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正确率40.0%已知$$f ( x )=\operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x+\sqrt{3} \mathrm{c o s}^{2} x-\frac{\sqrt{3}} {2}$$，将$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位，再向上平移$${{1}}$$个单位，得到$${{y}{=}{g}{(}{x}{)}}$$的图象，若对任意实数$${{x}}$$，都有$${{g}{(}{a}{−}{x}{)}{=}{g}{(}{a}{+}{x}{)}}$$成立，则$$g ( a+\frac{\pi} {4} )=\And$$）
B
A.$$1+\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$1-\frac{\sqrt{2}} {2}$$
D.$${{0}}$$
3、['辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的性质综合']正确率40.0%设函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{a}{{s}{i}{n}}{x}{{c}{o}{s}}{x}{−}{2}{{s}{i}{n}^{2}}{x}}$$，若直线$$x=\frac{\pi} {6}$$是$${{f}{（}{x}{）}}$$图象的一条对称轴，则（）
A
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$最大值为$${{1}}$$
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$最大值为$${{2}}$$
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{2}{π}}$$，最大值为$${{1}}$$
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{2}{π}}$$，最大值为$${{2}}$$
4、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '辅助角公式'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合'， '函数零点个数的判定']正确率19.999999999999996%设函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}{{s}{i}{n}}{ω}{x}{+}{b}{{c}{o}{s}}{ω}{x}{(}{ω}{>}{0}{)}}$$在区间$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2} ]$$上单调，且$$f ( \frac{\pi} {2} )=f ( \frac{\2 \! \! \pi} {3} )=-f ( \frac{\pi} {6} )$$，当$$x=\frac{\pi} {1 2}$$时，$${{f}{(}{x}{)}}$$取到最大值$${{4}}$$，若将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象上各点的横坐标伸长为原来的$${{2}}$$倍得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则函数$$y=g ( x )-\sqrt{x+\frac{\pi} {3}}$$零点的个数为
D
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
5、['根据三角函数的性质求参数取值范围'， '三角函数的性质综合']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， \ \ | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$的图象过点$$\left( 0， \ \frac{1} {2} \right)，$$若$$f ( x ) \leqslant f ( \frac{\pi} {1 2} )$$对$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则$${{ω}}$$的最小值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{1}{6}}$$
6、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '三角函数的性质综合']正确率60.0%定义在区间$$\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)$$上的函数$${{y}{=}{6}{{c}{o}{s}}{x}}$$的图象与$${{y}{=}{5}{{t}{a}{n}}{x}}$$的图象交于点$${{P}}$$，过$${{P}}$$作$${{x}}$$轴的垂线，垂足为$${{P}_{1}}$$，直线$${{P}{{P}_{1}}}$$与函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图象交于点$${{P}_{2}}$$，则线段$${{P}_{1}{{P}_{2}}}$$的长为（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{5} {6}$$
7、['直线系方程'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '两条直线垂直'， '使三角函数取最值时自变量的取值（集合）'， '三角函数的性质综合']正确率40.0%设$${{m}{∈}{R}}$$，若过定点$${{A}}$$的动直线$${{y}{−}{1}{=}{m}{(}{x}{−}{2}{)}}$$和过定点$${{B}}$$的动直线$${{x}{+}{m}{y}{+}{2}{−}{4}{m}{=}{0}}$$交于点$${{M}}$$，则$${{|}{M}{A}{|}{+}{2}{|}{M}{B}{|}}$$的最大值为（）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{5}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{5}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{5}{\sqrt {6}}}$$
8、['利用诱导公式化简'， '三角函数的性质综合']正确率40.0%关于$$f ( x )=4 \operatorname{s i n} \Bigl( 2 x+\frac{\pi} {3} \Bigr) ( x \in R )$$有下列结论：
$${①}$$函数的最小正周期为$${{π}}$$；$${②}$$表达式可改写成$$f ( x )=4 \operatorname{c o s} \Bigl( 2 x-\frac{\pi} {6} \Bigr)$$；
$${③}$$函数的图象关于点$$\left(-\frac{\pi} {6}， 0 \right)$$对称；$${④}$$函数的图象关于直线$$x=-\frac{\pi} {6}$$对称．
其中错误的结论是（）
C
A.$${①{②}}$$
B.$${①{③}}$$
C.$${④}$$
D.$${②{③}}$$
9、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合']正确率40.0%将函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {6} )$$的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位，得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则下列说法正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{g}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{2}{π}}$$
B.$$g ( \frac{\pi} {6} )=\frac{\sqrt{3}} {2}$$
C.$$x=\frac{\pi} {3}$$是$${{g}{(}{x}{)}}$$图象的一条对称轴
D.$${{g}{(}{x}{)}}$$是偶函数
10、['正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '三角函数的性质综合']正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \frac{x} {3}+\operatorname{c o s} \frac{x} {3}$$的最小正周期和最大值分别是（）
C
A.$${{3}{π}}$$和$${\sqrt {2}}$$
B.$${{3}{π}}$$和$${{2}}$$
C.$${{6}{π}}$$和$${\sqrt {2}}$$
D.$${{6}{π}}$$和2
以下是各题的详细解析：
2. 解析：
首先化简函数 $$f(x) = \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^2 x - \frac{\sqrt{3}}{2}$$：
利用二倍角公式和余弦平方公式：
$$f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x + \sqrt{3} \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$= \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x$$
$$= \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$
将 $$f(x)$$ 向右平移 $$\frac{\pi}{6}$$ 个单位，得到 $$y = \sin \left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{3}\right) = \sin 2x$$。
再向上平移 1 个单位，得到 $$g(x) = \sin 2x + 1$$。
由 $$g(a - x) = g(a + x)$$ 可知，$$x = a$$ 是 $$g(x)$$ 的对称轴，即 $$\sin 2a$$ 取极值点，故 $$2a = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，$$a = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$$。
计算 $$g\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(2a + \frac{\pi}{2}\right) + 1 = \cos 2a + 1$$。
当 $$2a = \frac{\pi}{2}$$ 时，$$\cos 2a = 0$$，结果为 1，故选 B。
3. 解析：
函数 $$f(x) = a \sin x \cos x - 2 \sin^2 x$$ 可以化简为：
$$f(x) = \frac{a}{2} \sin 2x - 2 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2}$$
$$= \frac{a}{2} \sin 2x + \cos 2x - 1$$
因为 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 是对称轴，所以 $$f\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ 是极值点。
计算 $$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = a \cos \frac{\pi}{3} - 2 \sin \frac{\pi}{3} = 0$$，解得 $$a = 2\sqrt{3}$$。
因此 $$f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 1 = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - 1$$。
周期为 $$\pi$$，最大值为 1，故选 A。
4. 解析：
函数 $$f(x) = a \sin \omega x + b \cos \omega x$$ 可以表示为 $$f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (\omega x + \phi)$$。
由条件 $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -f\left(\frac{\pi}{6}\right)$$，可知对称中心为 $$\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}\right)/2 = \frac{7\pi}{12}$$，且 $$f\left(\frac{7\pi}{12}\right) = 0$$。
又因为 $$x = \frac{\pi}{12}$$ 时取最大值 4，故 $$\omega = 2$$，$$f(x) = 4 \sin (2x + \frac{\pi}{6})$$。
将图象横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 $$g(x) = 4 \sin (x + \frac{\pi}{6})$$。
求 $$y = g(x) - \sqrt{x + \frac{\pi}{3}}$$ 的零点个数，即解 $$4 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{x + \frac{\pi}{3}}$$。
通过分析交点个数，可得答案为 5，故选 B。
5. 解析：
函数 $$f(x) = \sin (\omega x + \phi)$$ 过点 $$\left(0, \frac{1}{2}\right)$$，故 $$\sin \phi = \frac{1}{2}$$，$$\phi = \frac{\pi}{6}$$。
由 $$f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{12}\right)$$ 知 $$\frac{\pi}{12}$$ 是最大值点，故 $$\omega \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$。
解得 $$\omega = 4 + 24k$$，最小值为 4，故选 C。
6. 解析：
联立 $$6 \cos x = 5 \tan x$$，解得 $$\cos x = \frac{2}{3}$$，$$x = \arccos \frac{2}{3}$$。
点 $$P$$ 的坐标为 $$\left(x, 6 \cos x\right) = \left(x, 4\right)$$。
直线 $$PP_1$$ 为 $$x = x$$，与 $$y = \sin x$$ 交于点 $$P_2 = \left(x, \sin x\right)$$。
因为 $$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$，所以 $$P_1P_2 = \frac{\sqrt{5}}{3}$$，故选 B。
7. 解析：
动直线 $$y - 1 = m(x - 2)$$ 过定点 $$A(2, 1)$$。
动直线 $$x + m y + 2 - 4m = 0$$ 可化为 $$x + 2 + m(y - 4) = 0$$，过定点 $$B(-2, 4)$$。
两直线垂直，点 $$M$$ 的轨迹是以 $$AB$$ 为直径的圆，半径为 $$\frac{5}{2}$$。
利用参数法可得 $$|MA| + 2|MB|$$ 的最大值为 $$5\sqrt{5}$$，故选 C。
8. 解析：
函数 $$f(x) = 4 \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$：
① 周期为 $$\pi$$，正确；
② 可改写为 $$4 \cos \left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$，正确；
③ 对称中心为 $$\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$$，正确；
④ 对称轴需满足 $$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$$，故 $$x = -\frac{\pi}{6}$$ 不是对称轴，错误。
错误的结论是 ④，故选 C。
9. 解析：
函数 $$f(x) = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$$ 向左平移 $$\frac{\pi}{6}$$ 个单位，得到：
$$g(x) = \sin \left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x$$。
周期为 $$\pi$$，$$g\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$，对称轴为 $$x = \frac{k\pi}{2}$$，且为偶函数。
选项 D 正确。
10. 解析：
函数 $$f(x) = \sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = \sqrt{2} \sin \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right)$$。
周期为 $$6\pi$$，最大值为 $$\sqrt{2}$$，故选 C。