三角函数值在各象限的符号-5.2 三角函数的概念知识点课后进阶自测题答案-重庆市等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['利用诱导公式化简'， '三角函数值在各象限的符号']

正确率60.0%化简$$\sqrt{1+2 \mathrm{c o s}^{2} ( \pi-5 ) \mathrm{t a n} ( \pi-5 )}$$的结果是（）

A.$$\operatorname{s i n} 5-\operatorname{c o s} 5$$

B.$$\mathrm{c o s 5}-\mathrm{s i n} 5$$

C.$$\operatorname{s i n} 5+\operatorname{c o s} 5$$

D.$$- \mathrm{c o s} 5-\mathrm{s i n} 5$$

2、['三角函数值在各象限的符号'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']

正确率60.0%已知角$$A， ~ B， ~ C$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角，$$\operatorname{s i n} A+\operatorname{c o s} A=\frac{5} {1 3}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$为（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.无法判断

3、['三角函数值在各象限的符号'， '判断三角形的形状'， '两角和与差的正弦公式']

正确率60.0%已知$$a， ~ b， ~ c$$分别是$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边，若$${\frac{\operatorname{s i n} \! C} {\operatorname{s i n} \! B}} < \operatorname{c o s} A，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状为（）

A.钝角三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.等边三角形

4、['利用诱导公式求值'， '三角函数值在各象限的符号'， '同角三角函数的平方关系']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2}+x )=\frac{5} {1 3}，$$且$${{x}}$$是第四象限角，则$${{s}{i}{n}{x}}$$的值等于（）

A.$$- \frac{1 2} {1 3}$$

B.$$- \frac{5} {1 3}$$

C.$$\frac{1 2} {1 3}$$

D.$$\frac{5} {1 3}$$

5、['利用诱导公式化简'， '三角函数值在各象限的符号'， '同角三角函数的平方关系']

正确率60.0%已知$${{θ}}$$是第四象限角，则$$\frac{2 \operatorname{s i n} ( \frac{3 \pi} {2}+\theta)} {\sqrt{1-\operatorname{s i n}^{2} \theta}}+\frac{\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}-\theta)} {\sqrt{1-\operatorname{c o s}^{2} \theta}}$$的值为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{−}{3}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{−}{1}}$$

6、['三角函数值在各象限的符号']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \theta\operatorname{c o s} \theta> 0，$$则$${{θ}}$$在（）

A.第一$${、}$$第二象限

B.第一$${、}$$第三象限

C.第一$${、}$$第四象限

D.第二$${、}$$第四象限

7、['三角函数值在各象限的符号'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']

正确率40.0%化简$$2 \sqrt{1+\operatorname{s i n} 4}+\sqrt{2+2 \operatorname{c o s} 4}$$的结果是（）

A.$${{2}{{c}{o}{s}}}$$$${{2}}$$

B.$${{2}{{s}{i}{n}}}$$$${{2}}$$

C.$${{4}{{s}{i}{n}}}$$$$2+2 \operatorname{c o s} 2$$

D.$${{2}{{s}{i}{n}}}$$$$2+4 \operatorname{c o s} 2$$

8、['三角函数值在各象限的符号'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数']

正确率60.0%已知 $\text{[math]}$ 则角$${{α}}$$的终边在第（）象限．

A.一

B.二

C.三

D.四

9、['象限角'， '三角函数值在各象限的符号']

正确率60.0%角$${{α}}$$的终边在第一象限，则$$\frac{\operatorname{s i n} \frac{\alpha} {2}} {| \operatorname{s i n} \frac{\alpha} {2} |}+\frac{\operatorname{c o s} \frac{\alpha} {2}} {| \operatorname{c o s} \frac{\alpha} {2} |}$$的取值集合为（）

A.$$\{-2， ~ 2 \}$$

B.$$\{0， ~ 2 \}$$

C.$${{\{}{2}{\}}}$$

D.$$\{0， ~-2， ~ 2 \}$$

10、['三角函数值在各象限的符号'， '同角三角函数的平方关系'， '半角公式']

正确率60.0%已知$$\alpha\in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)， \operatorname{s i n} \alpha=\frac{3} {5}$$，则$$\operatorname{t a n} \frac{\alpha} {2}=$$（）

A.$${{3}}$$

B.$${{−}{3}}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$- \frac{1} {3}$$

1. 化简表达式 $$\sqrt{1+2 \cos^{2} (\pi-5) \tan (\pi-5)}$$：

利用三角函数的性质：

$$\cos(\pi-5) = -\cos 5$$
$$\tan(\pi-5) = -\tan 5$$

因此，表达式变为： $$\sqrt{1 + 2 \cos^2 5 \cdot (-\tan 5)} = \sqrt{1 - 2 \cos^2 5 \cdot \frac{\sin 5}{\cos 5}} = \sqrt{1 - 2 \cos 5 \sin 5}$$ 进一步化简： $$\sqrt{1 - \sin 10}$$ 但选项中没有直接匹配的答案。重新检查题目，可能题目有笔误或需要其他方法。

2. 判断三角形 $$△ABC$$ 的形状：

已知 $$\sin A + \cos A = \frac{5}{13}$$，平方得： $$(\sin A + \cos A)^2 = \frac{25}{169}$$ 展开： $$1 + 2 \sin A \cos A = \frac{25}{169}$$ 解得： $$\sin A \cos A = -\frac{72}{169} < 0$$ 由于 $$\sin A \cos A < 0$$，说明 $$\cos A < 0$$（因为 $$\sin A > 0$$ 在三角形内），即角 $$A$$ 为钝角。因此，$$△ABC$$ 为钝角三角形。

3. 判断三角形 $$△ABC$$ 的形状：

已知 $$\frac{\sin C}{\sin B} < \cos A$$，利用正弦定理： $$\frac{\sin C}{\sin B} = \frac{c}{b}$$ 根据余弦定理： $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ 因此： $$\frac{c}{b} < \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ 化简： $$2c^2 < b^2 + c^2 - a^2$$ 即： $$c^2 + a^2 < b^2$$ 根据余弦定理，$$B$$ 为钝角，因此 $$△ABC$$ 为钝角三角形。

4. 求 $$\sin x$$ 的值：

已知 $$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \frac{5}{13}$$，利用诱导公式： $$\cos x = \frac{5}{13}$$ 由于 $$x$$ 在第四象限，$$\sin x < 0$$，因此： $$\sin x = -\sqrt{1 - \cos^2 x} = -\frac{12}{13}$$

5. 求表达式的值：

化简表达式： $$\frac{2 \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right)}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} + \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$$ 利用诱导公式： $$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = -\cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ 因此： $$\frac{2(-\cos \theta)}{|\cos \theta|} + \frac{\sin \theta}{|\sin \theta|}$$ 由于 $$\theta$$ 在第四象限，$$\cos \theta > 0$$，$$\sin \theta < 0$$，所以： $$-2 + (-1) = -3$$

6. 确定 $$\theta$$ 的象限：

$$\sin \theta \cos \theta > 0$$ 等价于 $$\sin \theta$$ 和 $$\cos \theta$$ 同号，即 $$\theta$$ 在第一或第三象限。

7. 化简表达式：

化简 $$2 \sqrt{1 + \sin 4} + \sqrt{2 + 2 \cos 4}$$：利用半角公式： $$\sqrt{1 + \sin 4} = \sin 2 + \cos 2$$ $$\sqrt{2 + 2 \cos 4} = 2 \cos 2$$ 因此： $$2(\sin 2 + \cos 2) + 2 \cos 2 = 2 \sin 2 + 4 \cos 2$$

8. 判断角 $$\alpha$$ 的终边象限：

题目不完整，无法解析。

9. 求表达式的取值集合：

角 $$\alpha$$ 在第一象限，因此 $$\frac{\alpha}{2}$$ 也在第一象限或第二象限。

若 $$\frac{\alpha}{2}$$ 在第一象限，$$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$$，$$\cos \frac{\alpha}{2} > 0$$，表达式值为 $$2$$。
若 $$\frac{\alpha}{2}$$ 在第二象限，$$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$$，$$\cos \frac{\alpha}{2} < 0$$，表达式值为 $$0$$。

因此，取值集合为 $$\{0, 2\}$$。

10. 求 $$\tan \frac{\alpha}{2}$$：

已知 $$\sin \alpha = \frac{3}{5}$$，且 $$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$，则： $$\cos \alpha = \frac{4}{5}$$ 利用半角公式： $$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{3}$$

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