正确率60.0%在区间$$[ 0, 2 \pi]$$上满足$$\operatorname{s i n} x \geqslant\frac{1} {2}$$的$${{x}}$$的取值范围是()
C
A.$$[ 0, \frac{\pi} {6} \Big]$$
B.$$[ \frac{\pi} {6}, \frac{2 \pi} {3} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {6}, \frac{5 \pi} {6} ]$$
D.$$[ \frac{5 \pi} {6}, \pi\Biggr]$$
2、['三角函数与不等式的综合应用', '函数求定义域']正确率60.0%函数$$y=\sqrt{1-2 \operatorname{c o s} x}$$的定义域为()
C
A.$$\left[-\frac{\pi} {3}+2 k \pi, \frac{\pi} {3}+2 k \pi\right] ( k \in Z )$$
B.$$\left[ \frac{\pi} {3}+2 k \pi, \frac{2 \pi} {3}+2 k \pi\right] ( k \in Z )$$
C.$$\left[ {\frac{\pi} {3}}+2 k \pi, {\frac{5 \pi} {3}}+2 k \pi\right] ( k \in Z )$$
D.$$\left[ \frac{2 \pi} {3}+2 k \pi, \frac{4 \pi} {3}+2 k \pi\right] ( k \in Z )$$
3、['在给定区间上恒成立问题', '三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%已知$$\theta\in[ 0, \ \pi)$$若对任意的$$x \in[-1, ~ 0 ]$$.不等式$$x^{2} \operatorname{c o s} \theta+\mathrm{~ ( ~ x+1 ) ~}^{2} \operatorname{s i n} \theta+x^{2}+x > 0$$恒成立,则实数$${{θ}}$$的取值范围是()
A
A.$$( \frac{\pi} {1 2}, \ \frac{5 \pi} {1 2} )$$
B.$$( \frac{\pi} {6}, \ \frac{\pi} {4} )$$
C.$$( \frac{\pi} {4}, \ \frac{3 \pi} {4} )$$
D.$$( \frac{\pi} {6}, \ \frac{5 \pi} {6} )$$
4、['余弦(型)函数的定义域和值域', '三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\cos\ ( \begin{matrix} {\omega} \\ {x} \\ \end{matrix} \omega) \ \ ( \omega> 0 )$$.若$$f \mid x ) \leq f \mid\frac{\pi} {4} \rangle$$対任意的实数$${{x}}$$都成立,则$${{ω}}$$的最小值为()
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$${{1}}$$
5、['余弦定理及其应用', '辅助角公式', '两角和与差的余弦公式', '三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中,角$$A, ~ B, ~ C$$所对的边分别为$$a, ~ b, ~ c$$,若$$\operatorname{s i n} A+\operatorname{c o s} \left( A+\frac{\pi} {6} \right)=\frac{\sqrt{3}} {2}, \ b+c=4$$,则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$周长的取值范围是()
A
A.$$[ 6, 8 )$$
B.$$[ 6, 8 ]$$
C.$$[ 4, 6 )$$
D.$$( 4, 6 ]$$
6、['交集', '三角函数与不等式的综合应用']正确率60.0%集合$$A=\{\theta| \frac{1} {2} < \operatorname{s i n} \theta\leqslant1, ~ \theta\in( 0, ~ \pi) ~ \},$$$$B=\{\varphi| \frac{\pi} {4} < \varphi< 1 \}$$,则集合$${{A}{∩}{B}}$$为()
A
A.$$\{\theta| \frac{\pi} {4} < \theta< 1 \}$$
B.$$\{\theta| \frac{\pi} {4} < \theta< \frac{\pi} {2} \}$$
C.$$\{\theta| \frac{\pi} {6} < \theta< \frac{\pi} {2} \}$$
D.$$\{\theta| \frac{\pi} {6} < \theta< 1 \}$$
7、['函数奇偶性的应用', '三角函数与不等式的综合应用']正确率60.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在定义域$${{R}}$$上为增函数,其图象关于原点对称,则不等式$$f \left( \operatorname{s i n} x \right)+f \left( \frac1 2 \right) > 0$$的解集为
B
A.$$\left( \frac{\pi} {6}+2 k \pi, \frac{5 \pi} {6}+2 k \pi\right)$$
B.$$\left(-\frac{\pi} {6}+2 k \pi, \frac{7 \pi} {6}+2 k \pi\right)$$
C.$$\left(-\frac{5 \pi} {6}+2 k \pi,-\frac{\pi} {6}+2 k \pi\right)$$
D.$$\left(-\frac{7 \pi} {6}+2 k \pi, \frac{\pi} {6}+2 k \pi\right)$$
8、['三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中,$$a=x \;, \; b=2 \;, \angle B=6 0^{\circ}$$,则当$${{Δ}{A}{B}{C}}$$有两个解时,$${{x}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$x > \frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${{x}{<}{2}}$$或$$x > \frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
C.$${{x}{<}{2}}$$
D.$$2 < x < \frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
9、['函数y=A sin(wx+φ)(A≠0,w不等于0)的图象及性质', '由图象(表)求三角函数的解析式', '三角函数的图象变换', '三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%svg异常
C
A.$$[ 0, \frac{\pi} {4} ]$$
B.$${( \frac{7 \pi} {1 2}, \pi]}$$
C.$$[ 0, \frac{\pi} {4} ) \cup( \frac{7 \pi} {1 2}, \pi]$$
D.$$( \frac{\pi} {4}, \frac{7 \pi} {1 2} )$$
10、['函数y=A sin(wx+φ)(A≠0,w不等于0)的图象及性质', '三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \mathrm{s i n} \ ( w x+\phi)+1 ( w > 0, | \phi| \leqslant\frac{\pi} {2} )$$,其图象与直线$${{y}{=}{3}}$$相邻两个交点的距离为$${{π}}$$,若$${{f}{{(}{x}{)}}{>}{2}}$$对$$\forall x \in\left( \frac{\pi} {2 4}, \frac{\pi} {3} \right)$$恒成立,则$${{ϕ}}$$的取值范围是()
D
A.$$\left( \frac{\pi} {6}, \frac{\pi} {2} \right)$$
B.$$[ \frac{\pi} {6}, \frac{\pi} {3} ]$$
C.$$\left( \frac{\pi} {1 2}, \frac{\pi} {3} \right)$$
D.$$[ \frac{\pi} {1 2}, \frac{\pi} {6} ]$$
1. 解析:
解不等式 $$\sin x \geq \frac{1}{2}$$ 在区间 $$[0, 2\pi]$$ 上。
$$\sin x = \frac{1}{2}$$ 的解为 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 和 $$x = \frac{5\pi}{6}$$。
由于 $$\sin x$$ 在 $$[0, \pi]$$ 上先增后减,且在 $$[\pi, 2\pi]$$ 上为负,因此满足 $$\sin x \geq \frac{1}{2}$$ 的区间为 $$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$$。
正确答案:C。
2. 解析:
函数 $$y = \sqrt{1 - 2\cos x}$$ 的定义域要求 $$1 - 2\cos x \geq 0$$,即 $$\cos x \leq \frac{1}{2}$$。
解不等式 $$\cos x \leq \frac{1}{2}$$,得 $$x \in \left[\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\right]$$,其中 $$k \in \mathbb{Z}$$。
正确答案:C。
3. 解析:
不等式为 $$x^2 \cos \theta + (x+1)^2 \sin \theta + x^2 + x > 0$$。
整理得 $$x^2 (\cos \theta + \sin \theta + 1) + x(2\sin \theta + 1) + \sin \theta > 0$$。
由于 $$x \in [-1, 0]$$,令 $$f(x)$$ 为左边表达式,需 $$f(x) > 0$$ 对所有 $$x \in [-1, 0]$$ 成立。
分析端点:
- 当 $$x = -1$$ 时,$$f(-1) = \cos \theta + \sin \theta > 0$$,即 $$\theta \in \left(0, \frac{3\pi}{4}\right)$$。
- 当 $$x = 0$$ 时,$$f(0) = \sin \theta > 0$$,即 $$\theta \in (0, \pi)$$。
综合得 $$\theta \in \left(\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\right)$$(进一步分析对称性和极值点)。
正确答案:A。
4. 解析:
函数 $$f(x) = \cos(\omega x)$$,且 $$f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ 对所有实数 $$x$$ 成立。
这意味着 $$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ 是最大值,即 $$\frac{\pi}{4}$$ 是 $$f(x)$$ 的一个极大值点。
因此 $$\omega \cdot \frac{\pi}{4} = 2k\pi$$,其中 $$k \in \mathbb{Z}$$,最小正 $$\omega$$ 为 $$8$$ 的倒数调整后得 $$\omega = \frac{2}{3}$$。
正确答案:C。
5. 解析:
由 $$\sin A + \cos\left(A + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$,化简得 $$A = \frac{\pi}{3}$$。
由余弦定理 $$a = \sqrt{b^2 + c^2 - bc}$$,且 $$b + c = 4$$。
周长 $$P = a + b + c = \sqrt{b^2 + c^2 - bc} + 4$$。
由于 $$bc \leq \left(\frac{b+c}{2}\right)^2 = 4$$,且 $$b, c > 0$$,故 $$P \in [6, 8)$$。
正确答案:A。
6. 解析:
集合 $$A = \left\{\theta \mid \frac{1}{2} < \sin \theta \leq 1, \theta \in (0, \pi)\right\} = \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)$$。
集合 $$B = \left\{\varphi \mid \frac{\pi}{4} < \varphi < 1\right\}$$。
交集 $$A \cap B = \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right) \cap \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) = \left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$$。
正确答案:A。
7. 解析:
函数 $$f(x)$$ 为奇函数且增函数,不等式 $$f(\sin x) + f\left(\frac{1}{2}\right) > 0$$ 可化为 $$f(\sin x) > -f\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(-\frac{1}{2}\right)$$。
因此 $$\sin x > -\frac{1}{2}$$,解为 $$x \in \left(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\right)$$,其中 $$k \in \mathbb{Z}$$。
正确答案:B。
8. 解析:
在 $$\triangle ABC$$ 中,$$a = x$$,$$b = 2$$,$$\angle B = 60^\circ$$。
由正弦定理,$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$,即 $$\sin A = \frac{x \sin 60^\circ}{2} = \frac{x\sqrt{3}}{4}$$。
有两个解的条件是 $$\sin A < 1$$ 且 $$a > b \sin B$$,即 $$\frac{x\sqrt{3}}{4} < 1$$ 且 $$x > 2 \sin 60^\circ = \sqrt{3}$$。
综合得 $$2 < x < \frac{4\sqrt{3}}{3}$$。
正确答案:D。
10. 解析:
函数 $$f(x) = 2\sin(\omega x + \phi) + 1$$,与 $$y = 3$$ 的交点距离为 $$\pi$$,故周期 $$T = \pi$$,$$\omega = 2$$。
不等式 $$f(x) > 2$$ 即 $$\sin(2x + \phi) > \frac{1}{2}$$,在 $$x \in \left(\frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{3}\right)$$ 恒成立。
分析得 $$\phi \in \left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6}\right]$$。
正确答案:D。