利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值-三角函数的拓展与综合知识点课后进阶单选题自测题解析-安徽省等高一数学必修,平均正确率52.0%

正确率60.0%已知$$\frac{\pi} {2} < \alpha< \pi，$$则$$\sqrt{1-2 \mathrm{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\alpha\right) \mathrm{s i n} ( \pi-\alpha)}$$的化简结果是（）

A

A.$$\operatorname{s i n} \! \alpha-\operatorname{c o s} \! \alpha$$

B.$$\operatorname{s i n} \! \alpha+\operatorname{c o s} \! \alpha$$

C.$${{s}{i}{n}{α}}$$

D.$${{−}{{c}{o}{s}}{α}}$$

正确率60.0%已知角$$A， ~ B， ~ C$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角，$$\operatorname{s i n} A+\operatorname{c o s} A=\frac{5} {1 3}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$为（）

C

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.无法判断

正确率60.0%已知$$\mathrm{s i n} \alpha\cdot\mathrm{c o s} \alpha=\frac{1} {8}， \， \frac{\pi} {4} < \， \alpha< \， \frac{\pi} {2}$$，则$$\mathrm{c o s} \alpha-\mathrm{s i n} \alpha$$的值为（）

B

A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$\frac{3} {4}$$

D.$$- \frac{3} {4}$$

正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x=\frac{\sqrt{3}} {2}，$$则$$\operatorname{t a n} x+\frac{1} {\operatorname{t a n} x}=$$（）

C

A.$${{−}{6}}$$

B.$${{−}{7}}$$

C.$${{−}{8}}$$

D.$${{−}{9}}$$

正确率60.0%若$$0 < x \leq\frac{\pi} {3}$$，则函数$$y=\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x+\operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x$$的值域是（）

D

A.$$[-1， ~+\infty)$$

B.$$[-1， ~ 2 ]$$

C.$$( \ 0， \ 2 ]$$

D.$$( 1， ~ \sqrt{2}+\frac{1} {2} ]$$

正确率40.0%当$$\alpha\in( \frac{\pi} {2}， \ \pi)$$时，若$$\operatorname{s i n} ( \pi-\alpha)-\operatorname{c o s} ( \pi+\alpha)=\frac{\sqrt{2}} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha$$的值为（）

C

A.$$\frac{\sqrt2} 3$$

B.$$- \frac{\sqrt2} 3$$

C.$$\frac{4} {3}$$

D.$$- \frac{4} {3}$$

正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} \theta\cdot\operatorname{c o s} \theta=\frac{1} {2}，$$则下列结论中一定成立的是（）

D

A.$$\operatorname{s i n} \theta=\frac{\sqrt2} {2}$$

B.$$\operatorname{s i n} \theta=-\frac{\sqrt2} 2$$

C.$$\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta=1$$

D.$$\operatorname{s i n} \theta-\operatorname{c o s} \theta=0$$

正确率40.0%若$${{α}}$$是三角形的内角，且$$\operatorname{s i n} \， \alpha+\operatorname{c o s} \， \alpha=\frac{2} {3}，$$则三角形是$${{(}{)}}$$

A

A.钝角三角形

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

正确率40.0%若$$a$$对任意$$x \in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)$$恒成立，则$${{a}}$$的最大值为（）

D

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$$\frac{5 \sqrt{2}} {2}$$

D.$$\frac{5 \sqrt{2}} {4}$$

正确率60.0%已知$${{α}}$$是第二象限角，$$\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {5}$$，则$$\operatorname{c o s} \， \alpha-\operatorname{s i n} \， \alpha=$$（）

B

A.$$- \frac{1} {5}$$

B.$$- \frac{7} {5}$$

C.$$\frac{1} {5}$$

D.$$\frac{7} {5}$$

1. 解析：首先化简被开方数： $$1 - 2 \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \sin(\pi - \alpha) = 1 - 2 \cos \alpha \sin \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$$ 由于 $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$，$$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，故 $$\sin \alpha - \cos \alpha > 0$$，开方后结果为 $$\sin \alpha - \cos \alpha$$。答案为 A。

2. 解析：由 $$\sin A + \cos A = \frac{5}{13}$$，平方得： $$1 + 2 \sin A \cos A = \frac{25}{169} \Rightarrow \sin A \cos A = -\frac{72}{169} < 0$$ 因为 $$A$$ 是三角形内角，且 $$\sin A \cos A < 0$$，说明 $$A$$ 为钝角。答案为 C。

3. 解析：设 $$x = \cos \alpha - \sin \alpha$$，平方得： $$x^2 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$$ 由于 $$\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$$，$$\cos \alpha < \sin \alpha$$，故 $$x < 0$$，即 $$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。答案为 B。

4. 解析：设 $$\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，平方得： $$1 + 2 \sin x \cos x = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin x \cos x = -\frac{1}{8}$$ 因此： $$\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{-\frac{1}{8}} = -8$$ 答案为 C。

5. 解析：设 $$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$，由于 $$0 < x \leq \frac{\pi}{3}$$，$$t \in (1, \sqrt{2}]$$。函数可表示为： $$y = t + \frac{t^2 - 1}{2} = \frac{t^2 + 2t - 1}{2}$$ 在 $$t \in (1, \sqrt{2}]$$ 时，$$y$$ 单调递增，最小值为 $$y(1) = 1$$，最大值为 $$y(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{1}{2}$$。值域为 $$(1, \sqrt{2} + \frac{1}{2}]$$。答案为 D。

6. 解析：化简 $$\sin(\pi - \alpha) - \cos(\pi + \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$$。设 $$x = \sin \alpha - \cos \alpha$$，平方得： $$x^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha$$ 由 $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$$，平方得： $$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{9} \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{7}{18}$$ 因此： $$x^2 = 1 - 2 \cdot \left(-\frac{7}{18}\right) = \frac{16}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{4}{3}$$ 由于 $$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，$$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，故 $$x = \sin \alpha - \cos \alpha > 0$$，即 $$x = \frac{4}{3}$$。答案为 C。

7. 解析：由 $$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$$，得 $$\sin 2\theta = 1$$，即 $$2\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，故 $$\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi$$。此时： $$\sin \theta = \cos \theta = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 因此 $$\sin \theta - \cos \theta = 0$$ 恒成立。答案为 D。

8. 解析：由 $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{2}{3}$$，平方得： $$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{4}{9} \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{5}{18} < 0$$ 因为 $$\alpha$$ 是三角形内角，且 $$\sin \alpha \cos \alpha < 0$$，说明 $$\alpha$$ 为钝角。答案为 A。

9. 解析：题目不完整，无法解答。

10. 解析：设 $$\cos \alpha - \sin \alpha = x$$，平方得： $$x^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha$$ 由 $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5}$$，平方得： $$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{25} \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{12}{25}$$ 因此： $$x^2 = 1 - 2 \cdot \left(-\frac{12}{25}\right) = \frac{49}{25} \Rightarrow x = \pm \frac{7}{5}$$ 由于 $$\alpha$$ 是第二象限角，$$\cos \alpha < 0$$，$$\sin \alpha > 0$$，故 $$x = \cos \alpha - \sin \alpha < 0$$，即 $$x = -\frac{7}{5}$$。答案为 B。