根据三角函数的性质求参数取值范围-三角函数的拓展与综合知识点教师选题进阶单选题自测题答案-安徽省等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '根据三角函数的性质求参数取值范围']

正确率60.0%已知$${{ω}{>}{0}{，}}$$函数$$f ( x )=3 \mathrm{s i n} \left( \omega x+\frac{\pi} {4} \right)-2$$在区间$$[ \frac{\pi} {2}， \， \， \pi\brack$$上单调递减，则$${{ω}}$$的取值范围是（）

A.$$\left( 0， \ \frac{1} {2} \right]$$

B.$${{(}{0}{，}{2}{]}}$$

C.$$[ \frac{1} {2}， \ \frac{3} {4} ]$$

D.$$[ \frac{1} {2}， \ \frac{5} {4} ]$$

2、['根据三角函数的性质求参数取值范围'， '平面直角坐标系中的伸缩变换'， '三角函数的图象变换']

正确率60.0%将函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \left( 6 x-\frac{\pi} {3} \right)$$图象上所有点的横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移$${{φ}{(}{φ}{>}{0}{)}}$$个单位长度，得到一个奇函数的图象，则$${{φ}}$$的最小值为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {9}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{2 \pi} {9}$$

C.$$\frac{\pi} {1 2}$$

D.$$\frac{\pi} {4}$$

3、['正切（型）函数的单调性'， '根据三角函数的性质求参数取值范围']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{t}{a}{n}}{ω}{x}}$$在$$\left(-\frac{\pi} {2}， \ \frac{\pi} {2} \right)$$上单调递减，则$${{ω}}$$的取值范围是（）

A.$${{0}{<}{ω}{⩽}{1}}$$

B.$${{−}{1}{⩽}{ω}{<}{0}}$$

C.$${{−}{2}{⩽}{ω}{<}{0}}$$

D.$$0 < \omega\leq\frac{1} {2}$$

4、['根据三角函数的性质求参数取值范围'， '正弦（型）函数的单调性'， '辅助角公式']

正确率40.0%若偶函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{(}{2}{x}{+}{φ}{)}{+}{{c}{o}{s}}{(}{2}{x}{+}{φ}{)}}$$在$$[-\frac{\pi} {4}， ~ 0 \rbrack$$上单调递减，则$${{φ}}$$的可能取值为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$- \frac{5 \pi} {6}$$

D.$$- \frac{2 \pi} {3}$$

5、['根据三角函数的性质求参数取值范围'， '正弦（型）函数的零点']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \Bigl( \omega x+\frac{\pi} {3} \Bigr) ( \omega\in{\bf Z} )$$，$$x \in\left( 0， \frac{\pi} {3} \right]$$时，$$f ( x )=\frac{\sqrt{3}} {2}$$有唯一解，则满足条件的$${{ω}}$$的个数是（）

A.$${{5}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{8}}$$

6、['根据三角函数的性质求参数取值范围'， '辅助角公式'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%将函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} \frac{\omega x} {2} ( 2 \operatorname{s i n} \frac{\omega x} {2}-2 \sqrt{3} \operatorname{c o s} \frac{\omega x} {2} )+\sqrt{3} ( \omega> 0 )$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {3 \omega}$$个单位，得到函数$${{y}{=}{g}{（}{x}{）}}$$的图象，若$${{y}{=}{g}{（}{x}{）}}$$在$$[ 0， ~ \frac{\pi} {1 2} ]$$上为增函数，则$${{ω}}$$的最大值为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{8}}$$

7、['三角恒等变换综合应用'， '根据三角函数的性质求参数取值范围'， '对数方程与对数不等式的解法'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合'， '余弦（型）函数的周期性']

正确率40.0%已知关于$${{x}}$$的方程$${{c}{o}{s}{ω}{x}{+}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{ω}{x}{−}{1}{=}{0}{(}{ω}{>}{0}{)}}$$在$${{[}{0}{，}{π}{]}}$$上仅有三个不同的实数根，则实数$${{ω}}$$的值不可能为（）

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{9} {4}$$

C.$$\frac{1 1} {5}$$

D.$$\frac{9} {2}$$

8、['根据三角函数的性质求参数取值范围'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性']

正确率40.0%已知$${{ω}{>}{0}{，}}$$函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{ω}{x}}$$在$$[-\frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {4} ]$$区间上恰有$${{9}}$$个零点，则$${{ω}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{[}{{1}{6}}{，}{{2}{0}}{)}}$$

B.$${{[}{{1}{6}}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{(}{{1}{6}}{，}{{2}{0}}{]}}$$

D.$${{(}{0}{，}{{2}{0}}{)}}$$

9、['函数奇偶性的应用'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '根据三角函数的性质求参数取值范围'， '函数图象的平移变换'， '函数图象的对称变换'， '两角和与差的正弦公式'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%设$${{ω}{>}{0}}$$，函数$$f \ ( x ) \， \，=\sin\omega x \cos\varphi+\cos\omega x \sin\varphi\ ( \， \omega> 0， \ | \varphi| < \frac{\pi} {2} \， )$$的图象经过点$$( \ 0， \ -\frac{1} {2} )$$，将该函数的图象向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位后所得函数图象关于$${{y}}$$轴对称，则$${{ω}}$$的最小值是（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

10、['三角恒等变换综合应用'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '根据三角函数的性质求参数取值范围'， '导数与极值']

正确率19.999999999999996%设函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \Bigl( \omega x+\frac{\pi} {5} \Bigr) ( \omega> 0 )$$，已知$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{[}{0}{，}{2}{π}{]}}$$有且仅有$${{5}}$$个零点，下述四个结论：
①$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{0}{，}{2}{π}{)}}$$有且仅有$${{3}}$$个极大值点；
②$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{0}{，}{2}{π}{)}}$$有且仅有$${{2}}$$个极小值点；
③$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$\left( 0， \frac{\pi} {1 0} \right)$$单调递增；
④$${{ω}}$$的取值范围是$$\left[ \frac{1 2} {5}， \frac{2 9} {1 0} \right)$$.
其中所有正确结论的编号是（）

A.①④

B.②③

C.①②③

D.①③④

1. 题目解析：

函数 $$f(x) = 3\sin\left(\omega x + \frac{\pi}{4}\right) - 2$$ 在区间 $$\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$$ 上单调递减。首先，正弦函数的单调递减区间为 $$\left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$$，因此需要满足： $$\omega x + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$$ 对于所有 $$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$$。

代入边界点： $$\omega \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \geq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$ 且 $$\omega \cdot \pi + \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$。

解得： $$\omega \geq \frac{1}{2} + 4k$$ 且 $$\omega \leq \frac{5}{4} + 2k$$。

对于 $$k = 0$$，得到 $$\omega \in \left[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right]$$。选项 D 符合。

答案：D

2. 题目解析：

函数 $$f(x) = \sin\left(6x - \frac{\pi}{3}\right)$$ 横坐标伸长到原来的 2 倍后变为 $$\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$$。

向右平移 $$\phi$$ 个单位后为 $$\sin\left(3(x - \phi) - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(3x - 3\phi - \frac{\pi}{3}\right)$$。

要求为奇函数，需满足 $$-3\phi - \frac{\pi}{3} = k\pi$$，即 $$\phi = -\frac{k\pi}{3} - \frac{\pi}{9}$$。

取最小正 $$\phi$$，当 $$k = -1$$ 时，$$\phi = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{9}$$。选项 B 符合。

答案：B

3. 题目解析：

函数 $$f(x) = \tan(\omega x)$$ 在 $$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$ 上单调递减，说明 $$\omega < 0$$ 且周期 $$\frac{\pi}{|\omega|} \geq \pi$$，即 $$|\omega| \leq 1$$。

因此 $$\omega \in [-1, 0)$$。选项 B 符合。

答案：B

4. 题目解析：

函数 $$f(x) = \sqrt{3}\sin(2x + \phi) + \cos(2x + \phi) = 2\sin\left(2x + \phi + \frac{\pi}{6}\right)$$ 为偶函数，需满足 $$\phi + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$\phi = \frac{\pi}{3} + k\pi$$。

在 $$\left[-\frac{\pi}{4}, 0\right]$$ 上单调递减，代入选项验证，$$\phi = -\frac{2\pi}{3}$$ 符合条件。选项 D 符合。

答案：D

5. 题目解析：

函数 $$f(x) = \sin\left(\omega x + \frac{\pi}{3}\right)$$ 在 $$\left(0, \frac{\pi}{3}\right]$$ 上有唯一解 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$，即 $$\omega x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$ 或 $$\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$。

解得 $$x = \frac{2k\pi}{\omega}$$ 或 $$x = \frac{\frac{2\pi}{3} + 2k\pi}{\omega}$$。要求在区间内有唯一解，需满足 $$\frac{\pi}{3} < \frac{2\pi}{\omega} \leq \frac{4\pi}{3}$$ 或 $$\frac{\pi}{3} < \frac{\frac{2\pi}{3} + 2\pi}{\omega} \leq \frac{4\pi}{3}$$。

解得 $$\omega \in \left[\frac{3}{2}, 6\right]$$，且 $$\omega \in \mathbb{Z}$$，可能的值为 2, 3, 4, 5, 6，共 5 个。选项 A 符合。

答案：A

6. 题目解析：

函数 $$f(x) = \cos\frac{\omega x}{2}\left(2\sin\frac{\omega x}{2} - 2\sqrt{3}\cos\frac{\omega x}{2}\right) + \sqrt{3} = \sin(\omega x) - \sqrt{3}\cos(\omega x) = 2\sin\left(\omega x - \frac{\pi}{3}\right)$$。

向左平移 $$\frac{\pi}{3\omega}$$ 个单位后为 $$g(x) = 2\sin\left(\omega x + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = 2\sin(\omega x)$$。

在 $$\left[0, \frac{\pi}{12}\right]$$ 上为增函数，需满足 $$\omega \cdot \frac{\pi}{12} \leq \frac{\pi}{2}$$，即 $$\omega \leq 6$$。选项 C 符合。

答案：C

7. 题目解析：

方程 $$\cos(\omega x) + \sqrt{3}\sin(\omega x) - 1 = 0$$ 可化为 $$2\sin\left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$$，即 $$\sin\left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$。

在 $$[0, \pi]$$ 上有三个解，需满足 $$\frac{5\pi}{6} \leq \omega \pi + \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6}$$，即 $$\frac{4}{3} \leq \omega < 2$$ 或 $$\frac{10}{3} \leq \omega < 4$$。

选项 D $$\frac{9}{2}$$ 不在上述范围内。

答案：D

8. 题目解析：

函数 $$f(x) = \sin(\omega x)$$ 在 $$\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$ 上有 9 个零点，需满足 $$4\pi \leq \omega \cdot \frac{\pi}{4} < 5\pi$$，即 $$16 \leq \omega < 20$$。选项 A 符合。

答案：A

9. 题目解析：

函数 $$f(x) = \sin(\omega x + \phi)$$ 经过点 $$(0, -\frac{1}{2})$$，即 $$\sin(\phi) = -\frac{1}{2}$$，故 $$\phi = -\frac{\pi}{6}$$。

向右平移 $$\frac{\pi}{6}$$ 个单位后为 $$\sin\left(\omega x - \frac{\omega \pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right)$$，要求关于 $$y$$ 轴对称，需 $$-\frac{\omega \pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$。

解得 $$\omega = -2 - 6k$$，取最小正 $$\omega$$，当 $$k = -1$$ 时，$$\omega = 4$$。选项 D 符合。

答案：D

10. 题目解析：

函数 $$f(x) = \sin\left(\omega x + \frac{\pi}{5}\right)$$ 在 $$[0, 2\pi]$$ 上有 5 个零点，需满足 $$2\pi \omega + \frac{\pi}{5} \in [4\pi, 5\pi)$$，即 $$\omega \in \left[\frac{12}{5}, \frac{29}{10}\right)$$。

极大值点个数为 3，极小值点个数为 2 或 3，且在 $$\left(0, \frac{\pi}{10}\right)$$ 上单调递增。选项 D 符合。

答案：D

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