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正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} ( \omega x-\frac{\pi} {6} )-\frac{1} {2} ( \omega> 0 )$$，函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为$$\frac{\pi} {4}，$$将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，若$${{g}{(}{x}{)}{−}{3}{⩽}{m}{⩽}{g}{(}{x}{)}{+}{3}}$$在$$x \in[ 0， \frac{\pi} {3} ]$$上恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{[}{−}{2}{，}{1}{]}}$$
B.$${{[}{−}{5}{，}{1}{]}}$$
C.$${{[}{−}{2}{，}{4}{]}}$$
D.$${{[}{−}{5}{，}{4}{]}}$$
2、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{ω}{x}{−}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{ω}{x}{（}{x}{∈}{R}{）}}$$的图象与$${{x}}$$轴的两个相邻交点的距离是$$\frac{\pi} {4}，$$将$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度后得到函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，则函数$${{g}{（}{x}{）}}$$在$$[ 0， ~ \frac{\pi} {2} ]$$上的单调增区间为（）
C
A.$$[ 0， ~ \frac{\pi} {8} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {8}， \ \frac{\pi} {2} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {8}， ~ \frac{3 \pi} {8} ]$$
D.$$[ \frac{3 \pi} {8}， \ \frac{\pi} {2} ]$$
3、['正弦（型）函数的单调性'， '辅助角公式'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%将函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{2}{x}{+}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{2}{x}}$$的图象向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位后得到$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，则函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的一个单调递增区间为（）
A
A.$$[-\frac{\pi} {4}， \ \frac{pi} {4} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {4}， \ \frac{3 \pi} {4} ]$$
C.$$[-\frac{\pi} {3}， \ \frac{\pi} {6} ]$$
D.$$[-\frac{\pi} {2}， \; 0 ]$$
4、['正弦（型）函数的奇偶性'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%先把函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{(}{x}{+}{φ}{)}}$$的图象上个点的横坐标缩短为原来的$$\frac{1} {2} ($$纵坐标不变$${{)}}$$，再向右平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位，所得函数关于$${{y}}$$轴对称，则$${{φ}}$$的值可以是$${{(}{)}}$$
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$- \frac{\pi} {6}$$
D.$$- \frac{\pi} {3}$$
5、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， \ | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$的最小周期为$${{4}{π}}$$，且其图象向右平移$$\frac{2 \pi} {3}$$个单位后得到的图象关于$${{y}}$$轴对称，则$${{φ}{=}{（}}$$）
A
A.$$- \frac{\pi} {6}$$
B.$$- \frac{\pi} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
6、['函数的最大(小)值'， '辅助角公式'， '三角函数的图象变换'， '余弦（型）函数的奇偶性']正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( 2 x-\phi)-\sqrt{3} \operatorname{s i n} ( 2 x-\phi)， ( | \phi| < \frac{\pi} {2} )$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位后关于$${{y}}$$轴对称，则$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[-\frac{\pi} {2}， 0 ]$$上的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{−}{2}}$$
7、['正弦（型）函数的单调性'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{4}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{x}{{c}{o}{s}}{x}{+}{4}{{c}{o}{s}^{2}}{x}{−}{2}}$$，将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向右移动$$\frac{\pi} {4}$$后得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则函数$${{g}{(}{x}{)}}$$在（）上单调递减．
B
A.$$\left( \frac{\pi} {2}， \pi\right)$$
B.$$\left(-\frac{\pi} {2}，-\frac{\pi} {3} \right)$$
C.$$\left( \frac{4 \pi} {3}， \frac{5 \pi} {3} \right)$$
D.$$\left(-\pi，-\frac{2 \pi} {3} \right)$$
8、['简单复合函数的导数'， '正弦曲线的对称中心'， '两角和与差的正弦公式'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%先将函数$$f \left( x \right)=\operatorname{c o s} \left( 4 x-\frac{\pi} {3} \right)$$的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个长度单位，再向下平移$${{1}}$$个长度单位，得到函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$的图象，$${{g}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$是$${{g}{{(}{x}{)}}}$$的导函数，则函数$${{y}{=}{g}{^{′}}{{(}{x}{)}}{−}{4}{f}{{(}{x}{)}}}$$的一个对称中心是（）
A
A.$$\left(-\frac{\pi} {1 6}， 0 \right)$$
B.$$\left( \frac{\pi} {1 6}， 0 \right)$$
C.$$\left( \frac{\pi} {8}， 0 \right)$$
D.$$\left( \frac{3 \pi} {8}， 0 \right)$$
9、['三角恒等变换综合应用'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%把函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}^{2}}{x}}$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位，得到函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象．给出下列四个命题
$${①{g}{（}{x}{）}}$$的值域为$${（{0}{，}{1}{]}{；}}$$
$${②{g}{（}{x}{）}}$$的一个对称轴是$$x=\frac{\pi} {1 2}$$；
$${③{g}{（}{x}{）}}$$的一个对称中心是$$( \ \frac{\pi} {3}， \ \frac{1} {2} ) \ \ ;$$
$${④{g}{（}{x}{）}}$$存在两条互相垂直的切线．
其中正确的命题个数是（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数的图象变换'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \mathrm{c o s} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$图象的相邻两条对称轴之间的距离为$$\frac{\pi} {2}，$$将 函数$${{f}{(}{x}{)}}$$ 的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$ 个单位长度后，得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$ 的图象．若函数$${{g}{(}{x}{)}}$$ 为奇函数， 则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$ 在区间$$( 0， \frac{\pi} {2} )$$ 上的值域是 $${{(}{)}}$$
A
A.$${{[}{−}{2}{，}{\sqrt {3}}{)}}$$
B.$${{(}{−}{2}{，}{2}{)}}$$
C.$${{(}{−}{\sqrt {3}}{，}{2}{]}}$$
D.$${{(}{−}{\sqrt {3}}{，}{\sqrt {3}}{)}}$$
以下是各题的详细解析： --- ### 1. **解析：** 1. **确定 $$ω$$** 对称中心到对称轴的最小距离为 $$T/4 = π/4$$，所以周期 $$T = π$$。 由 $$T = 2π/ω$$ 得 $$ω = 2$$。 2. **平移函数** 函数 $$f(x) = \sqrt{3} \sin(2x - π/6) - 1/2$$ 向右平移 $$π/12$$ 单位后得到： $$g(x) = \sqrt{3} \sin(2(x - π/12) - π/6) - 1/2 = \sqrt{3} \sin(2x - π/3) - 1/2$$。 3. **求 $$g(x)$$ 在 $$[0, π/3]$$ 的值域** - 当 $$x ∈ [0, π/3]$$，$$2x - π/3 ∈ [-π/3, π/3]$$。 - $$\sin(2x - π/3) ∈ [-\sqrt{3}/2, \sqrt{3}/2]$$，故 $$g(x) ∈ [-2, 1]$$。 4. **不等式恒成立条件** 要求 $$g(x) - 3 ≤ m ≤ g(x) + 3$$ 恒成立，即 $$m ∈ [−2 − 3, 1 + 3] = [−5, 4]$$。 **答案：**D.$${{[}{−}{5}{,}{4}{]}}$$
--- ### 2. **解析：** 1. **确定 $$ω$$** 函数 $$f(x) = \sin(ωx) - \sqrt{3} \cos(ωx) = 2 \sin(ωx - π/3)$$。 与 $$x$$ 轴相邻交点距离为半周期，即 $$π/ω = π/4$$，故 $$ω = 4$$。 2. **平移函数** 向左平移 $$π/3$$ 单位后： $$g(x) = 2 \sin(4(x + π/3) - π/3) = 2 \sin(4x + π) = -2 \sin(4x)$$。 3. **求单调增区间** $$g(x)$$ 的增区间即 $$\sin(4x)$$ 的减区间： $$4x ∈ [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]$$，即 $$x ∈ [π/8 + kπ/2, 3π/8 + kπ/2]$$。 在 $$[0, π/2]$$ 上为 $$[π/8, 3π/8]$$。 **答案：**C.$$[ \frac{\pi} {8}, ~ \frac{3 \pi} {8} ]$$
--- ### 3. **解析：** 1. **化简函数** $$f(x) = \sin(2x) + \sqrt{3} \cos(2x) = 2 \sin(2x + π/3)$$。 2. **平移函数** 向右平移 $$π/6$$ 单位后： $$g(x) = 2 \sin(2(x - π/6) + π/3) = 2 \sin(2x)$$。 3. **求单调增区间** $$\sin(2x)$$ 的增区间为 $$2x ∈ [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]$$，即 $$x ∈ [-π/4 + kπ, π/4 + kπ]$$。 选项 A 符合 $$k = 0$$ 时。 **答案：**A.$$[-\frac{\pi} {4}, \ \frac{pi} {4} ]$$
--- ### 4. **解析：** 1. **变换函数** 横坐标缩短为 $$1/2$$ 得 $$y = \sin(2x + φ)$$，再向右平移 $$π/3$$ 单位得： $$y = \sin(2(x - π/3) + φ) = \sin(2x - 2π/3 + φ)$$。 2. **关于 $$y$$ 轴对称** 函数需为偶函数，即 $$-2π/3 + φ = π/2 + kπ$$，解得 $$φ = 7π/6 + kπ$$。 选项 C 满足 $$k = -1$$ 时 $$φ = -π/6$$。 **答案：**C.$$- \frac{\pi} {6}$$
--- ### 5. **解析：** 1. **确定 $$ω$$** 周期 $$4π = 2π/ω$$，故 $$ω = 1/2$$。 2. **平移函数** 向右平移 $$2π/3$$ 单位后： $$f(x) = \sin\left(\frac{1}{2}(x - 2π/3) + φ\right)$$。 关于 $$y$$ 轴对称，则 $$\frac{1}{2}(-2π/3) + φ = \frac{π}{2} + kπ$$，解得 $$φ = \frac{π}{2} + \frac{π}{3} + kπ$$。 由 $$|φ| < π/2$$，得 $$φ = π/6$$（$$k = -1$$）。 **答案：**C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
--- ### 6. **解析：** 1. **化简函数** $$f(x) = 2 \cos(2x - φ + π/3)$$。 2. **平移后对称性** 向右平移 $$π/12$$ 单位后： $$2 \cos(2(x - π/12) - φ + π/3)$$ 关于 $$y$$ 轴对称，故 $$-π/6 - φ + π/3 = kπ$$。 由 $$|φ| < π/2$$，得 $$φ = π/6$$。 3. **求最小值** $$f(x) = 2 \cos(2x - π/6)$$ 在 $$[-π/2, 0]$$ 上，$$2x - π/6 ∈ [-7π/6, -π/6]$$，最小值为 $$2 \cos(-π/6) = \sqrt{3}$$。 **答案：**B.$${\sqrt {3}}$$
--- ### 7. **解析：** 1. **化简函数** $$f(x) = 2\sqrt{3} \sin(2x) + 2 \cos(2x) = 4 \sin(2x + π/6)$$。 2. **平移函数** 向右平移 $$π/4$$ 单位后： $$g(x) = 4 \sin(2(x - π/4) + π/6) = 4 \sin(2x - π/2 + π/6) = -4 \sin(2x + π/3)$$。 3. **单调减区间** $$\sin(2x + π/3)$$ 的增区间为 $$2x + π/3 ∈ [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]$$，即 $$x ∈ [-5π/12 + kπ, π/12 + kπ]$$。 选项 D 符合 $$k = -1$$ 时 $$x ∈ [-17π/12, -11π/12]$$。 **答案：**D.$$\left(-\pi,-\frac{2 \pi} {3} \right)$$
--- ### 8. **解析：** 1. **变换函数** 向左平移 $$π/6$$ 单位得 $$y = \cos(4x + 2π/3 - π/3) = \cos(4x + π/3)$$，再向下平移 1 单位得 $$g(x) = \cos(4x + π/3) - 1$$。 2. **求导** $$g'(x) = -4 \sin(4x + π/3)$$。 3. **对称中心** $$y = g'(x) - 4f(x) = -4 \sin(4x + π/3) - 4 \cos(4x + π/3) + 4$$。 化简为 $$y = -4\sqrt{2} \sin(4x + 7π/12) + 4$$，对称中心满足 $$4x + 7π/12 = kπ$$，即 $$x = -\frac{7π}{48} + \frac{kπ}{4}$$。 选项 A 满足 $$k = 1$$ 时 $$x = -\frac{π}{16}$$。 **答案：**A.$$\left(-\frac{\pi} {1 6}, 0 \right)$$
--- ### 9. **解析：** 1. **平移函数** $$g(x) = \sin^2(x - π/12) = \frac{1 - \cos(2x - π/6)}{2}$$。 2. **分析命题** - ① 值域为 $$[0, 1]$$（错误）。 - ② 对称轴为 $$x = π/12$$（正确）。 - ③ 对称中心为 $$(π/3, 1/2)$$（正确）。 - ④ 存在垂直切线（正确，如 $$x = π/12$$ 和 $$x = 7π/12$$）。 **答案：**C.$${{3}}$$
--- ### 10. **解析：** 1. **确定 $$ω$$** 相邻对称轴距离为 $$π/2$$，故周期 $$T = π$$，$$ω = 2$$。 2. **平移函数** 向左平移 $$π/6$$ 单位后： $$g(x) = 2 \cos(2(x + π/6) + φ) = 2 \cos(2x + π/3 + φ)$$。 为奇函数，则 $$π/3 + φ = π/2 + kπ$$，解得 $$φ = π/6 + kπ$$。 由 $$|φ| < π/2$$，得 $$φ = π/6$$。 3. **求值域** $$f(x) = 2 \cos(2x + π/6)$$ 在 $$(0, π/2)$$ 上，$$2x + π/6 ∈ (π/6, 7π/6)$$，值域为 $$(-2, \sqrt{3}]$$。 **答案：**C.$${{(}{−}{\sqrt {3}}{,}{2}{]}}$$
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