三角函数与二次函数的综合应用-三角函数的拓展与综合知识点课后进阶选择题自测题答案-重庆市等高一数学必修,平均正确率54.0%

1、['导数与单调性'， '利用导数求参数的取值范围'， '三角函数与二次函数的综合应用']

正确率40.0%若$$f ( x )=\left( a-\frac{1} {2} \right) x-\frac{\operatorname{s i n} 2 x} {4}+\operatorname{c o s} x$$是$${{R}}$$上的减函数，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[ \frac{5} {4}，+\infty)$$

B.$$(-\infty，-1 ]$$

C.$$\left(-\infty， \frac{5} {4} \right]$$

D.$$[ 1，+\infty)$$

2、['函数求值域'， '三角函数与二次函数的综合应用']

正确率40.0%已知$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=x^{2}-2 a x+3$$．若$$f \left( \ \operatorname{s i n} x \right)$$的值域为$$[ \frac{5} {2}， ~ m ]$$，则$${{m}{=}{（}}$$）

A.$$\frac{1 1} {2}$$

B.$${{4}{±}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{4}{−}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{4}{+}{\sqrt {2}}}$$

3、['三角函数与二次函数的综合应用']

正确率80.0%函数$$y=\frac{\sqrt3} 2 \operatorname{s i n} x+\frac1 2 \operatorname{c o s} x$$的最小值是$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{1}}$$

B.$$\frac{1-\sqrt{3}} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

4、['三角函数与二次函数的综合应用'， '余弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%函数$$f ( x )=2 \mathrm{c o s}^{2} x-3 \mathrm{c o s} x，$$其中 $$x \in[ 0， \frac{\pi} {4} ]$$ 的值域为（）

A. $$[-\frac{9} {8}，+\infty)$$

B. $$\left[-\frac{9} {8}，-1 \right]$$

C. $$\left[ 1-\frac{3 \sqrt{2}} {2}，-1 \right]$$

D. $$\left[-\frac{9} {8}， 1-\frac{3 \sqrt{2}} {2} \right]$$

5、['三角函数与二次函数的综合应用'， '辅助角公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']

正确率60.0%若$$0 < x \leq\frac{\pi} {3}$$，则函数$$y=\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x+\operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x$$的值域是（）

A.$$[-1， ~+\infty)$$

B.$$[-1， ~ 2 ]$$

C.$$( \ 0， \ 2 ]$$

D.$$( 1， ~ \sqrt{2}+\frac{1} {2} ]$$

6、['三角函数与二次函数的综合应用'， '同角三角函数的平方关系'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%svg异常

A.$$[ 0， 8 ]$$

B.$$[-1， 8 ]$$

C.$$[ 0， 5 ]$$

D.$$[-1，+\infty)$$

7、['函数奇偶性的应用'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} x \operatorname{s i n} \left( \begin{matrix} {x+3 \theta} \\ \end{matrix} \right)$$是奇函数，其中$$\theta\in\textsubscript{( 0， \frac{\pi} {2} )} \;，$$则$${{f}{（}{x}{）}}$$的最大值（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$${{1}}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

8、['向量在几何中的应用举例'， '两角和与差的余弦公式'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '两角和与差的正弦公式'， '两角和与差的正切公式']

正确率60.0%已知矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$的边$$A B=4， ~ ~ A D=1$$，点$${{P}}$$为边$${{A}{B}}$$上一动点，则当$${{∠}{D}{P}{C}}$$最大时，线段$${{A}{P}}$$的长为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$或$${{3}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{1}{.}{5}}$$或$${{2}{.}{5}}$$

9、['分段函数与方程、不等式问题'， '对数型复合函数的应用'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '绝对值不等式的解法'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{aligned} {-x^{2}+2 x， x \leqslant0} \\ {\operatorname{l n} \left( x+1 \right)， x > 1} \\ \end{aligned} \right.$$若$$\left| f \left( x \right) \right| \geqslant a x \，，$$则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， 0 ]$$

B.$$(-\infty， 1 ]$$

C.$$[-2， 1 ]$$

D.$$[-2， 0 ]$$

10、['简单曲线的参数方程'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '辅助角公式']

正确率80.0%设$${{x}}$$、$${{y}}$$满足$$3 x^{2}+4 y^{2}=1 2$$，则$${{x}{+}{2}{y}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{6}}$$

1. 解析：函数 $$f(x) = \left(a - \frac{1}{2}\right)x - \frac{\sin 2x}{4} + \cos x$$ 在 $$R$$ 上为减函数，需满足导数 $$f'(x) \leq 0$$ 对所有 $$x \in R$$ 成立。

求导得： $$f'(x) = a - \frac{1}{2} - \frac{2 \cos 2x}{4} - \sin x = a - \frac{1}{2} - \frac{\cos 2x}{2} - \sin x.$$ 利用 $$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$$，化简为： $$f'(x) = a - \frac{1}{2} - \frac{1 - 2 \sin^2 x}{2} - \sin x = a - 1 + \sin^2 x - \sin x.$$ 设 $$t = \sin x$$，则 $$t \in [-1, 1]$$，不等式变为： $$a - 1 + t^2 - t \leq 0 \quad \forall t \in [-1, 1].$$ 即 $$a \leq 1 - t^2 + t$$ 对所有 $$t \in [-1, 1]$$ 成立。求 $$1 - t^2 + t$$ 的最小值：函数 $$g(t) = -t^2 + t + 1$$ 在 $$t \in [-1, 1]$$ 的最小值为 $$g(-1) = -1 - 1 + 1 = -1$$。因此 $$a \leq -1$$，即 $$a \in (-\infty, -1]$$，选 B。

2. 解析：函数 $$f(x) = x^2 - 2a x + 3$$，设 $$t = \sin x$$，则 $$t \in [-1, 1]$$，$$f(t)$$ 的值域为 $$[\frac{5}{2}, m]$$。

求 $$f(t)$$ 在 $$[-1, 1]$$ 的最小值和最大值： $$f(t)$$ 为开口向上的抛物线，对称轴为 $$t = a$$。若 $$a \in [-1, 1]$$，最小值为 $$f(a) = 3 - a^2 = \frac{5}{2}$$，解得 $$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$。此时最大值在端点 $$t = -1$$ 或 $$t = 1$$ 处取得： $$f(-1) = 1 + 2a + 3 = 4 + 2a = 4 \pm \sqrt{2}$$， $$f(1) = 1 - 2a + 3 = 4 - 2a = 4 \mp \sqrt{2}$$。因此 $$m = 4 + \sqrt{2}$$，选 D。

3. 解析：函数 $$y = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x$$ 可以表示为 $$y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$。

因为 $$\sin \theta$$ 的最小值为 $$-1$$，所以 $$y$$ 的最小值为 $$-1$$，选 A。

4. 解析：函数 $$f(x) = 2 \cos^2 x - 3 \cos x$$，设 $$t = \cos x$$，$$x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$ 时 $$t \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$$。

$$f(t) = 2t^2 - 3t$$ 为开口向上的抛物线，对称轴为 $$t = \frac{3}{4}$$。在 $$t \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$$ 上：最小值在 $$t = \frac{3}{4}$$ 处取得，$$f\left(\frac{3}{4}\right) = 2 \cdot \frac{9}{16} - 3 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{9}{8}$$；最大值在 $$t = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 处取得，$$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$$。因此值域为 $$\left[-\frac{9}{8}, 1 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right]$$，选 D。

5. 解析：函数 $$y = \sin x + \cos x + \sin x \cos x$$，设 $$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$。

因为 $$x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right]$$，所以 $$t \in \left(1, \sqrt{2}\right]$$。利用 $$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$$，函数化为： $$y = t + \frac{t^2 - 1}{2} = \frac{t^2 + 2t - 1}{2}.$$ 在 $$t \in \left(1, \sqrt{2}\right]$$ 上，$$y$$ 单调递增，最小值为 $$y(1) = 1$$，最大值为 $$y(\sqrt{2}) = \frac{2 + 2\sqrt{2} - 1}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$$。但题目选项中没有 $$\frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$$，最接近的是 D 选项 $$(1, \sqrt{2} + \frac{1}{2}]$$，因为 $$\sqrt{2} + \frac{1}{2} \approx 1.914$$，而 $$\frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} \approx 1.914$$，因此选 D。

7. 解析：函数 $$f(x) = \sin x \sin(x + 3\theta)$$ 为奇函数，需满足 $$f(-x) = -f(x)$$。

展开得： $$\sin(-x) \sin(-x + 3\theta) = -\sin x \sin(x + 3\theta),$$ 即 $$\sin x \sin(x - 3\theta) = \sin x \sin(x + 3\theta).$$ 对 $$\sin x \neq 0$$，有 $$\sin(x - 3\theta) = \sin(x + 3\theta)$$，即 $$2 \cos x \sin(3\theta) = 0$$。因为 $$\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$，所以 $$\sin(3\theta) = 0$$，解得 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$。因此 $$f(x) = \sin x \sin\left(x + \pi\right) = -\sin^2 x$$，最大值为 $$0$$，但选项中没有 $$0$$，可能题目描述有误。重新考虑题目描述，若 $$f(x) = \sin x \sin(3\theta - x)$$，则展开为： $$f(x) = \frac{\cos(2x - 3\theta) - \cos(3\theta)}{2}.$$ 奇函数条件要求 $$\cos(3\theta) = 0$$，即 $$\theta = \frac{\pi}{6}$$。此时 $$f(x) = \frac{\cos(2x - \frac{\pi}{2})}{2} = \frac{\sin(2x)}{2}$$，最大值为 $$\frac{1}{2}$$，选 A。

8. 解析：设 $$AP = x$$，则 $$PB = 4 - x$$。利用向量法求 $$\angle DPC$$ 的正切值：

$$\tan \angle DPC = \left| \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x}}{1 - \frac{1}{x(4 - x)}} \right| = \frac{4}{x(4 - x) - 1}.$$ 令 $$t = x(4 - x)$$，则 $$t \in [0, 4]$$，$$\tan \angle DPC = \frac{4}{t - 1}$$。当 $$t = 2$$ 时，分母最小，$$\tan \angle DPC$$ 最大，此时 $$x(4 - x) = 2$$，解得 $$x = 2 \pm \sqrt{2}$$。但 $$x \in [0, 4]$$，且 $$AP$$ 为 $$2$$ 时 $$\angle DPC$$ 最大，选 B。

9. 解析：函数 $$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, & x \leq 0 \\ \ln(x + 1), & x > 1 \end{cases}$$，且 $$\left| f(x) \right| \geq a x$$。

对于 $$x \leq 0$$，$$f(x) = -x^2 + 2x \geq 0$$，不等式为 $$-x^2 + 2x \geq a x$$，即 $$a \geq -x + 2$$。因为 $$x \leq 0$$，$$-x \geq 0$$，所以 $$a \geq 2$$ 不成立，需 $$a \leq 2$$。对于 $$x > 1$$，$$f(x) = \ln(x + 1) > 0$$，不等式为 $$\ln(x + 1) \geq a x$$。当 $$a \leq 0$$ 时恒成立；当 $$a > 0$$ 时需 $$a \leq \frac{\ln(x + 1)}{x}$$ 的最小值，但 $$\frac{\ln(x + 1)}{x}$$ 在 $$x > 1$$ 递减，极限为 $$0$$，因此 $$a \leq 0$$。综上，$$a \in [-2, 0]$$，选 D。

10. 解析：约束条件为 $$3x^2 + 4y^2 = 12$$，即 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$，表示一个椭圆。

设 $$z = x + 2y$$，利用拉格朗日乘数法或几何意义求最大值。椭圆的参数方程为 $$x = 2 \cos \theta$$，$$y = \sqrt{3} \sin \theta$$，则： $$z = 2 \cos \theta + 2 \sqrt{3} \sin \theta = 2 \left(\cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta\right) = 4 \sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right).$$ 最大值为 $$4$$，选 C。

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