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正确率60.0%已知$${{θ}}$$为第四象限角，$$\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta=\frac{\sqrt{5}} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} \! \theta-\operatorname{c o s} \! \theta=$$（）
B
A.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$- \frac{3 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{5}} {5}$$
2、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta=\frac1 5$$，$$\theta\in\textsubscript{(} \frac{\pi} {2}， \pi)$$，则$$\operatorname{t a n} \theta=$$（）
B
A.$$- \frac{3} {4}$$
B.$$- \frac{4} {3}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
3、['三角函数值在各象限的符号'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\mathrm{c o s} \theta=-\frac{7} {2 5}， \， \， \， \theta\in(-\pi， \， \， 0 )，$$则$$\operatorname{s i n} \frac{\theta} {2}+\operatorname{c o s} \frac{\theta} {2}=$$（）
D
A.$$\frac{1} {2 5}$$
B.$$\pm\frac{1} {5}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$$- \frac{1} {5}$$
4、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值'， '直线的斜率']正确率40.0%若$${{θ}}$$是直线$${{l}}$$的倾斜角，且$$\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta=\frac{\sqrt{5}} {5}，$$则直线$${{l}}$$的斜率为（）
D
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$或$${{−}{2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$或$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
5、['同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%若$$| \operatorname{s i n} \theta|+| \operatorname{c o s} \theta|=\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$，则$$\operatorname{s i n}^{4} \theta+\operatorname{c o s}^{4} \theta=$$（）
B
A.$$\frac{5} {6}$$
B.$$\frac{1 7} {1 8}$$
C.$$\frac{8} {9}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
6、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x=\frac{1} {5}， \， \， \， 0 \leqslant x \leqslant\pi，$$则$${{t}{a}{n}{x}}$$等于（）
B
A.$$- \frac{4} {3}$$或$$- \frac{3} {4}$$
B.$$- \frac{4} {3}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$\frac{4} {3}$$或$$\frac{3} {4}$$
7、['角的终边的对称问题与垂直问题'， '两角和与差的正弦公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，角$${{α}}$$与角$${{β}}$$均以$${{O}{x}}$$为始边，它们的终边关于$${{x}}$$轴对称，若$$\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha=\frac{2 \sqrt{3}} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} ~ ( \alpha-\beta) ~=~ ($$）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {6}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
8、['利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta=\frac{1} {5}， \， \， \， x \in( \frac{\pi} {2}， \pi)，$$则$$\operatorname{s i n} \theta-\operatorname{c o s} \theta$$的值为（）
C
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$- \frac{1} {5}$$
C.$$\frac{7} {5}$$
D.$$- \frac{7} {5}$$
9、['三角函数值在各象限的符号'， '两角和与差的正弦公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%已知$$8 \sqrt{2} \sin\ ( \， \alpha+\frac{\pi} {4} \， ) \ =1 5 \sin\alpha\cos\alpha\ ( \， \alpha\in\ ( \， 0， \ \pi) \ )$$，则$$\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha=$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt{4 1}} {5}$$
B.$$\frac{5 \sqrt{4 1}} {4 1}$$
C.$$- \frac{5 \sqrt{4 1}} {4 1}$$
D.$$- \frac{\sqrt{4 1}} {5}$$
10、['同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \! \theta+\mathrm{c o s} \theta=1，$$则$$\operatorname{s i n} \! \theta-\operatorname{c o s} \! \theta$$的值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{±}{1}}$$
D.$${{0}}$$
1. 已知$$θ$$为第四象限角，$$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，求$$\sin \theta - \cos \theta$$。
解析：
设$$x = \sin \theta - \cos \theta$$，则：
$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2 = 2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2$$
代入已知条件：
$$\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 + x^2 = 2 \Rightarrow \frac{5}{25} + x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{5}$$
$$x = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5}$$
由于$$θ$$在第四象限，$$\sin \theta < 0$$，$$\cos \theta > 0$$，且$$\sin \theta + \cos \theta > 0$$，说明$$|\cos \theta| > |\sin \theta|$$，因此$$\sin \theta - \cos \theta < 0$$。
故$$x = -\frac{3\sqrt{5}}{5}$$，选B。
2. 已知$$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}$$，$$\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，求$$\tan \theta$$。
解析：
平方两边：
$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \frac{1}{25} \Rightarrow 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{25}$$
解得：
$$\sin \theta \cos \theta = -\frac{12}{25}$$
由于$$\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，$$\sin \theta > 0$$，$$\cos \theta < 0$$。
设$$\sin \theta = a$$，$$\cos \theta = b$$，则$$a + b = \frac{1}{5}$$，$$ab = -\frac{12}{25}$$。
解方程组得：
$$a = \frac{4}{5}$$，$$b = -\frac{3}{5}$$
因此：
$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$$
选B。
3. 已知$$\cos \theta = -\frac{7}{25}$$，$$\theta \in (-\pi, 0)$$，求$$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2}$$。
解析：
由于$$\theta \in (-\pi, 0)$$，$$\frac{\theta}{2} \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$$，因此$$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} > 0$$。
设$$x = \sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2}$$，平方得：
$$x^2 = 1 + \sin \theta$$
由$$\cos \theta = -\frac{7}{25}$$，得：
$$\sin \theta = -\sqrt{1 - \cos^2 \theta} = -\frac{24}{25}$$（因为$$\theta \in (-\pi, 0)$$，$$\sin \theta \leq 0$$）
因此：
$$x^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} \Rightarrow x = \frac{1}{5}$$
选C。
4. 若$$θ$$是直线$$l$$的倾斜角，且$$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，求直线$$l$$的斜率。
解析：
直线的斜率$$k = \tan \theta$$。
由$$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，平方得：
$$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{5}{25} \Rightarrow \sin \theta \cos \theta = -\frac{2}{5}$$
因此：
$$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = -\frac{5}{2}$$
设$$k = \tan \theta$$，则：
$$k + \frac{1}{k} = -\frac{5}{2} \Rightarrow 2k^2 + 5k + 2 = 0$$
解得：
$$k = -2$$ 或 $$k = -\frac{1}{2}$$
由于$$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5} > 0$$，且$$\sin \theta \cos \theta < 0$$，说明$$\theta$$在第二象限，此时$$\tan \theta < 0$$。
因此斜率$$k$$为$$-2$$或$$-\frac{1}{2}$$，选B。
5. 若$$|\sin \theta| + |\cos \theta| = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，求$$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$$。
解析：
设$$x = |\sin \theta|$$，$$y = |\cos \theta|$$，则$$x + y = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，且$$x^2 + y^2 = 1$$。
平方$$x + y$$得：
$$x^2 + y^2 + 2xy = \frac{12}{9} \Rightarrow 1 + 2xy = \frac{4}{3} \Rightarrow xy = \frac{1}{6}$$
因此：
$$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = 1 - 2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{17}{18}$$
选B。
6. 已知$$\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$$，$$0 \leq x \leq \pi$$，求$$\tan x$$。
解析：
平方两边：
$$(\sin x + \cos x)^2 = \frac{1}{25} \Rightarrow 1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{25}$$
解得：
$$\sin x \cos x = -\frac{12}{25}$$
由于$$0 \leq x \leq \pi$$，且$$\sin x \cos x < 0$$，说明$$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$。
设$$\sin x = a$$，$$\cos x = b$$，则$$a + b = \frac{1}{5}$$，$$ab = -\frac{12}{25}$$。
解方程组得：
$$a = \frac{4}{5}$$，$$b = -\frac{3}{5}$$
因此：
$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$$
选B。
7. 已知角$$α$$与角$$β$$的终边关于$$x$$轴对称，且$$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，求$$\sin (\alpha - \beta)$$。
解析：
由于$$α$$与$$β$$关于$$x$$轴对称，有：
$$\sin \beta = -\sin \alpha$$，$$\cos \beta = \cos \alpha$$
因此：
$$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$
由$$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，平方得：
$$1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{12}{9} \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{6}$$
因此：
$$\sin (\alpha - \beta) = 2 \times \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{3}$$
选B。
8. 已知$$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}$$，$$\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，求$$\sin \theta - \cos \theta$$。
解析：
设$$x = \sin \theta - \cos \theta$$，则：
$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2 = 2$$
代入已知条件：
$$\left(\frac{1}{5}\right)^2 + x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = \frac{49}{25} \Rightarrow x = \pm \frac{7}{5}$$
由于$$\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，$$\sin \theta > 0$$，$$\cos \theta < 0$$，且$$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}$$，说明$$\sin \theta > |\cos \theta|$$，因此$$\sin \theta - \cos \theta > 0$$。
故$$x = \frac{7}{5}$$，选C。
9. 已知$$8\sqrt{2} \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 15 \sin \alpha \cos \alpha$$，$$\alpha \in (0, \pi)$$，求$$\sin \alpha - \cos \alpha$$。
解析：
展开左边：
$$8\sqrt{2} \left(\sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4}\right) = 8 (\sin \alpha + \cos \alpha)$$
因此方程化为：
$$8 (\sin \alpha + \cos \alpha) = 15 \sin \alpha \cos \alpha$$
设$$x = \sin \alpha + \cos \alpha$$，则$$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{x^2 - 1}{2}$$，代入得：
$$8x = 15 \cdot \frac{x^2 - 1}{2} \Rightarrow 16x = 15x^2 - 15 \Rightarrow 15x^2 - 16x - 15 = 0$$
解得：
$$x = \frac{5}{3}$$ 或 $$x = -\frac{3}{5}$$
由于$$\alpha \in (0, \pi)$$，$$x = \sin \alpha + \cos \alpha \in [-1, \sqrt{2}]$$，因此$$x = -\frac{3}{5}$$。
设$$y = \sin \alpha - \cos \alpha$$，则：
$$x^2 + y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = 2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{41}{25} \Rightarrow y = \pm \frac{\sqrt{41}}{5}$$
由于$$\alpha \in (0, \pi)$$，且$$x = -\frac{3}{5} < 0$$，说明$$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，此时$$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，因此$$y = \sin \alpha - \cos \alpha > 0$$。
故$$y = \frac{\sqrt{41}}{5}$$，选A。
10. 已知$$\sin \theta + \cos \theta = 1$$，求$$\sin \theta - \cos \theta$$。
解析：
设$$x = \sin \theta - \cos \theta$$，则：
$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2 = 2$$
代入已知条件：
$$1 + x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$
验证：
若$$\sin \theta + \cos \theta = 1$$且$$\sin \theta - \cos \theta = 1$$，解得$$\sin \theta = 1$$，$$\cos \theta = 0$$，成立。
若$$\sin \theta + \cos \theta = 1$$且$$\sin \theta - \cos \theta = -1$$，解得$$\sin \theta = 0$$，$$\cos \theta = 1$$，成立。
因此$$x = \pm 1$$，选C。