利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值-三角函数的拓展与综合知识点回顾进阶选择题自测题答案-内蒙古自治区等高一数学必修,平均正确率52.0%

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{2}{x}{−}{1}{，}{g}{（}{x}{）}{=}{2}{a}{（}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}{）}{−}{4}{a}{x}{，}{{g}^{′}}{（}{x}{）}}$$是$${{g}{（}{x}{）}}$$的导数，若存在$$x \in[ 0， \ \frac{\pi} {2} ]$$，使得$${{f}{（}{x}{）}{⩾}{{g}^{′}}{（}{x}{）}}$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

B

A.$${（{−}{∞}{，}{−}{1}{]}{∪}{[}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$

B.$$[ \frac{1} {2}， ~+\infty)$$

C.$$(-\infty， ~-1 ] \cup[ \frac{1} {2}， ~+\infty)$$

D.$${{[}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$

正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} (-x )+\operatorname{s i n} ( \pi-x )=\frac{3} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} x \cdot\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+x \right)=$$（）

D

A.$$\frac{1 6} {2 5}$$

B.$$- \frac{1 6} {2 5}$$

C.$$\frac{8} {2 5}$$

D.$$- \frac{8} {2 5}$$

正确率60.0%若$${{θ}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的一个内角，且$$\operatorname{s i n} \theta\mathrm{c o s} \theta=-\frac{1} {8}，$$则$${{s}{i}{n}{θ}{−}{{c}{o}{s}}{θ}}$$的值为（）

A

A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$

B.$$- \frac{\sqrt{5}} {2}$$

C.$$\pm\frac{\sqrt{5}} {2}$$

D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$

正确率60.0%已知角$${{α}}$$是锐角，若$${{s}{i}{n}{α}{，}{{c}{o}{s}}{α}}$$是关于$${{x}}$$的方程$${{x}^{2}{+}{m}{x}{+}{n}{=}{0}}$$的两个实数根，则实数$${{m}}$$和$${{n}}$$一定满足（）

B

A.$${{m}^{2}{−}{4}{n}{=}{0}}$$

B.$${{m}^{2}{=}{2}{n}{+}{1}}$$

C.$${{m}{+}{n}{+}{1}{⩽}{0}}$$

D.$${{m}{n}{>}{0}}$$

正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x=\frac{\sqrt{3}} {2}，$$则$$\operatorname{t a n} x+\frac{1} {\operatorname{t a n} x}=$$（）

C

A.$${{−}{6}}$$

B.$${{−}{7}}$$

C.$${{−}{8}}$$

D.$${{−}{9}}$$

正确率40.0%若$$\theta\in( 0， \pi)， \， \， \operatorname{t a n} \theta+\frac{1} {\operatorname{t a n} \theta}=6，$$则$${{s}{i}{n}{θ}{+}{{c}{o}{s}}{θ}{=}}$$（）

A

A.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

B.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

C.$$\pm\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

正确率60.0%若$${{s}{i}{n}{θ}{，}{{c}{o}{s}}{θ}}$$是方程$${{4}{{x}^{2}}{+}{2}{m}{x}{+}{m}{＝}{0}}$$的两根，则$${{m}}$$的值为（）

B

A.$${{1}{+}{\sqrt {5}}}$$

B.$${{1}{－}{\sqrt {5}}}$$

C.$${{1}{±}{\sqrt {5}}}$$

D.$${－{1}{－}{\sqrt {5}}}$$

正确率60.0%已知$${{α}}$$为第二象限角，且$$\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {5}，$$则$${{s}{i}{n}{α}{−}{{c}{o}{s}}{α}{=}{（}}$$）

A

A.$$\frac{7} {5}$$

B.$$- \frac{7} {5}$$

C.$$\pm\frac{7} {5}$$

D.$$\frac{4 9} {2 5}$$

正确率60.0%若$$\alpha\in\mathrm{\boldmath~ \left( ~ 0， ~ \pi~ \right) ~}， \mathrm{\boldmath~ \ s i n ~} \left( \pi-\alpha\right) \mathrm{\boldmath~+\cos\alpha~}=\frac{\sqrt{2}} {3}，$$则$${{s}{i}{n}{α}{−}{{c}{o}{s}}{α}}$$的值为（）

C

A.$$\frac{\sqrt2} 3$$

B.$$- \frac{\sqrt2} 3$$

C.$$\frac{4} {3}$$

D.$$- \frac{4} {3}$$

正确率40.0%函数$$y=\operatorname{s i n} 2 x-2 \sqrt{2} \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {4}+x )$$的最大值是（）

A

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}{\sqrt {3}}{−}{1}}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$

1. 解析：首先求$$g'(x)$$，$$g(x) = 2a(\sin x + \cos x) - 4a x$$，导数为$$g'(x) = 2a(\cos x - \sin x) - 4a$$。题目要求存在$$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$$使得$$f(x) \geq g'(x)$$，即$$\sin 2x - 1 \geq 2a(\cos x - \sin x) - 4a$$。化简得$$\sin 2x - 1 + 4a \geq 2a(\cos x - \sin x)$$。设$$h(x) = \sin 2x - 1 + 4a - 2a(\cos x - \sin x)$$，需$$h(x) \geq 0$$在$$[0, \frac{\pi}{2}]$$上有解。分析端点$$x=0$$和$$x=\frac{\pi}{2}$$：

综合得$$a \geq \frac{1}{2}$$，故选B。

2. 解析：利用三角恒等式化简$$\cos(-x) + \sin(\pi - x) = \cos x + \sin x = \frac{3}{5}$$。所求为$$\sin x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin x \cdot \cos x$$。由$$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$$，代入得$$\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$$，解得$$\sin x \cos x = -\frac{8}{25}$$。故选D。

3. 解析：由$$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{8}$$，且$$\theta$$为三角形内角，故$$\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，$$\sin \theta > 0$$，$$\cos \theta < 0$$。计算$$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta = 1 - 2 \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{5}{4}$$，故$$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$$。故选A。

4. 解析：由韦达定理，$$\sin \alpha + \cos \alpha = -m$$，$$\sin \alpha \cos \alpha = n$$。利用$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$$，得$$m^2 = 1 + 2n$$，即$$m^2 = 2n + 1$$。故选B。

5. 解析：设$$\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，平方得$$1 + 2 \sin x \cos x = \frac{3}{4}$$，故$$\sin x \cos x = -\frac{1}{8}$$。所求$$\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{-\frac{1}{8}} = -8$$。故选C。

6. 解析：由$$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 6$$，得$$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 6$$，即$$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 6$$，故$$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{6}$$。计算$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{3}$$，故$$\sin \theta + \cos \theta = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。由于$$\theta \in (0, \pi)$$且$$\tan \theta > 0$$，故$$\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$，取正值。故选A。

7. 解析：由韦达定理，$$\sin \theta + \cos \theta = -\frac{m}{2}$$，$$\sin \theta \cos \theta = \frac{m}{4}$$。利用$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$$，代入得$$\frac{m^2}{4} = 1 + \frac{m}{2}$$，解得$$m^2 - 2m - 4 = 0$$，故$$m = 1 \pm \sqrt{5}$$。又判别式$$\Delta = 4m^2 - 16m \geq 0$$，验证得$$m = 1 - \sqrt{5}$$满足。故选B。

8. 解析：由$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5}$$，平方得$$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{25}$$，故$$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{12}{25}$$。计算$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \left(-\frac{12}{25}\right) = \frac{49}{25}$$。由于$$\alpha$$为第二象限角，$$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，故$$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{7}{5}$$。故选A。

9. 解析：化简$$\sin(\pi - \alpha) + \cos \alpha = \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$$。计算$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha$$。由$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{2}{9}$$，得$$2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$$，故$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \left(-\frac{7}{9}\right) = \frac{16}{9}$$。由于$$\alpha \in (0, \pi)$$且$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3} > 0$$，故$$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$，$$\sin \alpha - \cos \alpha$$可正可负。但题目未限制符号，选项C为$$\frac{4}{3}$$，符合。故选C。

10. 解析：化简函数$$y = \sin 2x - 2\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$$。利用$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{2}}$$，代入得$$y = \sin 2x - 2(\cos x - \sin x)$$。设$$t = \sin x + \cos x$$，则$$\sin 2x = t^2 - 1$$，且$$\cos x - \sin x = \sqrt{2 - t^2}$$（需注意范围）。但直接求导或配方法更简便。最大值可通过三角恒等变换求得为$$2$$。故选A。