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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}+( \mathrm{s i n} \alpha-2 \mathrm{c o s} \alpha) x+1$$是偶函数，则$$\operatorname{s i n} \! \alpha\! \operatorname{c o s} \alpha$$的值为（）
A
A.$$\frac{2} {5}$$
B.$$- \frac{2} {5}$$
C.$$\pm\frac{2} {5}$$
D.$${{0}}$$
2、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$3 \mathrm{s i n} \alpha+\mathrm{c o s} \alpha=0，$$则$$\frac1 {\operatorname{c o s}^{2} \alpha+\operatorname{s i n} 2 \alpha}=$$（）
A
A.$$\frac{1 0} {3}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$${{−}{2}}$$
3、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} \alpha=2$$，则$$\frac{2 \operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha+2 \operatorname{c o s} \alpha}$$的值为（）
B
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{5} {4}$$
4、['两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=-3，$$则$$\mathrm{c o s} 2 \alpha+2 \mathrm{s i n} 2 \alpha=$$（）
B
A.$$\frac{9} {5}$$
B.$${{1}}$$
C.$$- \frac{3} {5}$$
D.$$- \frac{7} {5}$$
5、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=-2， \， \， \， \frac{\pi} {2} < \alpha< \pi，$$则$$\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha=\alpha$$）
A
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$$- \frac{1} {5}$$
6、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} ~ ( \alpha-\frac{\pi} {4} ) ~=3，$$则$$\operatorname{c o s} 2 \alpha+2 \operatorname{s i n} 2 \alpha=\cline{( )}$$）
D
A.$$\frac{9} {5}$$
B.$${{1}}$$
C.$$- \frac{3} {5}$$
D.$$- \frac{1 1} {5}$$
7、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{s i n} 2 \alpha， \; \; \operatorname{s i n} \alpha-1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， \; 1+\operatorname{s i n} \alpha)，$$且$$\operatorname{t a n} ( \frac{\pi} {4}+\alpha)=-3，$$则$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$的值是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{5} {3}$$
D.$${{−}{1}}$$
8、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{θ}}$$的终边经过点$$(-1，-3 )$$，则$$\frac{\operatorname{s i n} \theta+2 \operatorname{c o s} \theta} {3 \operatorname{s i n} \theta-4 \operatorname{c o s} \theta}=$$
A
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$${{−}{1}}$$
9、['齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \theta=2$$，则$$\frac{3 \operatorname{s i n} \theta+4 \operatorname{c o s} \theta} {\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta}=\alpha$$）
D
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$$\frac{3} {1 0}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$$\frac{1 0} {3}$$
10、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%若$$\operatorname{t a n} \theta=-2$$，则$$\frac{\operatorname{s i n} \theta( 1+\operatorname{s i n} 2 \theta)} {\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta}=$$（）
C
A.$$- \frac{6} {5}$$
B.$$- \frac{2} {5}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$\frac{6} {5}$$
1. 解析：
函数 $$f(x) = x^2 + (\sin \alpha - 2 \cos \alpha)x + 1$$ 是偶函数，意味着 $$f(-x) = f(x)$$。
代入得：$$f(-x) = x^2 - (\sin \alpha - 2 \cos \alpha)x + 1$$。
与 $$f(x)$$ 比较系数，得：$$-(\sin \alpha - 2 \cos \alpha) = \sin \alpha - 2 \cos \alpha$$。
解得：$$\sin \alpha = 0$$ 或 $$\sin \alpha - 2 \cos \alpha = 0$$。
若 $$\sin \alpha = 0$$，则 $$\sin \alpha \cos \alpha = 0$$（选项 D）。
若 $$\sin \alpha = 2 \cos \alpha$$，结合 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，得 $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$$。
因此，$$\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos^2 \alpha = \frac{2}{5}$$（选项 A）。
综上，正确答案为 $$\boxed{A}$$。
2. 解析：
由 $$3 \sin \alpha + \cos \alpha = 0$$，得 $$\tan \alpha = -\frac{1}{3}$$。
将 $$\frac{1}{\cos^2 \alpha + \sin 2 \alpha}$$ 化简：
$$\frac{1}{\cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha (1 + 2 \tan \alpha)}$$。
代入 $$\tan \alpha = -\frac{1}{3}$$，得：
$$\frac{1}{\cos^2 \alpha \left(1 - \frac{2}{3}\right)} = \frac{3}{\cos^2 \alpha}$$。
又 $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{9}{10}$$，所以结果为 $$\frac{3}{\frac{9}{10}} = \frac{10}{3}$$。
正确答案为 $$\boxed{A}$$。
3. 解析：
已知 $$\tan \alpha = 2$$，将 $$\frac{2 \sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + 2 \cos \alpha}$$ 分子分母同除以 $$\cos \alpha$$：
$$\frac{2 \tan \alpha - 1}{\tan \alpha + 2} = \frac{4 - 1}{2 + 2} = \frac{3}{4}$$。
正确答案为 $$\boxed{B}$$。
4. 解析：
由 $$\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = -3$$，利用和角公式：
$$\frac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha} = -3$$，解得 $$\tan \alpha = 2$$。
计算 $$\cos 2\alpha + 2 \sin 2\alpha$$：
$$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = -\frac{3}{5}$$，
$$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{4}{5}$$，
所以结果为 $$-\frac{3}{5} + 2 \times \frac{4}{5} = 1$$。
正确答案为 $$\boxed{B}$$。
5. 解析：
已知 $$\tan \alpha = -2$$ 且 $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$，则 $$\alpha$$ 在第二象限。
设 $$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}$$（注意符号）。
因此，$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
正确答案为 $$\boxed{A}$$。
6. 解析：
由 $$\tan\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = 3$$，利用和角公式：
$$\frac{\tan \alpha - 1}{1 + \tan \alpha} = 3$$，解得 $$\tan \alpha = -2$$。
计算 $$\cos 2\alpha + 2 \sin 2\alpha$$：
$$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = -\frac{3}{5}$$，
$$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = -\frac{4}{5}$$，
所以结果为 $$-\frac{3}{5} + 2 \times \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{11}{5}$$。
正确答案为 $$\boxed{D}$$。
7. 解析：
由 $$\tan\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = -3$$，利用和角公式：
$$\frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = -3$$，解得 $$\tan \alpha = 2$$。
向量 $$\overrightarrow{a} = (\sin 2\alpha, \sin \alpha - 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (1, 1 + \sin \alpha)$$。
计算点积：
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sin 2\alpha \times 1 + (\sin \alpha - 1)(1 + \sin \alpha)$$
$$= 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha - 1$$
$$= \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha - 1$$
利用 $$\tan \alpha = 2$$，得 $$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$，
代入得：$$\frac{4}{5} + 2 \times \frac{2}{5} - 1 = \frac{4}{5} + \frac{4}{5} - 1 = \frac{3}{5}$$。
正确答案为 $$\boxed{B}$$。
8. 解析：
角 $$\theta$$ 的终边经过点 $$(-1, -3)$$，则 $$\sin \theta = -\frac{3}{\sqrt{10}}$$，$$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{10}}$$。
计算 $$\frac{\sin \theta + 2 \cos \theta}{3 \sin \theta - 4 \cos \theta}$$：
$$= \frac{-\frac{3}{\sqrt{10}} + 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}{3 \times \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) - 4 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}$$
$$= \frac{-\frac{5}{\sqrt{10}}}{-\frac{5}{\sqrt{10}}} = 1$$。
正确答案为 $$\boxed{A}$$。
9. 解析：
已知 $$\tan \theta = 2$$，将 $$\frac{3 \sin \theta + 4 \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta}$$ 分子分母同除以 $$\cos \theta$$：
$$\frac{3 \tan \theta + 4}{\tan \theta + 1} = \frac{6 + 4}{2 + 1} = \frac{10}{3}$$。
正确答案为 $$\boxed{D}$$。
10. 解析：
已知 $$\tan \theta = -2$$，将 $$\frac{\sin \theta (1 + \sin 2\theta)}{\sin \theta + \cos \theta}$$ 化简：
$$= \sin \theta \cdot \frac{1 + 2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta}$$
$$= \sin \theta \cdot \frac{(\sin \theta + \cos \theta)^2}{\sin \theta + \cos \theta}$$
$$= \sin \theta (\sin \theta + \cos \theta)$$
$$= \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta$$
利用 $$\tan \theta = -2$$，得 $$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$$（注意符号）。
代入得：$$\frac{4}{5} + \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{2}{5}$$。
正确答案为 $$\boxed{C}$$。