齐次式的求值问题-三角函数的拓展与综合知识点课后进阶选择题自测题解析-山东省等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%若$$\mathrm{t a n} \alpha=2，$$则$$\operatorname{c o s}^{2} \alpha=$$（）

A.$$\frac{4} {5}$$

B.$$\frac{3} {5}$$

C.$$\frac{2} {5}$$

D.$$\frac{1} {5}$$

2、['利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%若$$\mathrm{s i n} \alpha+\mathrm{c o s} \alpha=\frac{1} {3}， \， \， \， \alpha\in( 0， \， \， \pi)，$$则$$\frac{1+\mathrm{t a n} \alpha} {1-\mathrm{t a n} \alpha}=$$（）

A.$$\frac{\sqrt{1 7}} {1 7}$$

B.$$- \frac{\sqrt{1 7}} {1 7}$$

C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {1 5}$$

D.$$- \frac{\sqrt{1 5}} {1 5}$$

3、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \， \left( \frac{3 \pi} {2}-\alpha\right)+\operatorname{c o s} \， ( \pi-\alpha)=\operatorname{s i n} \alpha$$，则$$2 \operatorname{s i n}^{2} \alpha-\operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha=$$（）

A.$$\frac{2 1} {1 0}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$${{2}}$$

4、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} \alpha=\frac{3} {4}$$，则$$\operatorname{c o s}^{2} \alpha+2 \operatorname{s i n} 2 \alpha=$$（）

A.$$\frac{4 8} {2 5}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\frac{1 6} {2 5}$$

D.$$\frac{6 4} {2 5}$$

5、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$$2 \mathrm{s i n} ( \pi-\alpha)=3 \mathrm{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\alpha\right)，$$则$$\operatorname{s i n} \alpha\mathrm{c o s} \alpha+\operatorname{c o s}^{2} \! \alpha-\operatorname{s i n}^{2} \! \alpha=$$（）

A.$$\frac{5} {1 3}$$

B.$$- \frac1 {1 3}$$

C.$$- \frac{5} {1 3}$$

D.$$\frac{1} {1 3}$$

6、['两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} ( \frac{\pi} {4}+\alpha)=-2，$$则$${\frac{1-\operatorname{s i n} {2 \alpha}} {\operatorname{c o s} {2 \alpha}}}={\it(}$$）

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

7、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{s i n} 2 \alpha， \; \; \operatorname{s i n} \alpha-1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， \; 1+\operatorname{s i n} \alpha)，$$且$$\operatorname{t a n} ( \frac{\pi} {4}+\alpha)=-3，$$则$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$的值是（）

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{3} {5}$$

C.$$\frac{5} {3}$$

D.$${{−}{1}}$$

8、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} \theta=\frac{1} {4}，$$则$$\operatorname{s i n}^{2} \theta-\operatorname{c o s} 2 \theta=\cline{( 1-\frac{1} {2} )}$$）

A.$$- \frac{1 4} {1 7}$$

B.$$- \frac{7} {1 7}$$

C.$$- \frac{2} {5}$$

D.$$\frac{1 7} {1 6}$$

9、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '正切函数的诱导公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} ( \pi-x )=\frac{\sqrt{7}} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} 2 x=\langle$$）

A.$$- \frac{1} {4}$$

B.$$\frac{1} {4}$$

C.$$- \frac{1} {8}$$

D.$$\frac{1} {8}$$

10、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的余弦公式'， '齐次式的求值问题']

正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} {( 5 \pi-\alpha)}=3 \operatorname{s i n} {( \frac{3 \pi} {2}+\alpha)}，$$则$$\frac{\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {4} )} {\operatorname{s i n} \alpha+2 \operatorname{c o s} \alpha}=$$（）

A.$$\frac{2 \sqrt{2}} {5}$$

B.$$- \frac{\sqrt2} {5}$$

C.$${{−}{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

1. 已知 $$ \tan \alpha = 2 $$，求 $$ \cos^2 \alpha $$。

由 $$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2 $$，得 $$ \sin \alpha = 2 \cos \alpha $$。代入恒等式 $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$，得 $$ 4 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$，即 $$ 5 \cos^2 \alpha = 1 $$。因此，$$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} $$，答案为 D。

2. 已知 $$ \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3} $$，且 $$ \alpha \in (0, \pi) $$，求 $$ \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} $$。

平方两边得 $$ \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{9} $$，即 $$ 1 + \sin 2\alpha = \frac{1}{9} $$，故 $$ \sin 2\alpha = -\frac{8}{9} $$。由于 $$ \alpha \in (0, \pi) $$，$$ \cos 2\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 2\alpha} = -\frac{\sqrt{17}}{9} $$。由 $$ \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) $$，利用正切加法公式，得 $$ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} $$。进一步计算得答案为 B。

3. 已知 $$ \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) + \cos (\pi - \alpha) = \sin \alpha $$，求 $$ 2 \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha $$。

化简左边：$$ \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\cos \alpha $$，$$ \cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha $$，故左边为 $$ -2 \cos \alpha $$。由等式 $$ -2 \cos \alpha = \sin \alpha $$，得 $$ \tan \alpha = -2 $$。代入表达式 $$ 2 \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha $$，利用 $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$ 和 $$ \tan \alpha = -2 $$，计算得答案为 A。

4. 已知 $$ \tan \alpha = \frac{3}{4} $$，求 $$ \cos^2 \alpha + 2 \sin 2\alpha $$。

由 $$ \tan \alpha = \frac{3}{4} $$，设 $$ \sin \alpha = 3k $$，$$ \cos \alpha = 4k $$，则 $$ 9k^2 + 16k^2 = 1 $$，得 $$ k^2 = \frac{1}{25} $$，$$ k = \frac{1}{5} $$。因此，$$ \cos^2 \alpha = \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} $$，$$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} $$。代入得 $$ \cos^2 \alpha + 2 \sin 2\alpha = \frac{16}{25} + \frac{48}{25} = \frac{64}{25} $$，答案为 D。

5. 已知 $$ 2 \sin (\pi - \alpha) = 3 \sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) $$，求 $$ \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $$。

化简得 $$ 2 \sin \alpha = 3 \cos \alpha $$，即 $$ \tan \alpha = \frac{3}{2} $$。代入表达式 $$ \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $$，利用 $$ \tan \alpha = \frac{3}{2} $$ 和恒等式，计算得答案为 A。

6. 已知 $$ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = -2 $$，求 $$ \frac{1 - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} $$。

由正切加法公式，$$ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = -2 $$，解得 $$ \tan \alpha = 3 $$。利用 $$ \sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$，$$ \cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5} $$。代入得 $$ \frac{1 - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{1}{2} $$，答案为 D。

7. 已知向量 $$ \overrightarrow{a} = (\sin 2\alpha, \sin \alpha - 1) $$，$$ \overrightarrow{b} = (1, 1 + \sin \alpha) $$，且 $$ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = -3 $$，求 $$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} $$。

由 $$ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = -3 $$，解得 $$ \tan \alpha = 2 $$。计算 $$ \sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{4}{5} $$，$$ \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} $$。代入向量点积公式，$$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sin 2\alpha \cdot 1 + (\sin \alpha - 1)(1 + \sin \alpha) = \frac{4}{5} + \left( \frac{4}{5} - 1 \right) = \frac{3}{5} $$，答案为 B。

8. 已知 $$ \tan \theta = \frac{1}{4} $$，求 $$ \sin^2 \theta - \cos 2\theta $$。

利用 $$ \cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta $$，表达式化为 $$ \sin^2 \theta - (1 - 2 \sin^2 \theta) = 3 \sin^2 \theta - 1 $$。由 $$ \tan \theta = \frac{1}{4} $$，得 $$ \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{17}} $$，$$ \sin^2 \theta = \frac{1}{17} $$。代入得 $$ 3 \cdot \frac{1}{17} - 1 = -\frac{14}{17} $$，答案为 A。

9. 已知 $$ \tan (\pi - x) = \frac{\sqrt{7}}{3} $$，求 $$ \cos 2x $$。

由 $$ \tan (\pi - x) = -\tan x = \frac{\sqrt{7}}{3} $$，得 $$ \tan x = -\frac{\sqrt{7}}{3} $$。利用 $$ \cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \frac{7}{9}}{1 + \frac{7}{9}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} $$，答案为 D。

10. 已知 $$ \sin (5\pi - \alpha) = 3 \sin \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) $$，求 $$ \frac{\cos \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin \alpha + 2 \cos \alpha} $$。

化简得 $$ \sin \alpha = -3 \cos \alpha $$，即 $$ \tan \alpha = -3 $$。分子 $$ \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{4} - \sin \alpha \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\sqrt{2}} $$。分母 $$ \sin \alpha + 2 \cos \alpha = -3 \cos \alpha + 2 \cos \alpha = -\cos \alpha $$。代入得 $$ \frac{\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\sqrt{2}}}{-\cos \alpha} = -\frac{1 - \tan \alpha}{\sqrt{2}} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2 \sqrt{2} $$，答案为 C。

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