三角函数的性质综合-三角函数的拓展与综合知识点教师选题进阶单选题自测题答案-四川省等高一数学必修,平均正确率40.0%

1、['命题的真假性判断'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \， x \right) \ =\sin\ ( \， x+\frac{\pi} {2} \， ) \ \，， \ g \left( \， x \right) \ =\cos\ ( \， x-\frac{\pi} {2} \， )$$，则下列结论中正确的是（）

A.函数$$y=f ~ ( \boldsymbol{x} ) ~ \cdot g ~ ( \boldsymbol{x} )$$的最小正周期为$${{2}{π}}$$

B.函数$$y=f ~ ( \boldsymbol{x} ) ~ \cdot g ~ ( \boldsymbol{x} )$$的最大值为$${{1}}$$

C.函数$$y=f ~ ( \boldsymbol{x} ) ~ \cdot g ~ ( \boldsymbol{x} )$$的一个单调递增区间为$$( \mathrm{~-~ \frac{\pi} {4}， ~} \frac{\pi} {4} )$$

D.$${{f}{（}{x}{）}}$$与$${{g}{（}{x}{）}}$$的奇偶性相同

2、['三角函数的性质综合']

正确率40.0%下列函数中，周期为$${{π}}$$且在区间$$( 0， \frac{\pi} {2} )$$上单调递增的函数是$${{(}{)}}$$

A.$$y=\operatorname{s i n} \frac{x} {2}$$

B.$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$

C.$${{y}{=}{{t}{a}{n}}{x}}$$

D.$$y=\operatorname{c o s} 2 x$$

3、['由图象（表）求三角函数的解析式'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=2 \operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) \left( \omega> 0， \left\vert\varphi\right\vert< \frac{\pi} {2} \right)$$的图象经过点$$B \， ( 0，-1 )$$，在区间$$\left( \frac{\pi} {1 8}， \frac{\pi} {3} \right)$$上为单调函数，且$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象向左平移$${{π}}$$个单位后与原来的图象重合，则$$\frac{\varphi} {\omega}=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$$- \frac{\pi} {1 2}$$

B.$$\frac{\pi} {1 2}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

D.$$- \frac{\pi} {6}$$

4、['直线的点斜式方程'， '三角形的面积（公式）'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \pi x$$和函数$$g ( x )=\operatorname{c o s} \pi x$$在区间$$[ 0， 2 ]$$上的图像交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{△}{O}{A}{B}}$$的面积是

A.$$\frac{3 \sqrt2} {8}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$$\frac{5 \sqrt2} {8}$$

D.$$\frac{3 \sqrt2} {4}$$

5、['由图象（表）求三角函数的解析式'， '正弦曲线的对称轴'， '余弦曲线的对称轴'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( \omega x-\frac{\pi} {6} ) ( \omega> 0 )$$和$$g ( x )=3 \operatorname{c o s} ( 2 x+\varphi)+1 ( | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$的图象的对称轴完全相同，则下列关于$${{g}{(}{x}{)}}$$的说法正确的是$${{(}{)}}$$

A.最大值为$${{3}}$$

B.在$$( \frac{\pi} {4}， \frac{5 \pi} {1 2} )$$单调递减

C.$$( \frac{\pi} {1 2}， 0 )$$是它的一个对称中心

D.$$x=-\frac{\pi} {6}$$是它的一条对称轴

6、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '辅助角公式'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合'， '函数零点个数的判定']

正确率19.999999999999996%设函数$$f ( x )=a \operatorname{s i n} \omega x+b \operatorname{c o s} \omega x ( \omega> 0 )$$在区间$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2} ]$$上单调，且$$f ( \frac{\pi} {2} )=f ( \frac{\2 \! \! \pi} {3} )=-f ( \frac{\pi} {6} )$$，当$$x=\frac{\pi} {1 2}$$时，$${{f}{(}{x}{)}}$$取到最大值$${{4}}$$，若将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象上各点的横坐标伸长为原来的$${{2}}$$倍得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则函数$$y=g ( x )-\sqrt{x+\frac{\pi} {3}}$$零点的个数为

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

7、['正弦曲线的对称轴'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%将函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x-\operatorname{c o s}^{2} x$$的图象上各点沿$${{x}}$$轴向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位，得到函数$$y=g ( x )$$的图象，则$$y=g ( x )$$的一条对称轴是$${{(}{)}}$$

A.$$x=\frac{\pi} {6}$$

B.$$x=\frac{\pi} {4}$$

C.$$x=\frac{\pi} {3}$$

D.$$x=\frac{\pi} {2}$$

8、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '三角函数的性质综合']

正确率60.0%定义在区间$$\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)$$上的函数$$y=6 \operatorname{c o s} x$$的图象与$$y=5 \operatorname{t a n} x$$的图象交于点$${{P}}$$，过$${{P}}$$作$${{x}}$$轴的垂线，垂足为$${{P}_{1}}$$，直线$${{P}{{P}_{1}}}$$与函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图象交于点$${{P}_{2}}$$，则线段$${{P}_{1}{{P}_{2}}}$$的长为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

D.$$\frac{5} {6}$$

9、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%

10、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '由图象（表）求三角函数的解析式'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=A \operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) ( A > 0， \omega> 0， | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是$${{(}{)}}$$

A.若$$x \in[-\frac{\pi} {2}， 0 ]$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的值域为$$[-1， \frac{1} {2} ]$$

B.点$$(-\frac{\pi} {3}， 0 )$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$图象的一个对称中心

C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[-\frac{\pi} {2}， 0 ]$$上是增函数

D.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象可以由函数$$y=\operatorname{c o s} 2 x$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度得到

1. 解析：

首先化简函数：$$f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x$$，$$g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x$$。

计算$$y = f(x) \cdot g(x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$。

A选项：$$y = \frac{1}{2} \sin 2x$$的周期为$$\pi$$，故A错误。

B选项：最大值为$$\frac{1}{2}$$，故B错误。

C选项：求导得$$y' = \cos 2x$$，当$$x \in \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$$时，$$y' > 0$$，函数单调递增，故C正确。

D选项：$$f(x) = \cos x$$是偶函数，$$g(x) = \sin x$$是奇函数，奇偶性不同，故D错误。

综上，正确答案是C。

2. 解析：

A选项：$$y = \sin \frac{x}{2}$$的周期为$$4\pi$$，不符合。

B选项：$$y = \sin x$$的周期为$$2\pi$$，不符合。

C选项：$$y = \tan x$$的周期为$$\pi$$，但在$$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$单调递增，符合。

D选项：$$y = \cos 2x$$的周期为$$\pi$$，但在$$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$单调递减，不符合。

综上，正确答案是C。

3. 解析：

由题意，$$f(0) = 2 \sin \varphi = -1$$，解得$$\varphi = -\frac{\pi}{6}$$。

函数向左平移$$\pi$$个单位后与原函数重合，说明周期为$$\pi$$，即$$\omega = 2$$。

因此$$\frac{\varphi}{\omega} = -\frac{\pi}{12}$$。

综上，正确答案是A。

4. 解析：

解方程$$\sin \pi x = \cos \pi x$$，得$$\tan \pi x = 1$$，即$$x = \frac{1}{4} + k$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。

在区间$$[0, 2]$$内，交点为$$A\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$和$$B\left(\frac{5}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$。

计算面积：$$S = \frac{1}{2} \times 2 \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。

综上，正确答案是B。

5. 解析：

由题意，$$f(x)$$和$$g(x)$$的对称轴完全相同，说明它们的周期相同，即$$\omega = 2$$。

$$g(x) = 3 \cos(2x + \varphi) + 1$$。

A选项：最大值为$$4$$，故A错误。

B选项：求导得$$g'(x) = -6 \sin(2x + \varphi)$$，若$$\varphi = 0$$，在$$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{12}\right)$$上$$g'(x) < 0$$，单调递减，故B可能正确。

C选项：若$$\varphi = 0$$，$$g\left(\frac{\pi}{12}\right) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + 1 \neq 0$$，故C错误。

D选项：若$$\varphi = 0$$，$$g\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 3 \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 1 = \frac{5}{2}$$，不是极值点，故D错误。

综上，正确答案是B。

6. 解析：

由题意，$$f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\omega x + \theta)$$，最大值为$$4$$，故$$\sqrt{a^2 + b^2} = 4$$。

由$$f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 4$$，得$$\omega \cdot \frac{\pi}{12} + \theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$。

由单调性及$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -f\left(\frac{\pi}{6}\right)$$，可得$$\omega = 2$$，$$\theta = \frac{\pi}{3}$$。

因此$$f(x) = 4 \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$，$$g(x) = 4 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$。

解方程$$g(x) = \sqrt{x + \frac{\pi}{3}}$$，通过图像分析可得交点个数为$$5$$。

综上，正确答案是B。

7. 解析：

化简$$f(x) = \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^2 x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x - \frac{1 + \cos 2x}{2} = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2}$$。

向左平移$$\frac{\pi}{6}$$个单位后，$$g(x) = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2} = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2}$$。

对称轴满足$$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$$。

当$$k = 0$$时，$$x = \frac{\pi}{6}$$是对称轴。

综上，正确答案是A。

8. 解析：

解方程$$6 \cos x = 5 \tan x$$，即$$6 \cos^2 x = 5 \sin x$$，解得$$\sin x = \frac{3}{5}$$（舍去负值）。

因此$$P$$的坐标为$$\left(\arcsin \frac{3}{5}, \frac{24}{5}\right)$$，$$P_1$$为$$\left(\arcsin \frac{3}{5}, 0\right)$$。

直线$$PP_1$$为$$x = \arcsin \frac{3}{5}$$，与$$y = \sin x$$的交点$$P_2$$为$$\left(\arcsin \frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right)$$。

线段$$P_1P_2$$的长度为$$\frac{3}{5}$$。

综上，正确答案是A。

9. 解析：

题目描述不完整，无法解析。

10. 解析：

由图可知，振幅$$A = 1$$，周期$$T = \pi$$，故$$\omega = 2$$。

由$$f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 1$$，得$$2 \cdot \frac{\pi}{12} + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，解得$$\varphi = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$。

取$$\varphi = \frac{\pi}{3}$$，故$$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$。

A选项：当$$x \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$$，$$2x + \frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$$，值域为$$\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$$，故A错误。

B选项：$$f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \neq 0$$，故B错误。

C选项：$$f'(x) = 2 \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$，在$$\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$$上不恒为正，故C错误。

D选项：$$y = \cos 2x$$向右平移$$\frac{\pi}{12}$$个单位得$$y = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{12}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = f(x)$$，故D正确。

综上，正确答案是D。

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