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正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$a=2， \， \， \， B={\frac{\pi} {4}}， \， \， \， S_{\triangle A B C}=4$$，则$${{b}{=}{（}}$$）
C
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{5}}$$
2、['两点间的斜率公式'， '特殊角的三角函数值'， '直线的倾斜角']正确率60.0%经过两点$$A ( 4， y+1 )， ~ B ( 2，-3 )$$的直线的倾斜角为$$\frac{3 \pi} {4}，$$则$${{y}{=}}$$（）
B
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{6}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{3}}$$
3、['函数的周期性'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \frac{\pi x} {3}$$，则$$f \left( 1 \right) ~+f \left( 2 \right) ~+\ldots+f \left( \ 2 0 1 0 \right) ~=~ ($$）
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$${{0}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
4、['简单复合函数的导数'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( a x+\frac{\pi} {4} )$$，若$$f^{'} ( 0 )=\sqrt{2}$$，则（）
D
A.$${{a}{=}{−}{2}}$$
B.$${{a}{=}{0}}$$
C.$${{a}{=}{1}}$$
D.$${{a}{=}{2}}$$
6、['向量垂直'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=\ ( \sqrt{3}， \ \ -\sin\theta) \ \， \ \ \overrightarrow{b}=\ ( \ \cos\theta， \ 1 )$$且$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$${{θ}}$$为（）
A
A.$$\frac\pi3+k \pi\left( \ k \in Z \right)$$
B.$$\frac{\pi} {6}+2 k \pi\textsub( k \in Z )$$
C.$$\frac{\pi} {3}+2 k \pi\textsubscript{( k \in Z )}$$
D.$$\frac{\pi} {6}+k \pi\left( . k \in Z \right)$$
7、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%已知$${{∠}{A}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的一个内角，且$$\operatorname{t a n} A-\sqrt{3} \geqslant0，$$则$${{s}{i}{n}{A}}$$的取值范围是（）
A
A.$$[ \frac{\sqrt{3}} {2}， \ 1 )$$
B.$$[ \frac{1} {2}， \ 1 )$$
C.$$[ \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 1 ]$$
D.$$[ \frac{1} {2}， ~ \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$
8、['余弦定理及其应用'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$C=\frac{\pi} {3}， \ 3 a=2 c=6$$，则$${{b}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\sqrt6-1$$
D.$${{1}{+}{\sqrt {6}}}$$
9、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$a， b， c$$分别是角$$A， B， C$$的对边，若$$b \operatorname{s i n} A-\sqrt{3} a \operatorname{c o s} B=0$$，且$$b^{2}=a c$$，则$$\frac{a+c} {b}$$的值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${{4}}$$
10、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形'， '特殊角的三角函数值'， '基本不等式的实际应用']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{s i n}^{2} A \leqslant\operatorname{s i n}^{2} B+\operatorname{s i n}^{2} C-\operatorname{s i n} \， B \cdot\operatorname{s i n} \， C$$，则$${{A}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\left( 0， \frac{\pi} {6} \right]$$
B.$$\left( 0， \frac{\pi} {3} \right]$$
C.$$[ \frac{\pi} {6}， \pi)$$
D.$$[ \frac{\pi} {3}， \pi)$$
1. 已知三角形$$ABC$$中，$$a=2$$，$$B=\frac{\pi}{4}$$，面积为4，求边长$$b$$。
解析：
步骤1：利用面积公式$$S=\frac{1}{2}ac\sin B$$，代入已知条件：
$$4 = \frac{1}{2} \times 2 \times c \times \sin \frac{\pi}{4}$$
解得$$c = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$$。
步骤2：利用余弦定理求$$b$$：
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B = 4 + 32 - 2 \times 2 \times 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 20$$
因此$$b = 2\sqrt{5}$$，答案为C。
2. 已知直线经过两点$$A(4, y+1)$$和$$B(2, -3)$$，倾斜角为$$\frac{3\pi}{4}$$，求$$y$$。
解析：
步骤1：倾斜角为$$\frac{3\pi}{4}$$，斜率为$$\tan \frac{3\pi}{4} = -1$$。
步骤2：利用斜率公式：
$$\frac{y+1 - (-3)}{4-2} = -1$$
解得$$y = -6$$，答案为B。
3. 计算函数$$f(x) = \sin \frac{\pi x}{3}$$在$$x=1$$到$$x=2010$$的和。
解析：
步骤1：函数$$f(x)$$的周期为$$T = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$$。
步骤2：计算一个周期内的和：
$$f(1) + f(2) + \dots + f(6) = \sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{2\pi}{3} + \dots + \sin 2\pi = 0$$
步骤3：2010个点包含335个完整周期（$$2010 = 335 \times 6$$），因此总和为0，答案为B。
4. 已知函数$$f(x) = \sin(ax + \frac{\pi}{4})$$，且$$f'(0) = \sqrt{2}$$，求$$a$$。
解析：
步骤1：求导数$$f'(x) = a \cos(ax + \frac{\pi}{4})$$。
步骤2：代入$$x=0$$：
$$f'(0) = a \cos \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$$
解得$$a = 2$$，答案为D。
6. 已知向量$$\overrightarrow{a} = (\sqrt{3}, -\sin \theta)$$与$$\overrightarrow{b} = (\cos \theta, 1)$$垂直，求$$\theta$$。
解析：
步骤1：由垂直条件$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$得：
$$\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta = 0$$
步骤2：化简为$$\tan \theta = \sqrt{3}$$，解得$$\theta = \frac{\pi}{3} + k\pi$$，答案为A。
7. 已知$$\tan A - \sqrt{3} \geq 0$$，求$$\sin A$$的取值范围。
解析：
步骤1：由$$\tan A \geq \sqrt{3}$$得$$A \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$$。
步骤2：$$\sin A$$在$$\left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$$上单调递增，最小值为$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，趋近于1，因此取值范围为$$\left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$$，答案为A。
8. 在三角形$$ABC$$中，$$C=\frac{\pi}{3}$$，$$3a=2c=6$$，求$$b$$。
解析：
步骤1：由$$3a=6$$得$$a=2$$，由$$2c=6$$得$$c=3$$。
步骤2：利用余弦定理：
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
$$9 = 4 + b^2 - 2 \times 2 \times b \times \frac{1}{2}$$
解得$$b=1+\sqrt{6}$$，答案为D。
9. 在三角形$$ABC$$中，$$b \sin A - \sqrt{3} a \cos B = 0$$且$$b^2 = a c$$，求$$\frac{a+c}{b}$$。
解析：
步骤1：由正弦定理，$$b \sin A = a \sin B$$，代入第一个条件得：
$$a \sin B = \sqrt{3} a \cos B$$，即$$\tan B = \sqrt{3}$$，$$B=\frac{\pi}{3}$$。
步骤2：由余弦定理和$$b^2 = a c$$得：
$$b^2 = a^2 + c^2 - a c = a c$$，即$$a^2 + c^2 = 2 a c$$，$$(a-c)^2 = 0$$，因此$$a = c$$。
步骤3：由正弦定理得$$\frac{a+c}{b} = \frac{2a}{b} = \frac{2 \sin A}{\sin B}$$。
由于$$A = C = \frac{\pi}{3}$$，$$\frac{2 \sin \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{3}} = 2$$，答案为A。
10. 在三角形$$ABC$$中，$$\sin^2 A \leq \sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C$$，求$$A$$的取值范围。
解析：
步骤1：利用正弦定理将不等式转化为边长关系：
$$a^2 \leq b^2 + c^2 - b c$$
步骤2：由余弦定理$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos A$$，代入得：
$$b^2 + c^2 - 2 b c \cos A \leq b^2 + c^2 - b c$$
化简得$$\cos A \geq \frac{1}{2}$$，即$$A \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right]$$，答案为B。