三角函数的性质综合-三角函数的拓展与综合知识点教师选题进阶选择题自测题答案-福建省等高一数学必修,平均正确率42.00000000000001%

1、['函数奇、偶性的证明'， '辅助角公式'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} {( \operatorname{c o s} {x} )}+\operatorname{s i n} {( \operatorname{c o s} {x} )}， x \in{\bf R}$$，有下述四个结论：
①函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是奇函数
②函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期是$${{π}}$$
③函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 0， \frac{\pi} {2} \Big]$$上是减函数
④函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$\left[ \frac{\pi} {2}， \pi\right]$$上的最大值是$${{1}}$$
其中正确的结论一共有（）个

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

2、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '由图象（表）求三角函数的解析式'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%svg异常

A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$${{x}{=}}$$$$\frac{\pi} {3}$$对称

B.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于点$$( \frac{\pi} {1 2}， 0 )$$对称

C.若方程$$f ( x )=2 m$$在$$[-\frac{\pi} {2}， 0 ]$$上有两个不相等的实数根，则实数$$m \in(-1，-\frac{\sqrt{3}} {2} ]$$

D.将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度得到$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则$${{g}{(}{x}{)}}$$为偶函数

3、['圆的定义与标准方程'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%已知实数$${{x}{，}{y}}$$满足$$x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+1 2=0$$，则$$\sqrt{x^{2}+( y+2 )^{2}}$$的最大值为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

4、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '函数的对称性'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%已知$$f ( x )=\operatorname{s i n} {( \omega x+\varphi)} ( \omega> 0， | \varphi| < \frac{\pi} {2} )，$$$$f ( 0 )=\frac{1} {2}， f ( x )$$在$$A ( x_{0}， y_{0} )$$处取得极大值，$$B ( x_{0}-\frac{\pi} {2 \omega}， 0 )， C ( x_{0}，-y_{0} )， \triangle\; A B C$$是锐角三角形，则下列说法正确的是（）

A.若$$f ( x_{0} )=0$$，则$$x_{0} \in( 0， 1 )$$

B.存在$$x_{0} \in( 0， \frac{2} {3} )$$，使得$$f ( x_{0} )=1$$

C.$$\omega\in( \frac{\pi} {2}， \pi)$$

D.对任意的正实数$$m， f ( x )$$在$$( 0， m )$$上不可能为单调递减函数

5、['三角函数的性质综合'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {\operatorname{s i n} x，} & {\operatorname{s i n} x > \operatorname{c o s} x} \\ {\operatorname{c o s} x，} & {\operatorname{s i n} x \leqslant\operatorname{c o s} x} \\ \end{matrix} \right.$$，下列关于$${{f}{(}{x}{)}}$$的叙述中错误的是（）

A.最小正周期为$${{2}{π}}$$

B.对称轴为直线$$x=k \pi+\frac{\pi} {4} ( k \in{\bf Z} )$$

C.在$$[ \frac{\pi} {2}， ~ \pi]$$上单调递减

D.有最大值$${{1}}$$和最小值$${{−}{1}}$$

6、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '三角函数的性质综合'， '方程的解集']

正确率60.0%当$$x \in[-\frac{\pi} {2}， \ \frac{\pi} {2} ]$$时，关于$${{x}}$$的方程$$\sqrt{3} \operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x-m=0$$有解，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）

A.$$(-2， ~ \sqrt{3} )$$

B.$$[-2， ~ \sqrt{3} ]$$

C.$$(-\sqrt{3}， ~ \sqrt{3} )$$

D.$$[-\sqrt{3}， ~ \sqrt{3} ]$$

7、['直线的点斜式方程'， '三角形的面积（公式）'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \pi x$$和函数$$g ( x )=\operatorname{c o s} \pi x$$在区间$$[ 0， 2 ]$$上的图像交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{△}{O}{A}{B}}$$的面积是

A.$$\frac{3 \sqrt2} {8}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$$\frac{5 \sqrt2} {8}$$

D.$$\frac{3 \sqrt2} {4}$$

8、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '正弦曲线的对称中心'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%关于函数$$f \left( x \right)=3 \operatorname{c o s} \left( 2 x-\frac{\pi} {3} \right)+1， x \in R$$，下列命题正确的是$${{(}{)}}$$

A.若$$f ( x_{1} )=f ( x_{2} )=0$$，则$${{x}_{1}{−}{{x}_{2}}}$$是$$\frac{\pi} {2}$$的整数倍

B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的表达式可改写为$$f ( x )=3 \mathrm{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {6} )+1$$

C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于$$\left( \frac{5 \pi} {1 2}， 0 \right)$$对称

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$$x=-\frac{\pi} {1 2}$$对称

9、['由图象（表）求三角函数的解析式'， '正弦曲线的对称轴'， '余弦曲线的对称轴'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( \omega x-\frac{\pi} {6} ) ( \omega> 0 )$$和$$g ( x )=3 \operatorname{c o s} ( 2 x+\varphi)+1 ( | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$的图象的对称轴完全相同，则下列关于$${{g}{(}{x}{)}}$$的说法正确的是$${{(}{)}}$$

A.最大值为$${{3}}$$

B.在$$( \frac{\pi} {4}， \frac{5 \pi} {1 2} )$$单调递减

C.$$( \frac{\pi} {1 2}， 0 )$$是它的一个对称中心

D.$$x=-\frac{\pi} {6}$$是它的一条对称轴

10、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%对于函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}+x ) \operatorname{s i n} ( \frac{3 \pi} {2}+x )$$，给出下列四个结论：$${①}$$函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的最小正周期为$${{π}}$$；$${②}$$若$$f ~ ( \boldsymbol{x}_{1} ) ~=-f ~ ( \boldsymbol{x}_{2} )$$，则$$x_{1}=-x_{2}$$；$$\odot f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$的图象关于直线$$x=-\frac{\pi} {4}$$对称；$$\oplus\; f ( x ) \# [ \frac{\pi} {4}， \; \frac{3 \pi} {4} ]$$上是减函数，其中正确结论的个数为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{3}}$$

1. 解析：

首先分析函数 $$f(x) = \cos(\cos x) + \sin(\cos x)$$。

① 奇偶性：$$f(-x) = \cos(\cos(-x)) + \sin(\cos(-x)) = \cos(\cos x) + \sin(\cos x) = f(x)$$，故 $$f(x)$$ 是偶函数，结论①错误。

② 周期性：$$\cos x$$ 的周期为 $$2\pi$$，但 $$f(x)$$ 的周期需进一步分析。由于 $$\cos(\cos x)$$ 和 $$\sin(\cos x)$$ 的周期均为 $$\pi$$（因为 $$\cos(x + \pi) = -\cos x$$，但 $$\cos(\cos(x + \pi)) = \cos(-\cos x) = \cos(\cos x)$$，同理 $$\sin(\cos(x + \pi)) = \sin(-\cos x) = -\sin(\cos x)$$，因此 $$f(x + \pi) = \cos(\cos x) - \sin(\cos x) \neq f(x)$$。实际上，$$f(x + 2\pi) = f(x)$$，故最小正周期为 $$2\pi$$，结论②错误。

③ 单调性：在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上，$$\cos x$$ 单调递减。设 $$u = \cos x$$，则 $$f(x) = \cos u + \sin u$$，$$u \in [0, 1]$$。求导得 $$f'(x) = (-\sin u + \cos u)(-\sin x)$$。由于 $$\sin x > 0$$ 且 $$-\sin u + \cos u$$ 在 $$u \in [0, 1]$$ 上可能为正或负，故 $$f(x)$$ 的单调性不确定，结论③错误。

④ 最大值：在 $$\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$$ 上，$$\cos x \in [-1, 0]$$。设 $$u = \cos x$$，则 $$f(x) = \cos u + \sin u$$，$$u \in [-1, 0]$$。$$f(x)$$ 在 $$u = 0$$ 时取得最大值 $$1$$，结论④正确。

综上，仅结论④正确，答案为 $$A$$。

2. 解析：

题目描述不完整，无法解析。

3. 解析：

方程 $$x^2 + y^2 - 6x - 4y + 12 = 0$$ 可化为 $$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 1$$，表示圆心为 $$(3, 2)$$，半径为 $$1$$ 的圆。

求 $$\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$$ 的最大值，即点 $$(x, y)$$ 到点 $$(0, -2)$$ 的最大距离。圆心到 $$(0, -2)$$ 的距离为 $$\sqrt{(3-0)^2 + (2-(-2))^2} = 5$$，加上半径 $$1$$，最大值为 $$6$$，答案为 $$C$$。

4. 解析：

已知 $$f(x) = \sin(\omega x + \varphi)$$，$$f(0) = \frac{1}{2}$$，即 $$\sin \varphi = \frac{1}{2}$$，又 $$|\varphi| < \frac{\pi}{2}$$，故 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。

极大值点 $$A(x_0, y_0)$$ 满足 $$\omega x_0 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，即 $$x_0 = \frac{\pi}{3\omega} + \frac{2k\pi}{\omega}$$。

$$B(x_0 - \frac{\pi}{2\omega}, 0)$$，$$C(x_0, -y_0)$$。由于 $$\triangle ABC$$ 是锐角三角形，需满足各内角均小于 $$\frac{\pi}{2}$$。

选项分析：

A. 若 $$f(x_0) = 0$$，则 $$\omega x_0 + \frac{\pi}{6} = k\pi$$，结合极大值条件，$$x_0 \in (0, 1)$$ 可能成立，但需具体验证。

B. 存在 $$x_0 \in (0, \frac{2}{3})$$ 使得 $$f(x_0) = 1$$，即 $$\sin(\omega x_0 + \frac{\pi}{6}) = 1$$，可能成立。

C. 由锐角三角形条件可推导 $$\omega \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$$。

D. 由于 $$\omega > 0$$，$$f(x)$$ 在 $$(0, m)$$ 上可能单调递减。

综上，选项 $$B$$ 和 $$C$$ 可能正确，但题目要求单选，需进一步分析。

5. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分段定义为 $$\sin x$$ 和 $$\cos x$$，根据 $$\sin x$$ 和 $$\cos x$$ 的大小关系。

A. 周期为 $$2\pi$$，正确。

B. 对称轴为 $$x = k\pi + \frac{\pi}{4}$$，正确。

C. 在 $$[\frac{\pi}{2}, \pi]$$ 上，$$\sin x$$ 和 $$\cos x$$ 均单调递减，故 $$f(x)$$ 单调递减，正确。

D. 最大值为 $$1$$，但最小值为 $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$（当 $$\sin x = \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 时），错误。

答案为 $$D$$。

6. 解析：

方程 $$\sqrt{3} \sin x - \cos x = m$$ 可化为 $$2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) = m$$。

当 $$x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$$ 时，$$x - \frac{\pi}{6} \in [-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$$，$$\sin(x - \frac{\pi}{6}) \in [-1, \frac{\sqrt{3}}{2}]$$，故 $$m \in [-2, \sqrt{3}]$$。

答案为 $$B$$。

7. 解析：

求 $$f(x) = \sin \pi x$$ 和 $$g(x) = \cos \pi x$$ 在 $$[0, 2]$$ 上的交点。

解 $$\sin \pi x = \cos \pi x$$，得 $$\pi x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$，即 $$x = \frac{1}{4} + k$$，$$k = 0, 1$$，交点为 $$A(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$$ 和 $$B(\frac{5}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$$。

$$\triangle OAB$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \times \frac{5}{4} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，答案为 $$B$$。

8. 解析：

函数 $$f(x) = 3 \cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$$。

A. 若 $$f(x_1) = f(x_2) = 0$$，则 $$x_1 - x_2$$ 是 $$\frac{\pi}{2}$$ 的整数倍，正确。

B. 可改写为 $$3 \sin(2x + \frac{\pi}{6}) + 1$$，正确。

C. 对称中心需满足 $$f(\frac{5\pi}{12}) = 0$$，但 $$f(\frac{5\pi}{12}) = 1 \neq 0$$，错误。

D. 对称轴 $$x = -\frac{\pi}{12}$$ 满足 $$f(-\frac{\pi}{12})$$ 为极值，正确。

答案为 $$A, B, D$$。

9. 解析：

$$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 的对称轴完全相同，说明 $$\omega = 2$$，$$\varphi = -\frac{\pi}{6}$$。

$$g(x) = 3 \cos(2x - \frac{\pi}{6}) + 1$$。

A. 最大值为 $$4$$，错误。

B. 在 $$(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{12})$$ 上单调递减，正确。

C. $$(\frac{\pi}{12}, 0)$$ 不是对称中心，错误。

D. $$x = -\frac{\pi}{6}$$ 是对称轴，正确。

答案为 $$B, D$$。

10. 解析：

函数 $$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2} + x) \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\sin x (-\cos x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$。

① 周期为 $$\pi$$，正确。

② 若 $$f(x_1) = -f(x_2)$$，则 $$\sin 2x_1 = -\sin 2x_2$$，$$x_1 = -x_2 + k\pi$$，不一定是 $$x_1 = -x_2$$，错误。

③ 对称轴 $$x = -\frac{\pi}{4}$$ 满足 $$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$$ 为极值，正确。

④ 在 $$[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$$ 上，$$\sin 2x$$ 单调递减，正确。

答案为 $$3$$ 个正确结论，选 $$D$$。

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