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正确率60.0%同时满足下列$${{3}}$$个条件的函数为（）
$${①}$$在$$( 0， ~ \frac{\pi} {2} )$$上是增函数；$${②}$$为$${{R}}$$上的奇函数；$${③}$$最小正周期为$${{π}{．}}$$
A
A.$${{y}{=}{{t}{a}{n}}{x}}$$
B.$$y=| \operatorname{c o s} x |$$
C.$$y=\operatorname{t a n} \frac{x} {2}$$
D.$$y=| \operatorname{s i n} x |$$
2、['三角函数的性质综合']正确率40.0%甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁四名同学在回忆同一个函数，甲说：$${{“}}$$我记得该函数定义域为$${{R}}$$，还是奇函数$${{”}}$$．乙说：$${{“}}$$我记得该函数为偶函数，值域不是$${{R}{”}}$$．丙说：$${{“}}$$我记得该函数定义域为$${{R}}$$，还是单调函数$${{”}}$$．丁说：$${{“}}$$我记得该函数的图象有对称轴，值域是$${{R}{”}}$$．若每个人的话都只对了一半，则下列函数中不可能是该函数的是（）
D
A.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{s i n} \left( \begin{matrix} {2 x+\frac{\pi} {6}} \\ \end{matrix} \right)$$
B.$$f ~ ( \textbf{x} ) ~=~ ( \textbf{x}-1 ) ~^{2}$$
C.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{c o s} \ ( \begin{matrix} {2 x+\frac{\pi} {6}} \\ \end{matrix} )$$
D.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=2^{x}$$
3、['三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合']正确率40.0%若函数$${{f}{（}{x}{）}}$$同时满足以下三个性质：
$$\odot f \left( x \right)$$的最小正周期为$${{π}{；}}$$
$$\odot f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$在$$( \frac{\pi} {4}， \ \frac{\pi} {2} )$$上是减函数；
$${③}$$对任意的$${{x}{∈}{R}}$$，都有$$f ~ ( \textbf{x}-\frac{\pi} {4} ) ~+f ~ ( \textbf{}-\textbf{x} ) ~=0$$，
则$${{f}{（}{x}{）}}$$的解析式可能是（）
B
A.$$f^{\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)}=\left| \begin{matrix} {\operatorname{s i n} ~ ( \begin{matrix} {2 x-\frac{\pi} {4}} \\ \end{matrix} )} \\ \end{matrix} \right|$$
B.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=\operatorname{s i n} 2 x+\operatorname{c o s} 2 x$$
C.$$f^{( \textbf{} x )}=\operatorname{c o s} ~ ( \frac{2 x+\frac{3 \pi} {4}} {} )$$
D.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =-\operatorname{t a n} \ ( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} )$$
4、['三角恒等变换综合应用'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合']正确率60.0%函数$$f ( x )=A \operatorname{s i n} \， \omega x ( \omega> 0 )$$，对任意$${{x}}$$有$$f \left( x-\frac{1} {2} \right)=f \left( x+\frac{1} {2} \right)$$，且$$f \left(-\frac{1} {4} \right)=-a$$，那么$$f \left( \frac{9} {4} \right)$$等于（）
A
A.$${{a}}$$
B.$${{2}{a}}$$
C.$${{3}{a}}$$
D.$${{4}{a}}$$
5、['三角函数与其他知识的综合应用'， '三角函数的性质综合']正确率40.0%对于函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x-\frac{1} {\operatorname{s i n} x}$$，下列说法错误的是（）
C
A.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在定义域上的零点个数为偶数
B.直线$$x=\frac{\pi} {2}$$为函数$${{f}{（}{x}{）}}$$图象的一条对称轴
C.$$f (-\frac{5} {3} \pi) < f ( \frac{1 1} {4} \pi)$$
D.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$(-\frac{\pi} {2}+2 k \pi， \ 2 k \pi) ( k \in z )$$上递增
7、['用不等式组表示不等关系'， '三角函数的性质综合']正确率60.0%设$$x_{1}， ~ x_{2} \in( 0， \frac{\pi} {2} )$$，且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，下列不等式中成立的是$${{(}{)}}$$
$$\oplus\， \frac{1} {2} ( \operatorname{s i n} x_{1}+\operatorname{s i n} x_{2} ) > \operatorname{s i n} \frac{x_{1}+x_{2}} {2}$$；
$$\odot\frac1 2 ( \operatorname{c o s} x_{1}+\operatorname{c o s} x_{2} ) > \operatorname{c o s} \frac{x_{1}+x_{2}} 2$$；
$$\odot\， {\frac{1} {2}} ( \operatorname{t a n} x_{1}+\operatorname{t a n} x_{2} ) > \operatorname{t a n} {\frac{x_{1}+x_{2}} {2}}$$；
$$\oplus\frac{1} {2} ( \frac{1} {\operatorname{t a n} x_{1}}+\frac{1} {\operatorname{t a n} x_{2}} ) > \frac{1} {\operatorname{t a n} \frac{x_{1}+x_{2}} {2}}$$．
B
A.$${①{②}}$$
B.$${③{④}}$$
C.$${①{④}}$$
D.$${②{③}}$$
8、['三角函数的性质综合']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\sin\left( \begin{matrix} {\omega} \\ {x+\varphi} \\ \end{matrix} \right) \ \ \left( \begin{matrix} {0 < \omega< 8} \\ \end{matrix}， \ \left| \varphi\right| < \frac{\pi} {2} \right)$$，若$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$$f ( {\frac{3 \pi} {1 6}} )+f ( {\frac{1 1 \pi} {1 6}} )=2$$，则下列结论正确的是（）
C
A.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {1 6}$$对称
B.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于点$$( {\frac{7 \pi} {1 6}}， ~ 0 )$$对称
C.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$[-\frac{\pi} {1 6}， ~ \frac{\pi} {1 6} ]$$上单调递增
D.存在$$m \in( 0， \ \frac{\pi} {8} ]$$，使函数$$f \left( \textbf{x}+m \right)$$为偶函数
9、['正弦曲线的对称轴'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合']正确率40.0%将函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x-\operatorname{c o s}^{2} x$$的图象上各点沿$${{x}}$$轴向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位，得到函数$$y=g ( x )$$的图象，则$$y=g ( x )$$的一条对称轴是$${{(}{)}}$$
A
A.$$x=\frac{\pi} {6}$$
B.$$x=\frac{\pi} {4}$$
C.$$x=\frac{\pi} {3}$$
D.$$x=\frac{\pi} {2}$$
1. 解析：
① 在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 上是增函数；
② 是 $$R$$ 上的奇函数；
③ 最小正周期为 $$\pi$$。
选项分析：
A. $$y = \tan x$$：
- 在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 上是增函数；
- 是奇函数；
- 最小正周期为 $$\pi$$。
完全满足条件。
B. $$y = |\cos x|$$：
- 在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 上是减函数；
- 是偶函数。
不满足条件。
C. $$y = \tan \frac{x}{2}$$：
- 最小正周期为 $$2\pi$$。
不满足条件。
D. $$y = |\sin x|$$：
- 是偶函数。
不满足条件。
因此，正确答案是 A。
2. 解析：
A. $$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$$：
- 定义域为 $$R$$；
- 是奇函数（因为 $$\sin$$ 是奇函数）；
- 不是单调函数；
- 有对称轴（正弦函数的对称性）；
- 值域为 $$[-1, 1] \neq R$$。
可能符合部分描述。
B. $$f(x) = (x-1)^2$$：
- 定义域为 $$R$$；
- 是偶函数；
- 不是单调函数；
- 有对称轴 $$x = 1$$；
- 值域为 $$[0, +\infty) \neq R$$。
可能符合部分描述。
C. $$f(x) = \cos(2x + \frac{\pi}{6})$$：
- 定义域为 $$R$$；
- 是偶函数；
- 不是单调函数；
- 有对称轴；
- 值域为 $$[-1, 1] \neq R$$。
可能符合部分描述。
D. $$f(x) = 2^x$$：
- 定义域为 $$R$$；
- 不是奇函数或偶函数；
- 是单调递增函数；
- 无对称轴；
- 值域为 $$(0, +\infty) \neq R$$。
不可能是该函数。
因此，正确答案是 D。
3. 解析：
① 最小正周期为 $$\pi$$；
② 在 $$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$$ 上是减函数；
③ 对任意 $$x \in R$$，有 $$f(x - \frac{\pi}{4}) + f(-x) = 0$$（对称性）。
选项分析：
A. $$f(x) = |\sin(2x - \frac{\pi}{4})|$$：
- 周期为 $$\pi$$；
- 在 $$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$$ 上可能为减函数；
- 不满足对称性条件。
B. $$f(x) = \sin 2x + \cos 2x$$：
- 周期为 $$\pi$$；
- 在 $$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$$ 上是减函数；
- 满足 $$f(x - \frac{\pi}{4}) + f(-x) = 0$$。
C. $$f(x) = \cos(2x + \frac{3\pi}{4})$$：
- 周期为 $$\pi$$；
- 不满足减函数条件。
D. $$f(x) = -\tan x$$：
- 周期为 $$\pi$$；
- 在 $$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$$ 上是减函数；
- 不满足对称性条件。
因此，正确答案是 B。
4. 解析：
又 $$f(-\frac{1}{4}) = -a$$，即 $$A \sin(-\frac{\pi}{2}) = -a$$，得 $$A = a$$。
因此，$$f(\frac{9}{4}) = A \sin(2\pi \cdot \frac{9}{4}) = A \sin(\frac{9\pi}{2}) = A \sin(\frac{\pi}{2}) = A = a$$。
正确答案是 A。
5. 解析：
A. 零点为 $$\sin x = \pm 1$$，即 $$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，个数为偶数（因为周期性）。
B. 对称轴需满足 $$f(\frac{\pi}{2} + t) = f(\frac{\pi}{2} - t)$$，验证成立。
C. 计算 $$f(-\frac{5\pi}{3}) = \sin(-\frac{5\pi}{3}) - \frac{1}{\sin(-\frac{5\pi}{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} < 0$$，
$$f(\frac{11\pi}{4}) = \sin(\frac{11\pi}{4}) - \frac{1}{\sin(\frac{11\pi}{4})} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\sqrt{2}) > 0$$，因此 $$f(-\frac{5\pi}{3}) < f(\frac{11\pi}{4})$$ 正确。
D. 函数在 $$(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, 2k\pi)$$ 上 $$\sin x$$ 为负且递减，因此 $$f(x)$$ 递增。
题目问“下列说法错误的是”，但选项均正确，可能是题目描述有误。根据选项内容，最可能错误的是 B（因为对称轴不一定是 $$x = \frac{\pi}{2}$$）。
7. 解析：
① $$\frac{1}{2}(\sin x_1 + \sin x_2) > \sin \frac{x_1 + x_2}{2}$$：正弦函数在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 上是凹函数，不等式成立。
② $$\frac{1}{2}(\cos x_1 + \cos x_2) > \cos \frac{x_1 + x_2}{2}$$：余弦函数在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 上是凸函数，不等式不成立。
③ $$\frac{1}{2}(\tan x_1 + \tan x_2) > \tan \frac{x_1 + x_2}{2}$$：正切函数在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 上是凸函数，不等式成立。
④ $$\frac{1}{2}(\cot x_1 + \cot x_2) > \cot \frac{x_1 + x_2}{2}$$：余切函数在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 上是凹函数，不等式不成立。
因此，①和③成立，对应选项 D。
8. 解析：
因此，$$\omega \cdot \frac{3\pi}{16} + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，
$$\omega \cdot \frac{11\pi}{16} + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2m\pi$$，
相减得 $$\omega \cdot \frac{8\pi}{16} = 2(m - k)\pi$$，即 $$\omega = 4(m - k)$$。
由于 $$0 < \omega < 8$$，取 $$\omega = 4$$。
验证选项：
A. 对称轴 $$x = \frac{\pi}{16}$$：$$f(\frac{\pi}{16} + t) = f(\frac{\pi}{16} - t)$$ 不成立。
B. 对称点 $$(\frac{7\pi}{16}, 0)$$：$$f(\frac{7\pi}{16} + t) = -f(\frac{7\pi}{16} - t)$$ 成立。
C. 单调性：$$f(x)$$ 在 $$[-\frac{\pi}{16}, \frac{\pi}{16}]$$ 上可能不单调。
D. 存在 $$m \in (0, \frac{\pi}{8}]$$ 使 $$f(x + m)$$ 为偶函数：可取 $$m = \frac{\pi}{8}$$。
因此，正确答案是 B 和 D（题目可能为单选，选最可能的 B）。
9. 解析：
化简为 $$f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}$$。
向左平移 $$\frac{\pi}{6}$$ 得 $$g(x) = \sin(2(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2} = \sin(2x + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2} = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}$$。
对称轴满足 $$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$$。
取 $$k = 0$$，得 $$x = \frac{\pi}{6}$$。
因此，正确答案是 A。