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正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} (-x )+\operatorname{s i n} ( \pi-x )=\frac{3} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} x \cdot\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+x \right)=$$（）
D
A.$$\frac{1 6} {2 5}$$
B.$$- \frac{1 6} {2 5}$$
C.$$\frac{8} {2 5}$$
D.$$- \frac{8} {2 5}$$
2、['同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \! \theta， ~ \operatorname{c o s} \! \theta$$是关于$${{x}}$$的方程$$x^{2}-a x+a=0$$的两个根，则$$\operatorname{s i n}^{4} \theta+\operatorname{c o s}^{4} \theta$$的值为（）
D
A.随$${{a}}$$的变化而变化
B.$$1-\frac{\sqrt{2}} {2}$$
C.$$1+\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}{−}{5}}$$
3、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\frac{\pi} {2} < \alpha< \pi，$$则$$\sqrt{1-2 \mathrm{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\alpha\right) \mathrm{s i n} ( \pi-\alpha)}$$的化简结果是（）
A
A.$$\operatorname{s i n} \! \alpha-\operatorname{c o s} \! \alpha$$
B.$$\operatorname{s i n} \! \alpha+\operatorname{c o s} \! \alpha$$
C.$${{s}{i}{n}{α}}$$
D.$${{−}{{c}{o}{s}}{α}}$$
4、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%已知$$\mathrm{t a n} \alpha+\frac{1} {\mathrm{t a n} \alpha}=4 \left( \alpha\in\left( \pi， \ \frac{3} {2} \pi\right) \right)，$$则$$\mathrm{s i n} \alpha+\mathrm{c o s} \alpha=$$（）
B
A.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt6} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$$- \frac{\sqrt6} {3}$$
5、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值'， '直线的斜率']正确率40.0%若$${{θ}}$$是直线$${{l}}$$的倾斜角，且$$\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta=\frac{\sqrt{5}} {5}，$$则直线$${{l}}$$的斜率为（）
D
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$或$${{−}{2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$或$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
6、['三角函数与二次函数的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%若函数$$f ( x )=-\frac{5} {6}+\frac{1} {6} \operatorname{s i n} 2 x+m ( \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x ) \leqslant0$$在$$(-\infty，+\infty)$$上恒成立，则$${{m}}$$的取值范围是
B
A.$$[-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} ]$$
B.$$[-\frac{\sqrt{2}} {3}， \frac{\sqrt{2}} {3} ]$$
C.$$[-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} ]$$
D.$$[-\frac{\sqrt{2}} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
7、['同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%若$$| \operatorname{s i n} \theta|+| \operatorname{c o s} \theta|=\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$，则$$\operatorname{s i n}^{4} \theta+\operatorname{c o s}^{4} \theta=$$（）
B
A.$$\frac{5} {6}$$
B.$$\frac{1 7} {1 8}$$
C.$$\frac{8} {9}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
8、['正切函数的诱导公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha=\sqrt{2}， \， \， \， \alpha\in( 0， \， \， \， \pi)，$$则
的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
9、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x=\frac{1} {5}， \， \， \， 0 \leqslant x \leqslant\pi，$$则$${{t}{a}{n}{x}}$$等于（）
B
A.$$- \frac{4} {3}$$或$$- \frac{3} {4}$$
B.$$- \frac{4} {3}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$\frac{4} {3}$$或$$\frac{3} {4}$$
10、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%若$$\alpha\in\mathit{\Gamma} ( 0， \mathit{\pi} )$$且$$\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{s i n} \alpha=-\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} 2 \alpha=$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 7}} {9}$$
B.$$\pm\frac{\sqrt{1 7}} {9}$$
C.$$- \frac{\sqrt{1 7}} {9}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 7}} {3}$$
1. 解析：首先利用三角函数的性质化简方程：$$ \cos(-x) + \sin(\pi - x) = \cos x + \sin x = \frac{3}{5} $$。然后计算 $$ \sin x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin x \cdot \cos x $$。利用平方和公式：$$ (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x $$，代入已知值得 $$ \frac{9}{25} = 1 + 2 \sin x \cos x $$，解得 $$ \sin x \cos x = -\frac{8}{25} $$。故选 D。
2. 解析：根据韦达定理，$$ \sin \theta + \cos \theta = a $$，$$ \sin \theta \cos \theta = a $$。利用 $$ \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2a^2 $$。同时，由 $$ (\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta $$ 得 $$ a^2 = 1 + 2a $$，解得 $$ a = 1 \pm \sqrt{2} $$。由于 $$ |\sin \theta \cos \theta| \leq \frac{1}{2} $$，舍去 $$ a = 1 + \sqrt{2} $$，取 $$ a = 1 - \sqrt{2} $$，代入得 $$ \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2(1 - \sqrt{2})^2 = 4\sqrt{2} - 5 $$。故选 D。
3. 解析：利用三角恒等式化简：$$ \sqrt{1 - 2 \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \sin(\pi - \alpha)} = \sqrt{1 - 2 \cos \alpha \sin \alpha} $$。因为 $$ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $$，$$ \sin \alpha > 0 $$，$$ \cos \alpha < 0 $$，所以 $$ \sqrt{1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \sqrt{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2} = \sin \alpha - \cos \alpha $$。故选 A。
4. 解析：由 $$ \tan \alpha + \frac{1}{\tan \alpha} = 4 $$，解得 $$ \tan \alpha = 2 \pm \sqrt{3} $$。由于 $$ \alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) $$，$$ \tan \alpha > 0 $$，取 $$ \tan \alpha = 2 + \sqrt{3} $$。设 $$ \sin \alpha + \cos \alpha = k $$，平方得 $$ 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = k^2 $$。又 $$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2 + \sqrt{3} $$，解得 $$ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} $$，故 $$ k^2 = \frac{3}{2} $$，$$ k = -\frac{\sqrt{6}}{2} $$（因为 $$ \alpha $$ 在第三象限）。故选 B。
5. 解析：设斜率为 $$ k = \tan \theta $$，由 $$ \sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5} $$，平方得 $$ 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{5} $$，解得 $$ \sin \theta \cos \theta = -\frac{2}{5} $$。因为 $$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $$，设 $$ t = \tan \theta $$，则 $$ \frac{t}{1 + t^2} = -\frac{2}{5} $$，解得 $$ t = -2 $$ 或 $$ t = -\frac{1}{2} $$。故选 B。
6. 解析：设 $$ t = \sin x + \cos x $$，则 $$ \sin 2x = t^2 - 1 $$，不等式化为 $$ -\frac{5}{6} + \frac{1}{6}(t^2 - 1) + m t \leq 0 $$，即 $$ t^2 + 6m t - 6 \leq 0 $$ 对所有 $$ t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $$ 成立。需判别式 $$ 36m^2 + 24 \leq 0 $$ 不成立，故需在边界点满足不等式：$$ (\sqrt{2})^2 + 6m \sqrt{2} - 6 \leq 0 $$ 且 $$ (-\sqrt{2})^2 - 6m \sqrt{2} - 6 \leq 0 $$，解得 $$ m \in \left[-\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}\right] $$。故选 B。
7. 解析：平方 $$ |\sin \theta| + |\cos \theta| = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$ 得 $$ 1 + 2 |\sin \theta \cos \theta| = \frac{4}{3} $$，故 $$ |\sin \theta \cos \theta| = \frac{1}{6} $$。于是 $$ \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \times \frac{1}{36} = \frac{17}{18} $$。故选 B。
8. 解析：由 $$ \sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{2} $$，平方得 $$ 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 $$，故 $$ \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{2} $$。因为 $$ \alpha \in (0, \pi) $$，且 $$ \sin \alpha - \cos \alpha > 0 $$，所以 $$ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) $$。所求 $$ \tan \alpha + \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = -2 $$。故选 C。
9. 解析：由 $$ \sin x + \cos x = \frac{1}{5} $$，平方得 $$ 1 + \sin 2x = \frac{1}{25} $$，故 $$ \sin 2x = -\frac{24}{25} $$。因为 $$ 0 \leq x \leq \pi $$，且 $$ \sin x + \cos x > 0 $$，所以 $$ x \in \left(0, \frac{3\pi}{4}\right) $$。设 $$ t = \tan x $$，则 $$ \frac{2t}{1 + t^2} = -\frac{24}{25} $$，解得 $$ t = -\frac{4}{3} $$ 或 $$ t = -\frac{3}{4} $$。检验得 $$ t = -\frac{4}{3} $$ 符合。故选 B。
10. 解析：由 $$ \cos \alpha + \sin \alpha = -\frac{1}{3} $$，平方得 $$ 1 + \sin 2\alpha = \frac{1}{9} $$，故 $$ \sin 2\alpha = -\frac{8}{9} $$。因为 $$ \alpha \in (0, \pi) $$，且 $$ \cos \alpha + \sin \alpha < 0 $$，所以 $$ \alpha \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) $$，$$ 2\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) $$。于是 $$ \cos 2\alpha = \sqrt{1 - \sin^2 2\alpha} = \frac{\sqrt{17}}{9} $$。故选 A。