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正确率80.0%若$$\frac{\pi} {2} < \alpha< \pi，$$则化简$$\sqrt{\frac{1+\mathrm{s i n} \alpha} {1-\mathrm{s i n} \alpha}}-\sqrt{\frac{1-\mathrm{s i n} \alpha} {1+\mathrm{s i n} \alpha}}$$的结果是（）
A
A.$${{−}{2}{{t}{a}{n}}{α}}$$
B.$${{2}{{t}{a}{n}}{α}}$$
C.$$\frac{2 \mathrm{c o s} \alpha} {\mathrm{s i n} \alpha}$$
D.$$- \frac{2 \mathrm{c o s} \alpha} {\mathrm{s i n} \alpha}$$
2、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '三角函数值在各象限的符号'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%若角$${{θ}}$$的终边过点$$( \frac{1} {2}，-\frac{\sqrt{3}} {2} )$$，则$${{s}{i}{n}{θ}}$$等于（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
3、['三角函数值在各象限的符号'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\alpha\in\mathit{\Gamma} ( 0， \mathit{\pi} )$$且$$\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha=\frac{\sqrt{2}} {2}，$$则$$\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha$$的值为（）
D
A.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
B.$$- \frac{\sqrt6} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
4、['三角函数值在各象限的符号'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \， \theta+\operatorname{c o s} \， \theta=\frac{1} {3} (-\pi< \! \theta< 0 )，$$则$$\operatorname{s i n} \， \theta-\operatorname{c o s} \， \theta$$的值为$${{(}{)}}$$．
D
A.$$\frac{\sqrt{1 5}} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt{1 5}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 7}} {3}$$
D.$$- \frac{\sqrt{1 7}} {3}$$
5、['象限角'， '三角函数值在各象限的符号']正确率60.0%如果点$$P \ ( \ 2 \operatorname{s i n} \theta， \ 3 \operatorname{c o s} \theta)$$位于第四象限，那么角$${{θ}}$$所在的象限是（）
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6、['给值求角'， '三角函数值在各象限的符号'， '两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%已知$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{2 \sqrt{5}} {5}， ~ ~ \operatorname{s i n} \beta=\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}，$$且$$\alpha\in\begin{array} {c c c} {( 0， \ \frac{\pi} {2} )} \\ \end{array}， \ \beta\in\begin{array} {c c} {( 0， \ \frac{\pi} {2} )} \\ \end{array}，$$则$${{α}{+}{β}}$$的值（）
B
A.$$\frac{3 \pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{5 \pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$或$$\frac{3 \pi} {4}$$
7、['三角函数值在各象限的符号']正确率60.0%如果$$\mathrm{s i n} \alpha\cdot\mathrm{c o s} \alpha< \ 0， \mathrm{s i n} \alpha\cdot\mathrm{t a n} \alpha< \ 0$$，那么角$${{α}}$$的终边位于（）
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8、['象限角'， '三角函数值在各象限的符号']正确率60.0%已知角$${{α}}$$终边经过点$$P ( \operatorname{s i n} 2 7 3^{\circ}， \operatorname{t a n} 2 7 3^{\circ} )$$，则$${{α}}$$为（）
C
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
9、['三角函数值在各象限的符号']正确率60.0%$$\operatorname{c o s 3} \cdot\operatorname{t a n} 4$$的值（）
A
A.小于$${{0}}$$
B.大于$${{0}}$$
C.等于$${{0}}$$
D.不存在
10、['象限角'， '三角函数值在各象限的符号'， '角度制、弧度制的概念'， '命题的真假性判断']正确率60.0%给出下列命题：其中正确命题的个数是（）
$${①}$$第二象限角大于第一象限角；
$${②}$$三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
$${③}$$不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
$${④}$$若$$\operatorname{s i n} \alpha=\operatorname{s i n} \beta$$，则$${{α}}$$与$${{β}}$$的终边相同；
$${⑤}$$若$$\operatorname{c o s} \theta< 0$$，则$${{θ}}$$是第二或第三象限的角．
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 化简表达式：$$\sqrt{\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}}-\sqrt{\frac{1-\sin \alpha}{1+\sin \alpha}}$$，其中$$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$
令$$x = \sin \alpha$$，则原式可写为$$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$$
通分得：$$\frac{(1+x) - (1-x)}{\sqrt{(1-x)(1+x)}} = \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}$$
由于$$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$，$$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，且$$\sqrt{1-x^2} = |\cos \alpha| = -\cos \alpha$$
因此原式$$= \frac{2\sin \alpha}{-\cos \alpha} = -2\tan \alpha$$
答案：A
2. 角$$\theta$$终边过点$$(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$$
计算$$r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$$
$$\sin \theta = \frac{y}{r} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
答案：C
3. 已知$$\alpha \in (0, \pi)$$且$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
两边平方：$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{1}{2}$$
展开得：$$\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{2}$$
即$$1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}$$，所以$$2\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{2}$$
计算$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$$
由于$$\alpha \in (0, \pi)$$且$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$$，可知$$\alpha \in (0, \frac{3\pi}{4})$$
又$$2\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{2} < 0$$，说明$$\sin \alpha$$和$$\cos \alpha$$异号，故$$\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$$
在此区间$$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，所以$$\sin \alpha - \cos \alpha > 0$$
因此$$\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
答案：D
4. 已知$$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$$，且$$-\pi < \theta < 0$$
两边平方：$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \frac{1}{9}$$
展开得：$$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{9}$$
即$$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9}$$，所以$$2\sin \theta \cos \theta = -\frac{8}{9}$$
计算$$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - 2\sin \theta \cos \theta = 1 - (-\frac{8}{9}) = \frac{17}{9}$$
由于$$-\pi < \theta < 0$$，$$\sin \theta < 0$$，且$$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3} > 0$$，说明$$\cos \theta > 0$$且$$|\cos \theta| > |\sin \theta|$$
因此$$\sin \theta - \cos \theta < 0$$，故$$\sin \theta - \cos \theta = -\sqrt{\frac{17}{9}} = -\frac{\sqrt{17}}{3}$$
答案：D
5. 点$$P(2\sin \theta, 3\cos \theta)$$位于第四象限
第四象限点的特征：$$x > 0$$，$$y < 0$$
即$$2\sin \theta > 0$$且$$3\cos \theta < 0$$
所以$$\sin \theta > 0$$，$$\cos \theta < 0$$
满足此条件的$$\theta$$在第二象限
答案：B
6. 已知$$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，$$\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，且$$\alpha, \beta \in (0, \frac{\pi}{2})$$
计算$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
计算$$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$
计算$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{2\sqrt{5}}{5} \times \frac{3\sqrt{10}}{10} - \frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{6\sqrt{50}}{50} - \frac{\sqrt{50}}{50} = \frac{5\sqrt{50}}{50} = \frac{\sqrt{50}}{10} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
由于$$\alpha, \beta \in (0, \frac{\pi}{2})$$，故$$\alpha + \beta \in (0, \pi)$$
在此区间内$$\cos(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，所以$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$或$$\frac{7\pi}{4}$$（舍去）
但$$\alpha + \beta = \frac{7\pi}{4} > \pi$$，不符合范围，故只有$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$
答案：B
7. 已知$$\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$$，$$\sin \alpha \cdot \tan \alpha < 0$$
由$$\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$$可知$$\sin \alpha$$和$$\cos \alpha$$异号
由$$\sin \alpha \cdot \tan \alpha < 0$$，即$$\sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$$，化简得$$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} < 0$$
由于$$\sin^2 \alpha > 0$$（$$\alpha$$不为象限角轴），所以$$\cos \alpha < 0$$
结合两个条件：$$\cos \alpha < 0$$，且$$\sin \alpha$$和$$\cos \alpha$$异号，故$$\sin \alpha > 0$$
因此$$\alpha$$在第二象限
答案：B
8. 角$$\alpha$$终边经过点$$P(\sin 273^\circ, \tan 273^\circ)$$
计算$$\sin 273^\circ = \sin(270^\circ + 3^\circ) = -\cos 3^\circ < 0$$
计算$$\tan 273^\circ = \tan(270^\circ + 3^\circ) = -\cot 3^\circ < 0$$
所以点P的坐标$$(x, y)$$满足$$x < 0$$，$$y < 0$$
故$$\alpha$$在第三象限
答案：C
9. 判断$$\cos 3 \cdot \tan 4$$的符号
注意3和4是弧度值，约等于171.9°和229.2°
$$\cos 3 < 0$$（3弧度在第二象限）
$$\tan 4 > 0$$（4弧度在第三象限）
所以$$\cos 3 \cdot \tan 4 < 0$$
答案：A
10. 判断命题正确性：
① 第二象限角大于第一象限角：错误。例如30°（第一象限）和150°（第二象限），但30° < 150°；但120°（第二象限）和390°（第一象限），120° < 390°。角度大小比较需具体数值。
② 三角形的内角是第一或第二象限角：错误。直角三角形的直角（90°）不在任何象限。
③ 角度制和弧度制度量与扇形半径无关：正确。角度度量是比例关系，与半径无关。
④ 若$$\sin \alpha = \sin \beta$$，则$$\alpha$$与$$\beta$$终边相同：错误。例如$$\sin 30^\circ = \sin 150^\circ$$，但终边不同。
⑤ 若$$\cos \theta < 0$$，则$$\theta$$是第二或第三象限角：错误。$$\theta$$也可能是轴线角（如180°）或大于360°的角。
只有命题③正确
答案：A