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正确率60.0%已知$${{t}{a}{n}{α}{=}{2}}$$，则$$\operatorname{s i n} \Bigl( \alpha-\frac{\pi} {4} \Bigr) \operatorname{s i n} \Bigl( \alpha+\frac{\pi} {4} \Bigr)=$$（）
C
A.$${{−}}$$$$\frac{3} {1 0}$$
B.$$- \frac{3} {5}$$
C.$$\frac{3} {1 0}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
3、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-5 \operatorname{c o s} \alpha}=3，$$则$${{c}{o}{s}{2}{α}{=}{（}}$$）
B
A.$$- \frac{2 4} {2 5}$$
B.$$- \frac{6 3} {6 5}$$
C.$$\frac{2 4} {2 5}$$
D.$$\frac{7} {2 5}$$
4、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+3 \operatorname{c o s} \alpha} {2 \operatorname{c o s} \alpha-\operatorname{s i n} \alpha}=2，$$则$${{c}{o}{s}^{2}{α}{+}{{s}{i}{n}}{α}{⋅}{{c}{o}{s}}{α}{=}{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{6} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$- \frac{3} {5}$$
5、['数量积的运算律'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{（}{4}{{s}{i}{n}}{α}{，}{1}{−}{{c}{o}{s}}{α}{）}{，}{{b}^{→}}{=}{（}{1}{，}{−}{2}{）}{，}}$$若$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{−}{2}{，}}$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha} {2 \operatorname{s i n}^{2} \alpha-\operatorname{c o s}^{2} \alpha}=\alpha$$）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$- \frac{2} {7}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
6、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+\mathrm{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-2 \mathrm{c o s} \alpha}=-2，$$则$$2 \mathrm{c o s}^{2} \alpha+\frac{3} {2} \mathrm{s i n} 2 \alpha-3 \mathrm{s i n}^{2} \alpha$$的值等于（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {1 7}$$
D.$$\frac{1 6} {1 7}$$
7、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%如果$${{t}{a}{n}{{θ}{=}{2}}{，}}$$那么$${{1}{+}{{s}{i}{n}}{{θ}{{c}{o}{s}}{θ}}}$$的值是（）
B
A.$$\frac{7} {3}$$
B.$$\frac{7} {5}$$
C.$$\frac{5} {4}$$
D.$$\frac{5} {3}$$
8、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%已知$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}{，}{{f}^{′}}{（}{x}{）}{=}{3}{f}{（}{x}{）}{，}{{f}^{′}}{（}{x}{）}}$$为$${{f}{（}{x}{）}}$$的导数，则$$\frac{\operatorname{s i n}^{2} x-3} {\operatorname{c o s}^{2} x+1}=\langle$$）
C
A.$$\frac{1 3} {9}$$
B.$$\frac{1 1} {6}$$
C.$$- \frac{1 4} {9}$$
D.$$- \frac{1 1} {6}$$
9、['利用诱导公式求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$${{t}{a}{n}{α}{=}{2}}$$，则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}-2 \alpha)=$$（）
D
A.$$\frac{2} {5}$$或$$- \frac{2} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$或$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
10、['利用诱导公式化简'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{θ}}$$的顶点在坐标原点，始边与$${{x}}$$轴正半轴重合，终边在直线$${{2}{x}{−}{y}{=}{0}}$$上，则$$\frac{\operatorname{s i n} \left( \frac{3 \pi} {2}+\theta\right)+2 \operatorname{c o s} ( 5 \pi-\theta)} {\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}-\theta\right)-\operatorname{s i n} ( \pi-\theta)}=$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{0}}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
以下是各题的详细解析：
2. 解析：
已知 $$tanα=2$$，利用三角恒等式 $$sin(α-\frac{π}{4})sin(α+\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}[cos(2α) - cos(\frac{π}{2})] = \frac{1}{2}cos(2α)$$。
由 $$tanα=2$$，得 $$cos(2α) = \frac{1-tan^2α}{1+tan^2α} = \frac{1-4}{1+4} = -\frac{3}{5}$$。
因此，原式 $$= \frac{1}{2} \times (-\frac{3}{5}) = -\frac{3}{10}$$，答案为 A。
3. 解析：
由 $$\frac{sinα+cosα}{sinα-5cosα}=3$$，化简得 $$sinα+cosα=3sinα-15cosα$$，即 $$2sinα=16cosα$$，故 $$tanα=8$$。
利用 $$cos(2α) = \frac{1-tan^2α}{1+tan^2α} = \frac{1-64}{1+64} = -\frac{63}{65}$$，答案为 B。
4. 解析：
由 $$\frac{sinα+3cosα}{2cosα-sinα}=2$$，化简得 $$sinα+3cosα=4cosα-2sinα$$，即 $$3sinα=cosα$$，故 $$tanα=\frac{1}{3}$$。
所求 $$cos^2α + sinαcosα = cos^2α(1+tanα) = \frac{1}{1+tan^2α}(1+tanα) = \frac{1+\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{9}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{10}{9}} = \frac{6}{5}$$，答案为 A。
5. 解析：
由向量点积 $$4sinα \cdot 1 + (1-cosα)(-2) = -2$$，化简得 $$4sinα -2 +2cosα=-2$$，即 $$4sinα+2cosα=0$$，故 $$tanα=-\frac{1}{2}$$。
所求 $$\frac{sinαcosα}{2sin^2α-cos^2α} = \frac{tanα}{2tan^2α-1} = \frac{-\frac{1}{2}}{2 \times \frac{1}{4}-1} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = 1$$，答案为 A。
6. 解析：
由 $$\frac{sinα+cosα}{sinα-2cosα}=-2$$，化简得 $$sinα+cosα=-2sinα+4cosα$$，即 $$3sinα=3cosα$$，故 $$tanα=1$$。
所求 $$2cos^2α + \frac{3}{2}sin2α -3sin^2α = 2cos^2α + 3sinαcosα -3sin^2α$$，除以 $$cos^2α$$ 得 $$2 + 3tanα -3tan^2α = 2+3-3=2$$，但选项无此答案，重新计算：
原式 $$= \frac{2+3tanα-3tan^2α}{1+tan^2α} = \frac{2+3-3}{2} = 1$$，答案为 B。
7. 解析：
由 $$tanθ=2$$，得 $$sinθcosθ = \frac{tanθ}{1+tan^2θ} = \frac{2}{5}$$。
所求 $$1+sinθcosθ = 1+\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$$，答案为 B。
8. 解析：
由 $$f(x)=sinx+cosx$$，导数 $$f'(x)=cosx-sinx=3(sinx+cosx)$$，解得 $$cosx=-2sinx$$，故 $$tanx=-\frac{1}{2}$$。
所求 $$\frac{sin^2x-3}{cos^2x+1} = \frac{tan^2x-3sec^2x}{1+sec^2x} = \frac{\frac{1}{4}-3 \times \frac{5}{4}}{1+\frac{5}{4}} = \frac{-\frac{14}{4}}{\frac{9}{4}} = -\frac{14}{9}$$，答案为 C。
9. 解析：
由 $$tanα=2$$，利用 $$cos(\frac{π}{2}-2α)=sin(2α) = \frac{2tanα}{1+tan^2α} = \frac{4}{5}$$，答案为 D。
10. 解析：
终边在直线 $$2x-y=0$$ 上，故 $$tanθ=2$$。
化简分子：$$sin(\frac{3π}{2}+θ)+2cos(5π-θ) = -cosθ -2cosθ = -3cosθ$$。
化简分母：$$sin(\frac{π}{2}-θ)-sin(π-θ) = cosθ -sinθ$$。
所求 $$\frac{-3cosθ}{cosθ-sinθ} = \frac{-3}{1-tanθ} = \frac{-3}{-1} = 3$$，答案为 A。