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正确率60.0%若$$f ( \operatorname{s i n} x )=\operatorname{c o s} 2 x$$，则$$f ( \operatorname{c o s} 1 5^{\circ} )$$的值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
2、['利用诱导公式化简'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$$\operatorname{c o s} 1 3 2 0^{\circ}=$$（）
C
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
3、['角的有关概念'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%学生夫哥把高一$${{(}{{2}{0}}{)}}$$班教室里的钟表拨快了一个小时，在这个过程中记时针转过的 角度为$${{θ}}$$ ，则$${{s}{i}{n}{θ}}$$ 的值为（ ）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
4、['正弦定理及其应用'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%设$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， B， C$$所对边为$$a， b， c$$，若$$b=3， c=\sqrt{3}， B=\frac{\pi} {3}$$，则角$${{C}{=}{（}}$$）
B
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\pi} {6} \pm\frac{5 \pi} {6}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
5、['正切线'， '正弦线与余弦线'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%若$$\frac{\pi} {4} < \theta< \frac{\pi} {2}，$$则下列不等式成立的是（）
D
A.$$\operatorname{t a n} \theta< \operatorname{c o s} \theta< \operatorname{s i n} \theta$$
B.$$\operatorname{s i n} \theta< \operatorname{t a n} \theta< \operatorname{c o s} \theta$$
C.$$\operatorname{c o s} \theta< \operatorname{t a n} \theta< \operatorname{s i n} \theta$$
D.$$\operatorname{c o s} \theta< \operatorname{s i n} \theta< \operatorname{t a n} \theta$$
6、['两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知$$3 \operatorname{s i n}^{2} \alpha+2 \operatorname{s i n}^{2} \beta=1， ~ 3 \operatorname{s i n} 2 \alpha-2 \operatorname{s i n} 2 \beta=0$$，且$${{α}{、}{β}}$$都是锐角，则$${{α}{+}{2}{β}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$${{π}}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
7、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率80.0%计算$$\frac{2 \mathrm{t a n} 1 5^{\circ}} {1-\operatorname{t a n}^{2} 1 5^{\circ}}=\langle$$）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
8、['等比中项'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{2} \cdot a_{6}=\frac{2 \pi} {3}$$，则$$\operatorname{s i n} ( a_{4}^{2} \!-\! \frac{\pi} {3} )=\textsubscript{(}$$）
C
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
9、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%计算：$$\operatorname{s i n} \frac{2 \pi} {3}=($$）
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
10、['双曲线的渐近线'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '三角形的面积（公式）'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%抛物线$$y^{2}=1 2 x$$的准线与双曲线$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的两条渐近线所围成的三角形面积等于（）
A
A.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
1. 已知 $$f(\sin x) = \cos 2x$$，求 $$f(\cos 15^\circ)$$。
利用诱导公式：$$\cos 15^\circ = \sin (90^\circ - 15^\circ) = \sin 75^\circ$$。
所以 $$f(\cos 15^\circ) = f(\sin 75^\circ) = \cos (2 \times 75^\circ) = \cos 150^\circ$$。
$$\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案：C
2. 计算 $$\cos 1320^\circ$$。
先将角度化到 $$0^\circ$$ 到 $$360^\circ$$ 之间：$$1320^\circ = 3 \times 360^\circ + 240^\circ$$。
所以 $$\cos 1320^\circ = \cos 240^\circ = \cos (180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$$。
答案：C
3. 钟表拨快1小时，时针转过的角度为 $$\theta$$，求 $$\sin \theta$$。
钟表一圈 $$360^\circ$$ 对应12小时，所以1小时对应 $$30^\circ$$。
拨快1小时，时针顺时针转动 $$30^\circ$$，但角度通常以逆时针为正，故 $$\theta = -30^\circ$$。
$$\sin \theta = \sin (-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$$。
答案：B
4. 在 $$\triangle ABC$$ 中，$$b = 3$$，$$c = \sqrt{3}$$，$$B = \frac{\pi}{3}$$，求角 $$C$$。
由正弦定理：$$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$。
代入：$$\frac{3}{\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin C}$$，即 $$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin C}$$。
化简得：$$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin C}$$，即 $$2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sin C}$$。
解得 $$\sin C = \frac{1}{2}$$。由于 $$c < b$$，故 $$C < B$$，$$C = \frac{\pi}{6}$$。
答案：B
5. 若 $$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$$，比较 $$\sin \theta$$、$$\cos \theta$$、$$\tan \theta$$ 的大小。
在该区间内，$$\sin \theta$$ 从 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 增大到1，$$\cos \theta$$ 从 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 减小到0，$$\tan \theta$$ 从1增大到无穷大。
所以有 $$\cos \theta < \sin \theta < \tan \theta$$。
答案：D
6. 已知 $$3 \sin^2 \alpha + 2 \sin^2 \beta = 1$$，$$3 \sin 2\alpha - 2 \sin 2\beta = 0$$，且 $$\alpha$$、$$\beta$$ 为锐角，求 $$\alpha + 2\beta$$。
由第一式：$$3 \sin^2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \beta = \cos 2\beta$$。
由第二式：$$3 \sin 2\alpha = 2 \sin 2\beta$$，即 $$6 \sin \alpha \cos \alpha = 4 \sin \beta \cos \beta$$。
两边平方：$$36 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 16 \sin^2 \beta \cos^2 \beta$$。
代入 $$\cos 2\beta = 3 \sin^2 \alpha$$，并利用 $$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$$，经过化简可得 $$\sin \alpha = \frac{1}{2}$$，即 $$\alpha = \frac{\pi}{6}$$。
代入原式得 $$\sin \beta = \frac{1}{2}$$，$$\beta = \frac{\pi}{6}$$。
所以 $$\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$$。
答案：A
7. 计算 $$\frac{2 \tan 15^\circ}{1 - \tan^2 15^\circ}$$。
由正切二倍角公式：$$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$。
所以原式 $$= \tan (2 \times 15^\circ) = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。
答案：C
8. 等比数列中 $$a_2 \cdot a_6 = \frac{2\pi}{3}$$，求 $$\sin (a_4^2 - \frac{\pi}{3})$$。
在等比数列中，$$a_2 \cdot a_6 = a_4^2$$，所以 $$a_4^2 = \frac{2\pi}{3}$$。
代入：$$\sin (a_4^2 - \frac{\pi}{3}) = \sin (\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案：C
9. 计算 $$\sin \frac{2\pi}{3}$$。
$$\sin \frac{2\pi}{3} = \sin (\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案：B
10. 抛物线 $$y^2 = 12x$$ 的准线与双曲线 $$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{3} = 1$$ 的渐近线围成三角形面积。
抛物线 $$y^2 = 12x$$ 的准线为 $$x = -3$$。
双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$$。
将 $$x = -3$$ 代入渐近线方程，得交点 $$(-3, \sqrt{3})$$ 和 $$(-3, -\sqrt{3})$$。
两条渐近线交于原点 $$(0, 0)$$。
三角形的底边长为 $$2\sqrt{3}$$，高为3，面积 $$S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 3 = 3\sqrt{3}$$。
答案：A