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正确率60.0%在平面直角坐标系中，角$${{α}}$$的顶点为坐标原点，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，终边过点$${{(}{1}{，}{3}{)}{，}}$$则$${{s}{i}{n}{α}{+}{2}{{c}{o}{s}}{α}{=}}$$（）
C
A.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$
D.$$- \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
2、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的余弦公式']正确率60.0%角$${{α}}$$的顶点在坐标原点，始边在$${{x}}$$轴非负半轴上，终边在第二象限，且与单位圆交点的纵坐标为$$\frac{1} {3}，$$将其终边按逆时针方向旋转$${{3}{0}^{∘}}$$后与单位圆交点的横坐标是（）
A
A.$$- \frac{1+2 \sqrt{6}} {6}$$
B.$$- \frac{\sqrt{3}+2 \sqrt{2}} {6}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{6}-1} {6}$$
D.$$\frac{1-2 \sqrt{6}} {6}$$
3、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '利用单位圆定义任意角的三角函数']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的顶点与原点$${{O}}$$重合，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为$$P \left( \frac{4} {5}， \ \frac{3} {5} \right)，$$则$${{c}{o}{s}{(}{π}{−}{α}{)}{=}}$$（）
A
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$$- \frac{3} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
4、['角的旋转对称'， '利用单位圆定义任意角的三角函数']正确率60.0%已知单位圆上第一象限的一点$${{P}}$$沿圆周逆时针旋转$$\frac{\pi} {3}$$到点$${{Q}{，}}$$若点$${{Q}}$$的横坐标为$$- \frac1 2，$$则点$${{P}}$$的横坐标为（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
6、['利用诱导公式化简'， '利用单位圆定义任意角的三角函数'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数']正确率40.0%在平面直角坐标系中，若角$${{α}}$$的顶点与原点重合，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，终边过点$${{P}{（}{−}{\sqrt {3}}{，}{−}{1}{）}}$$，则$$\operatorname{s i n} \ ( \frac{\pi} {2}-\alpha) \ =\ ($$）
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
7、['利用单位圆定义任意角的三角函数']正确率60.0%如果角$${{α}}$$的终边过点$$( 2 \operatorname{c o s} \frac{\pi} {6}， ~-2 \operatorname{s i n} \frac{\pi} {6} )$$，则$${{s}{i}{n}{α}}$$的值等于（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
8、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的顶点在原点，始边为$${{x}}$$轴非负半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点$${{A}{(}{m}{，}{\sqrt {3}}{m}{)}}$$，则$${{s}{i}{n}{2}{α}{=}}$$（）
B
A.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
9、['利用单位圆定义任意角的三角函数']正确率60.0%以原点为圆心的单位圆上一点$${{P}}$$从$${（{1}{，}{0}{）}}$$出发，沿逆时针方向运动$$\frac{2 \pi} {3}$$弧长到达点$${{Q}}$$，则点$${{Q}}$$的坐标为（）
D
A.$$( ~-\frac{\sqrt{3}} {2}， ~-\frac{1} {2} )$$
B.$$( \frac{1} {2}， \ \ -\frac{\sqrt{3}} {2} )$$
C.$$( \mathrm{\Pi-\frac{\sqrt{3}} {2}， \} \frac{1} {2} )$$
D.$$( \mathit{\Lambda}-\frac{1} {2}， \ \frac{\sqrt{3}} {2} )$$
10、['利用单位圆定义任意角的三角函数']正确率60.0%点$${{A}{(}{x}}$$，$${{y}{)}}$$是$${{6}{0}^{∘}}$$角的终边与单位圆的交点，则$$\frac{y} {x}$$的值为（）
A
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
1. 解析：
已知角$$α$$的终边过点$$(1,3)$$，则根据三角函数定义：
$$r = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$
$$\sinα = \frac{3}{\sqrt{10}}$$，$$\cosα = \frac{1}{\sqrt{10}}$$
因此：
$$\sinα + 2\cosα = \frac{3}{\sqrt{10}} + 2 \times \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
但选项中没有此结果，检查计算步骤发现题目要求的是$$\sinα + 2\cosα$$，实际计算正确，但选项C为$$\frac{\sqrt{10}}{2}$$，因此答案为C。
2. 解析：
角$$α$$终边在第二象限，单位圆交点纵坐标为$$\frac{1}{3}$$，则：
$$\sinα = \frac{1}{3}$$，$$\cosα = -\sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$
旋转$$30°$$后，新角为$$α + 30°$$，其横坐标为：
$$\cos(α + 30°) = \cosα \cos30° - \sinα \sin30°$$
$$= \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$$
$$= -\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{1}{6} = -\frac{1 + 2\sqrt{6}}{6}$$
答案为A。
3. 解析：
已知单位圆交点$$P\left(\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)$$，则：
$$\cosα = \frac{4}{5}$$，$$\sinα = \frac{3}{5}$$
根据余弦差公式：
$$\cos(π - α) = -\cosα = -\frac{4}{5}$$
答案为A。
4. 解析：
设点$$P$$的横坐标为$$x$$，旋转$$\frac{π}{3}$$后点$$Q$$的横坐标为$$-\frac{1}{2}$$。
由旋转公式：
$$-\frac{1}{2} = x \cos\frac{π}{3} - \sqrt{1 - x^2} \sin\frac{π}{3}$$
$$-\frac{1}{2} = \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2}$$
整理得：
$$x + 1 = \sqrt{3} \sqrt{1 - x^2}$$
平方后解得$$x = \frac{1}{2}$$（舍去负解）。
答案为B。
6. 解析：
终边过点$$P(-\sqrt{3}, -1)$$，则：
$$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$$
$$\sinα = -\frac{1}{2}$$，$$\cosα = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
根据诱导公式：
$$\sin\left(\frac{π}{2} - α\right) = \cosα = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
答案为B。
7. 解析：
点坐标为$$(2\cos\frac{π}{6}, -2\sin\frac{π}{6})$$，即$$(\sqrt{3}, -1)$$。
$$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$$
$$\sinα = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$$
答案为B。
8. 解析：
单位圆交点$$A(m, \sqrt{3}m)$$满足$$m^2 + (\sqrt{3}m)^2 = 1$$，解得$$m = \pm\frac{1}{2}$$。
若$$m = \frac{1}{2}$$，则$$\sinα = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$\cosα = \frac{1}{2}$$。
$$\sin2α = 2\sinα\cosα = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
若$$m = -\frac{1}{2}$$，结果相同。
答案为B。
9. 解析：
从$$(1,0)$$出发逆时针旋转$$\frac{2π}{3}$$，点$$Q$$的坐标为：
$$\left(\cos\frac{2π}{3}, \sin\frac{2π}{3}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
答案为D（选项D的符号有误，应为$$(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$$）。
10. 解析：
$$60°$$角的终边与单位圆交点为$$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，因此：
$$\frac{y}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$
答案为A。