三角函数中的数学文化-三角函数的拓展与综合知识点考前基础选择题自测题解析-陕西省等高一数学必修,平均正确率84.0%

3、['扇形弧长公式'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '三角函数中的数学文化']

正确率60.0%刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当$${{n}}$$很大时，用圆内接正$${{n}}$$边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率$${{π}{≈}{{3}{.}{1}{4}{1}}{6}}$$.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表.运用此思想，当$${{π}}$$取$${{3}{.}{1}{4}{1}{6}}$$时可得$${{c}{o}{s}{{8}{9}^{∘}}}$$的近似值为（）

A.$${{0}{.}{0}{0}{8}{{7}{3}}}$$

B.$${{0}{.}{0}{1}{7}{{4}{5}}}$$

C.$${{0}{.}{0}{2}{6}{{1}{8}}}$$

D.$${{0}{.}{0}{3}{4}{{9}{1}}}$$

6、['三角函数中的数学文化']

正确率60.0%我国古代数学家一行应用“九服晷$${{(}{{g}{u}}{ǐ}{)}}$$影算法”在《大衍历》中建立了晷影长$${{l}}$$与太阳天顶距$${{θ}{(}{{0}^{∘}}{⩽}{θ}{⩽}{{8}{0}^{∘}}{)}}$$的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长$${{l}}$$等于表高$${{h}}$$与太阳天顶距$${{θ}}$$的正切值的乘积，即$${{l}{=}{h}{{t}{a}{n}}{θ}}$$.已知太阳天顶距$${{θ}{=}{{1}^{∘}}}$$时，晷影长$${{l}{≈}{{0}{.}{1}{4}}}$$.现测得晷影长$${{l}{≈}{{0}{.}{4}{2}}{，}}$$则太阳天顶距约为(参考数据：$${{t}{a}{n}{{1}^{∘}}{≈}{{0}{.}{0}{1}{7}{5}}{，}{t}{a}{n}{{2}^{∘}}{≈}{{0}{.}{0}{3}{4}{9}}}$$，$${{t}{a}{n}{{3}^{∘}}{≈}{{0}{.}{0}{5}{2}{4}}{，}{{t}{a}{n}}{{2}{2}{.}{8}^{∘}}{≈}{{0}{.}{4}{2}{0}{4}}{)}}$$（）

A.$${{2}^{∘}}$$

B.$${{3}^{∘}}$$

C.$${{1}{1}^{∘}}$$

D.$${{2}{2}{.}{8}^{∘}}$$

7、['三角恒等变换综合应用'， '给角求值'， '三角函数中的数学文化'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%公元前$${{6}}$$世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割比值约为$${{0}{.}{6}{1}{8}{，}}$$这一数值也可以表示为$${{m}{=}{2}{{s}{i}{n}}{{1}{8}^{∘}}{，}}$$若$${{m}^{2}{+}{n}{=}{4}{，}}$$则$$\frac{m \sqrt{n}} {2 \mathrm{c o s}^{2} 2 7^{\circ}-1}=$$（）

A.$${{8}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

10、['扇形弧长公式'， '扇形面积公式'， '三角函数中的数学文化']

正确率60.0%$${《}$$九章算术$${》}$$成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题$${{“}}$$今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何?$${{”}{（}}$$一步$${{=}{{1}{.}{5}}}$$米）意思是现有扇形田，弧长为$${{4}{5}}$$米，直径为$${{2}{4}}$$米，那么扇形田的面积为（）

A.$${{1}{3}{5}}$$平方米

B.$${{2}{7}{0}}$$平方米

C.$${{5}{4}{0}}$$平方米

D.$${{1}{0}{8}{0}}$$平方米

3、解析：

根据题意，刘徽利用圆内接正$$n$$边形逼近圆周的方法计算圆周率$$π≈3.1416$$。题目要求利用极限思想计算$$cos89°$$的近似值。

步骤1：将角度转换为弧度。$$89° = \frac{89π}{180} \approx \frac{89 \times 3.1416}{180} \approx 1.5533$$弧度。

步骤2：利用小角度近似公式$$cosθ ≈ 1 - \frac{θ^2}{2}$$，代入$$θ = 1.5533$$弧度： $$cos89° ≈ 1 - \frac{(1.5533)^2}{2} ≈ 1 - 1.2064 ≈ -0.2064$$。

步骤3：注意到$$89°$$接近$$90°$$，$$cos89°$$应接近$$0$$，但上述近似误差较大。题目给出$$π≈3.1416$$，可能暗示使用更精确的逼近方法。

步骤4：题目选项中最接近$$0$$的是$$0.01745$$（即$$sin1°$$），但$$cos89° = sin1° ≈ 0.01745$$，故选B。

6、解析：

根据题意，晷影长$$l = h \cdot tanθ$$。已知$$θ=1°$$时$$l≈0.14$$，可求出表高$$h$$： $$h = \frac{l}{tanθ} ≈ \frac{0.14}{0.0175} = 8$$。

当$$l≈0.42$$时，$$tanθ = \frac{l}{h} ≈ \frac{0.42}{8} = 0.0525$$。

参考给定数据，$$tan3°≈0.0524$$最接近$$0.0525$$，故太阳天顶距$$θ≈3°$$，选B。

7、解析：

已知$$m = 2sin18°$$，且$$m^2 + n = 4$$。先计算$$m^2$$： $$m^2 = (2sin18°)^2 = 4sin^2 18°$$。

代入$$m^2 + n = 4$$得： $$4sin^2 18° + n = 4 \Rightarrow n = 4(1 - sin^2 18°) = 4cos^2 18°$$。

题目要求计算： $$\frac{m \sqrt{n}}{2cos^2 27° - 1}$$。

化简分子： $$m \sqrt{n} = 2sin18° \cdot 2cos18° = 2sin36°$$。

化简分母： $$2cos^2 27° - 1 = cos54°$$（利用二倍角公式）。

因此： $$\frac{2sin36°}{cos54°} = \frac{2sin36°}{sin36°} = 2$$，选C。

10、解析：

扇形田的弧长$$l=45$$米，直径$$d=24$$米，半径$$r=12$$米。

扇形面积公式为： $$A = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} \times 45 \times 12 = 270$$平方米，选B。

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