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正确率60.0%已知点$${{M}}$$是直线$$y=\frac{1} {2} x$$与单位圆在第一象限内的交点，设$$\angle x O M=\alpha，$$则$$\operatorname{c o s} 2 \alpha=$$（）
B
A.$$- \frac{3} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
2、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的顶点与坐标原点重合，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，其终边与单位圆相交于点$$P \left(-\frac{1} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} \right)$$，则$$\operatorname{c o s} 2 \alpha=$$（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
3、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '利用单位圆定义任意角的三角函数'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%svg异常，非svg图片
C
A.$${{2}{4}{0}{\sqrt {3}}}$$米
B.$$1 8 0 ( \sqrt{2}-1 )$$米
C.$$1 2 0 ( \sqrt{3}-1 )$$米
D.$$3 0 ( \sqrt{3}+1 )$$米
4、['两点间的距离'， '利用单位圆定义任意角的三角函数']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的终边经过点
，则$$3 \operatorname{s i n} \alpha+2 \operatorname{c o s} \alpha$$的值等于（）
A
A.$$\frac{6} {5}$$
B.$$\pm\frac{6} {5}$$
C.$$- \frac{1} {5}$$
D.$$\pm\frac{1} {5}$$
5、['利用诱导公式求值'， '利用单位圆定义任意角的三角函数']正确率60.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，角$${{θ}}$$以$${{O}{x}}$$为始边，终边与单位圆交于点$$( \ \frac{3} {5}， \ \frac{4} {5} )$$，则$$\operatorname{t a n} \， ( \pi+\theta)$$的值为（）
A
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$- \frac{4} {3}$$
D.$$- \frac{3} {4}$$
6、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知$$A ( x_{A}， \ y_{A} )$$是单位圆上（圆心在坐标原点$${{O}{）}}$$任意一点，将射线$${{O}{A}}$$绕点$${{O}}$$逆时针旋转$$\frac{\pi} {3}$$到$${{O}{B}}$$交单位圆于点$$B ( x_{B}， ~ y_{B} )$$，则$$\sqrt3 y_{A}+x_{B}$$的最大值为 （）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
7、['利用诱导公式求值'， '利用单位圆定义任意角的三角函数']正确率60.0%点$${{P}}$$从点$$( {\bf1}， \enspace0 )$$出发，沿单位圆顺时针方向运动$$\frac{5 \pi} {6}$$弧长到达$${{Q}}$$点，则$${{Q}}$$的坐标是（）
B
A.$$(-\frac{1} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} )$$
B.$$(-\frac{\sqrt{3}} {2}，-\frac{1} {2} )$$
C.$$( \frac{\sqrt{3}} {2}，-\frac{1} {2} )$$
D.$$(-\frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{1} {2} )$$
8、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正弦公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%svg异常，非svg图片
A
A.$$\frac{1 2 \sqrt{3}-5} {2 6}$$
B.$$\frac{1 2 \sqrt{3}+5} {2 6}$$
C.$$\frac{5 \sqrt{3}+1 2} {2 6}$$
D.$$\frac{5 \sqrt{3}-1 2} {2 6}$$
9、['利用单位圆定义任意角的三角函数']正确率60.0%svg异常，非svg图片
D
A.$${（{−}{{s}{i}{n}}}$$$$\theta， ~ \operatorname{c o s} \theta)$$
B.$${（{−}{{c}{o}{s}}}$$$${{θ}{，}{{s}{i}{n}}}$$$${{θ}{）}}$$
C.$${（{{s}{i}{n}}}$$$$\theta， ~ ~-\operatorname{c o s} \theta)$$
D.$$( \begin{array} {c c} {\operatorname{c o s} \theta，} & {\operatorname{s i n}} \\ \end{array}$$$${{θ}{）}}$$
10、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%圆$$O_{\colon} ~ x^{2}+y^{2}=1$$与$${{x}}$$轴正半轴交点为$${{M}}$$，圆$${{O}}$$上的点$${{A}{，}{B}}$$分别位于第一$${、}$$二象限，并且$$\angle A O B=\angle A O M，$$若点$${{A}}$$的坐标为$$( \frac{\sqrt{5}} {5}， \ \frac{2 \sqrt{5}} {5} )$$，则点$${{B}}$$的坐标为（）
B
A.$$( \mathrm{~}-\frac{4} {5}， \mathrm{~} \frac{3} {5} )$$
B.$$( \mathit{\Pi}-\frac{3} {5}， \mathit{\Pi} \frac{4} {5} )$$
C.$$( \frac{\sqrt{5}} {5}， \ \frac{2 \sqrt{5}} {5} )$$
D.$$( \frac{2 \sqrt{5}} {5}， \ \frac{\sqrt{5}} {5} )$$
1. 已知点$$M$$在直线$$y=\frac{1}{2}x$$与单位圆交点，设$$\angle xOM=\alpha$$，求$$\cos 2\alpha$$。
单位圆方程：$$x^2+y^2=1$$，代入$$y=\frac{1}{2}x$$得：
$$x^2+(\frac{1}{2}x)^2=1 \Rightarrow x^2+\frac{1}{4}x^2=1 \Rightarrow \frac{5}{4}x^2=1 \Rightarrow x^2=\frac{4}{5}$$
取第一象限解：$$x=\frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$y=\frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$\cos \alpha = x = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\sin \alpha = y = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$$
答案：B.$$\frac{3}{5}$$
2. 终边过点$$P(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$$，求$$\cos 2\alpha$$。
$$\cos \alpha = x = -\frac{1}{2}$$，$$\sin \alpha = y = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \times (-\frac{1}{2})^2 - 1 = 2 \times \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$$
答案：C.$$-\frac{1}{2}$$
3. 题目异常，无法解析。
4. 角$$\alpha$$终边过点$$(3,-4)$$，求$$3\sin \alpha+2\cos \alpha$$。
$$r=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$$
$$\sin \alpha = \frac{y}{r} = -\frac{4}{5}$$，$$\cos \alpha = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}$$
$$3\sin \alpha+2\cos \alpha = 3 \times (-\frac{4}{5}) + 2 \times \frac{3}{5} = -\frac{12}{5} + \frac{6}{5} = -\frac{6}{5}$$
答案：选项无$$-\frac{6}{5}$$，检查点坐标：原题图片缺失，假设点$$(3,-4)$$，计算得$$-\frac{6}{5}$$，但选项为$$\pm\frac{6}{5}$$等，可能点坐标不同。
5. 终边与单位圆交于$$(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$$，求$$\tan (\pi+\theta)$$。
$$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$$
$$\tan (\pi+\theta) = \tan \theta = \frac{4}{3}$$
答案：A.$$\frac{4}{3}$$
6. 单位圆上点$$A(x_A,y_A)$$，$$OB$$由$$OA$$逆时针转$$\frac{\pi}{3}$$，求$$\sqrt{3} y_A + x_B$$最大值。
设$$A(\cos \theta, \sin \theta)$$，则$$B(\cos (\theta+\frac{\pi}{3}), \sin (\theta+\frac{\pi}{3}))$$
$$\sqrt{3} y_A + x_B = \sqrt{3} \sin \theta + \cos (\theta+\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{3}$$
$$= \sqrt{3} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta$$
最大值$$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$$
答案：A.$$1$$
7. 点$$P(1,0)$$出发，顺时针运动$$\frac{5\pi}{6}$$到$$Q$$，求坐标。
顺时针为负角，转角$$-\frac{5\pi}{6}$$
$$Q(\cos (-\frac{5\pi}{6}), \sin (-\frac{5\pi}{6})) = (\cos \frac{5\pi}{6}, -\sin \frac{5\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$$
答案：B.$$(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$$
8. 题目异常，无法解析。
9. 题目异常，无法解析。
10. 圆$$x^2+y^2=1$$，$$M(1,0)$$，$$A(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5})$$，$$\angle AOB = \angle AOM$$，求$$B$$坐标。
$$\angle AOM$$为$$OA$$与$$OM$$夹角，$$OM$$沿x轴。
$$OA$$对应角$$\alpha$$，$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\sin \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
$$\angle AOB = \angle AOM = \alpha$$，故$$OB$$对应角$$\alpha + \alpha = 2\alpha$$（或$$\alpha - \alpha=0$$，但B在第二象限，取$$2\alpha$$）
$$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \times (\frac{\sqrt{5}}{5})^2 - 1 = 2 \times \frac{5}{25} - 1 = \frac{2}{5} - 1 = -\frac{3}{5}$$
$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{2\sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{5}}{5} = 2 \times \frac{10}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$$
$$B(\cos 2\alpha, \sin 2\alpha) = (-\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$$
答案：A.$$(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$$有误，应为$$(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$$，选项B近似。