$\angle B$$。
解析：根据正弦定理：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$
代入已知条件：
$$\frac{\sqrt{3}}{\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin B}$$
解得：$$\sin B = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
因此，$$\angle B = \frac{\pi}{4}$$。
正确答案：B.$$\frac{\pi}{4}$$