利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值-三角函数的拓展与综合知识点专题进阶自测题解析-内蒙古自治区等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1. 已知 $$\alpha\in\left( \frac{\pi} {2}, \pi\right),$$ 且 $$\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}} {3},$$ 求 $$\cos 2\alpha.$$

解析：
平方两边得：
$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(-\frac{\sqrt{3}} {3}\right)^2$$
展开得：
$$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1} {3}$$
利用 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ 和 $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$，得到：
$$1 + \sin 2\alpha = \frac{1} {3}$$
解得：
$$\sin 2\alpha = -\frac{2} {3}$$
由于 $$\alpha \in \left( \frac{\pi} {2}, \pi \right)$$，$$2\alpha \in (\pi, 2\pi)$$，且 $$\sin 2\alpha < 0$$，故 $$2\alpha \in (\pi, \frac{3\pi} {2})$$，$$\cos 2\alpha < 0$$。
利用 $$\cos^2 2\alpha = 1 - \sin^2 2\alpha$$：
$$\cos 2\alpha = -\sqrt{1 - \left(-\frac{2} {3}\right)^2} = -\frac{\sqrt{5}} {3}$$
答案为 B。

2. 已知 $$\sin \alpha, \cos \alpha$$ 是关于 $$x$$ 的方程 $$x^2 + a x - a = 0$$ 的两个实根，求 $$a$$ 的值。

解析：
由韦达定理得：
$$\sin \alpha + \cos \alpha = -a$$
$$\sin \alpha \cos \alpha = -a$$
平方 $$\sin \alpha + \cos \alpha$$：
$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 + 2(-a) = a^2$$
整理得：
$$1 - 2a = a^2$$
解方程 $$a^2 + 2a - 1 = 0$$：
$$a = -1 \pm \sqrt{2}$$
验证判别式 $$\Delta = a^2 + 4a \geq 0$$，发现 $$a = -1 + \sqrt{2}$$ 满足，而 $$a = -1 - \sqrt{2}$$ 不满足。
答案为 D。

3. 已知 $$\alpha$$ 是 $$\triangle ABC$$ 的内角，且 $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}} {2},$$ 求 $$\sin \alpha - \cos \alpha$$ 的值。

解析：
平方两边得：
$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{3} {4}$$
展开得：
$$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{3} {4}$$
利用 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，得到：
$$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3} {4}$$
解得：
$$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1} {8}$$
计算 $$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2$$：
$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2\left(-\frac{1} {8}\right) = \frac{5} {4}$$
因为 $$\alpha \in (0, \pi)$$，且 $$\sin \alpha \cos \alpha < 0$$，说明 $$\alpha \in \left( \frac{\pi} {2}, \pi \right)$$，此时 $$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，故 $$\sin \alpha - \cos \alpha > 0$$。
所以：
$$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}} {2}$$
答案为 D。

4. 若 $$\sin \alpha + \cos \alpha = 1$$，且 $$0 < \alpha < \pi$$，求 $$3 \sin \alpha - \cos \alpha$$ 的值。

解析：
平方两边得：
$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1$$
展开得：
$$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
利用 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，得到：
$$2 \sin \alpha \cos \alpha = 0$$
解得 $$\sin \alpha = 0$$ 或 $$\cos \alpha = 0$$。
- 若 $$\sin \alpha = 0$$，则 $$\cos \alpha = 1$$，但 $$\alpha \in (0, \pi)$$，此时 $$\alpha = 0$$ 不满足。
- 若 $$\cos \alpha = 0$$，则 $$\sin \alpha = 1$$，此时 $$\alpha = \frac{\pi} {2}$$。
代入得：
$$3 \sin \alpha - \cos \alpha = 3 \times 1 - 0 = 3$$
答案为 D。

5. 若 $$\sin \theta + \cos \theta = 0$$，则下列结论一定成立的是（ ）。

解析：
由 $$\sin \theta + \cos \theta = 0$$ 得 $$\tan \theta = -1$$，即 $$\theta = \frac{3\pi} {4} + k\pi$$。
计算 $$\sin \theta \cos \theta$$：
$$\sin \theta \cos \theta = \frac{1} {2} \sin 2\theta = \frac{1} {2} \sin \left( \frac{3\pi} {2} + 2k\pi \right) = -\frac{1} {2}$$
因此，选项 C 一定成立。

6. 若 $$0 < x \leq \frac{\pi} {3}$$，求函数 $$y = \sin x + \cos x + \sin x \cos x$$ 的值域。

解析：
设 $$t = \sin x + \cos x$$，则 $$t = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi} {4} \right)$$。
由于 $$x \in \left( 0, \frac{\pi} {3} \right]$$，$$x + \frac{\pi} {4} \in \left( \frac{\pi} {4}, \frac{7\pi} {12} \right]$$，故 $$t \in \left( 1, \sqrt{2} \sin \frac{7\pi} {12} \right] = \left( 1, \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {2} \right]$$。
利用 $$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1} {2}$$，函数变为：
$$y = t + \frac{t^2 - 1} {2} = \frac{t^2 + 2t - 1} {2}$$
这是一个关于 $$t$$ 的二次函数，在 $$t \in (1, \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {2}]$$ 上单调递增。
当 $$t = 1$$ 时，$$y = 1$$；当 $$t = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {2}$$ 时，$$y \approx 1.93$$。
因此，值域为 $$(1, \sqrt{2} + \frac{1} {2}]$$。
答案为 D。

7. 若 $$\sin \theta, \cos \theta$$ 是方程 $$4x^2 + 2m x + m = 0$$ 的两根，求 $$m$$ 的值。

解析：
由韦达定理得：
$$\sin \theta + \cos \theta = -\frac{m} {2}$$
$$\sin \theta \cos \theta = \frac{m} {4}$$
平方 $$\sin \theta + \cos \theta$$：
$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + 2 \left( \frac{m} {4} \right) = \left( -\frac{m} {2} \right)^2$$
整理得：
$$1 + \frac{m} {2} = \frac{m^2} {4}$$
解方程 $$m^2 - 2m - 4 = 0$$：
$$m = 1 \pm \sqrt{5}$$
验证判别式 $$\Delta = 4m^2 - 16m \geq 0$$，发现 $$m = 1 - \sqrt{5}$$ 满足，而 $$m = 1 + \sqrt{5}$$ 不满足。
答案为 B。

8. 若 $$|\sin \theta| + |\cos \theta| = \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$，求 $$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$$ 的值。

解析：
设 $$t = |\sin \theta| + |\cos \theta|$$，则 $$t^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 |\sin \theta \cos \theta| = 1 + 2 |\sin \theta \cos \theta|$$。
代入 $$t = \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$ 得：
$$\frac{12} {9} = 1 + 2 |\sin \theta \cos \theta|$$
解得：
$$|\sin \theta \cos \theta| = \frac{1} {6}$$
计算 $$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$$：
$$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \left( \frac{1} {6} \right)^2 = \frac{17} {18}$$
答案为 B。

9. 已知 $$-\pi < x < 0$$，且 $$\sin x + \cos x = \frac{1} {5}$$，求 $$\sin x - \cos x$$ 的值。

解析：
平方两边得：
$$(\sin x + \cos x)^2 = \frac{1} {25}$$
展开得：
$$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1} {25}$$
利用 $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$，得到：
$$2 \sin x \cos x = -\frac{24} {25}$$
计算 $$(\sin x - \cos x)^2$$：
$$(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - 2 \left( -\frac{12} {25} \right) = \frac{49} {25}$$
因为 $$x \in (-\pi, 0)$$，且 $$\sin x + \cos x = \frac{1} {5} > 0$$，说明 $$x \in \left( -\frac{3\pi} {4}, \frac{\pi} {4} \right)$$，此时 $$\sin x - \cos x < 0$$。
所以：
$$\sin x - \cos x = -\frac{7} {5}$$
答案为 D。

10. 若 $$\alpha \in (0, \pi)$$，且 $$\cos \alpha + \sin \alpha = -\frac{1} {3}$$，求 $$\cos 2\alpha$$ 的值。

解析：
平方两边得：
$$(\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = \frac{1} {9}$$
展开得：
$$\cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha = \frac{1} {9}$$
利用 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，得到：
$$2 \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{8} {9}$$
即 $$\sin 2\alpha = -\frac{8} {9}$$。
计算 $$\cos 2\alpha$$：
$$\cos^2 2\alpha = 1 - \sin^2 2\alpha = 1 - \left( -\frac{8} {9} \right)^2 = \frac{17} {81}$$
因为 $$\alpha \in (0, \pi)$$，且 $$\cos \alpha + \sin \alpha = -\frac{1} {3} < 0$$，说明 $$\alpha \in \left( \frac{3\pi} {4}, \pi \right)$$，此时 $$2\alpha \in \left( \frac{3\pi} {2}, 2\pi \right)$$，$$\cos 2\alpha > 0$$。
所以：
$$\cos 2\alpha = \frac{\sqrt{17}} {9}$$
答案为 A。