利用单位圆定义任意角的三角函数-5.2 三角函数的概念知识点考前基础自测题解析-安徽省等高一数学必修,平均正确率70.0%

1、['利用诱导公式求值'， '利用单位圆定义任意角的三角函数']

正确率60.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，角$${{α}}$$以$${{O}{x}}$$为始边，它的终边与以原点$${{O}}$$为圆心的单位圆的交点为$$P \left( \frac{2} {3}， y_{0} \right)$$，则$$\operatorname{s i n} \! \left( \frac{\pi} {2}+\alpha\right)=$$（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$- \frac2 3$$

C.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$

D.$$- \frac{\sqrt{5}} {3}$$

2、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '正弦线与余弦线']

正确率60.0%若$${{M}{P}}$$和$${{O}{M}}$$分别是角$$\alpha=\frac{2 0 1 7 \pi} {2 0 1 8}$$的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是（）

A.$${{M}{P}{<}{O}{M}{<}{0}}$$

B.$${{O}{M}{>}{0}{>}{M}{P}}$$

C.$${{O}{M}{<}{M}{P}{<}{0}}$$

D.$${{M}{P}{>}{0}{>}{O}{M}}$$

5、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '同角三角函数的平方关系']

正确率60.0%下列结论中正确的是$${{(}{)}}$$

A.若角$${{α}}$$的终边过点$${{P}{{(}{3}{k}{，}{4}{k}{)}}{(}{k}{≠}{0}{)}}$$，则$$\mathrm{s i n} \alpha=\frac{4} {5}$$

B.若$${{α}}$$是第二象限角，则$$\frac{\alpha} {2}$$为第二象限或第四象限角

C.若$$\operatorname{c o s} \theta+\operatorname{s i n} \theta=\frac{1} {5}， \， \， \， 0 < \theta< \pi，$$则$$\operatorname{c o s} \theta-\operatorname{s i n} \theta=\pm\frac{7} {5}$$

D.对任意$${{x}{∈}{(}{0}{，}{1}{)}{，}{(}{x}{−}{{s}{i}{n}}{x}{)}{⋅}{{t}{a}{n}}{x}{>}{0}}$$恒成立

6、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '特殊角的三角函数值']

正确率40.0%若点$${{P}{(}{−}{4}{\sqrt {3}}{，}{m}{)}}$$在$${{−}{{1}{5}{0}^{∘}}}$$角的终边上，则实数$${{m}}$$的值是（）

A.$${{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{−}{4}}$$

7、['利用单位圆定义任意角的三角函数']

正确率60.0%如果角$${{α}}$$的终边过点$$( 2 \operatorname{c o s} \frac{\pi} {6}， ~-2 \operatorname{s i n} \frac{\pi} {6} )$$，则$${{s}{i}{n}{α}}$$的值等于（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

8、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '特殊角的三角函数值']

正确率60.0%点$${{P}}$$从$${（{1}{，}{0}{）}}$$点出发，沿单位圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$逆时针方向运动$$\frac{2 \pi} {3}$$弧长到达$${{Q}}$$点，则$${{Q}}$$点坐标为（）

A.$$(-\frac{1} {2}， ~ \frac{\sqrt{3}} {2} )$$

B.$$(-\frac{\sqrt{3}} {2}， ~-\frac{1} {2} )$$

C.$$(-\frac{1} {2}， ~-\frac{\sqrt{3}} {2} )$$

D.$$(-\frac{\sqrt{3}} {2}， ~ \frac{1} {2} )$$

9、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知角$${{α}}$$的终边与单位圆的交点坐标为$$(-\frac{5} {1 3}， \frac{1 2} {1 3} )$$，则$$\operatorname{c o s} ( 2 \alpha-\frac{\pi} {2} )$$的值为（）

A.$$\frac{6 0} {1 6 9}$$

B.$$- \frac{6 0} {1 6 9}$$

C.$$\frac{1 2 0} {1 6 9}$$

D.$$- \frac{1 2 0} {1 6 9}$$

1. 解析：

根据题意，点 $$P \left( \frac{2}{3}, y_{0} \right)$$ 在单位圆上，因此有 $$\left( \frac{2}{3} \right)^2 + y_{0}^2 = 1$$，解得 $$y_{0} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$$。题目要求计算 $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right)$$，利用诱导公式 $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha$$。而 $$\cos \alpha$$ 是点 $$P$$ 的横坐标，即 $$\cos \alpha = \frac{2}{3}$$。因此答案为 $$\boxed{A}$$。

2. 解析：

角 $$\alpha = \frac{2017 \pi}{2018}$$ 位于第三象限（因为 $$\pi < \frac{2017 \pi}{2018} < \frac{3\pi}{2}$$），在第三象限中正弦为负，余弦为负，且正弦线 $$MP$$ 和余弦线 $$OM$$ 均为负值。由于 $$\alpha$$ 接近 $$\pi$$，余弦线 $$OM$$ 的绝对值较大，因此 $$MP > OM$$（因为 $$MP$$ 和 $$OM$$ 均为负，且 $$|MP| < |OM|$$）。综上，$$OM < MP < 0$$，答案为 $$\boxed{C}$$。

5. 解析：

选项 A：若 $$P(3k, 4k)$$，则 $$r = 5|k|$$，$$\sin \alpha = \frac{4k}{5|k|} = \pm \frac{4}{5}$$，因此 A 错误。
选项 B：若 $$\alpha$$ 是第二象限角，则 $$\frac{\alpha}{2}$$ 是第一或第三象限角，因此 B 错误。
选项 C：由 $$\cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{5}$$，平方得 $$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{25}$$，解得 $$\sin \theta \cos \theta = -\frac{12}{25}$$。因为 $$0 < \theta < \pi$$ 且 $$\sin \theta \cos \theta < 0$$，所以 $$\theta$$ 在第二象限，$$\cos \theta - \sin \theta$$ 为负值。计算得 $$\cos \theta - \sin \theta = -\sqrt{1 - 2 \sin \theta \cos \theta} = -\frac{7}{5}$$，因此 C 错误。
选项 D：在 $$(0, 1)$$ 区间内，$$x > \sin x$$ 且 $$\tan x > 0$$，因此 $$(x - \sin x) \cdot \tan x > 0$$ 恒成立，D 正确。答案为 $$\boxed{D}$$。

6. 解析：

点 $$P(-4\sqrt{3}, m)$$ 在 $$-150^\circ$$ 角的终边上，因此 $$\tan(-150^\circ) = \frac{m}{-4\sqrt{3}}$$。计算 $$\tan(-150^\circ) = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$，解得 $$m = -4$$。答案为 $$\boxed{D}$$。

7. 解析：

点坐标为 $$(2 \cos \frac{\pi}{6}, -2 \sin \frac{\pi}{6}) = (\sqrt{3}, -1)$$，因此 $$r = 2$$。$$\sin \alpha = \frac{y}{r} = -\frac{1}{2}$$。答案为 $$\boxed{B}$$。

8. 解析：

点 $$P(1, 0)$$ 沿单位圆逆时针运动 $$\frac{2\pi}{3}$$ 到达 $$Q$$ 点，对应的角度为 $$\frac{2\pi}{3}$$。因此 $$Q$$ 点坐标为 $$(\cos \frac{2\pi}{3}, \sin \frac{2\pi}{3}) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$。答案为 $$\boxed{A}$$。

9. 解析：

点坐标为 $$\left( -\frac{5}{13}, \frac{12}{13} \right)$$，因此 $$\cos \alpha = -\frac{5}{13}$$，$$\sin \alpha = \frac{12}{13}$$。利用二倍角公式，$$\cos \left( 2\alpha - \frac{\pi}{2} \right) = \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) = -\frac{120}{169}$$。答案为 $$\boxed{D}$$。

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