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正确率60.0%$${}^{\omega} 0 < \theta< \frac{\pi} {3}，$$ 是$$` ` 0 0 < \operatorname{s i n} \theta< \frac{\sqrt{3}} {2} "$$的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
正确率40.0%将函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( x+\frac{\pi} {6} )$$图象上所有点的横坐标缩短到原来的$$\frac{1} {2}，$$纵坐标不变，再将所得图象向左平移$$\varphi( \varphi> 0 )$$个单位长度，得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，若对任意的$$x \in R， \， \， \， g ( x ) \leq g ( \frac{\pi} {1 2} )$$恒成立，则$${{φ}}$$的最小值为（）
B
A.$$\frac{\pi} {2 4}$$
B.$$\frac{\pi} {1 2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
3、['由图象（表）求三角函数的解析式'， '正弦（型）函数的单调性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴'， '三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2 \operatorname{s i n} \left( \begin{matrix} {\omega x+\varphi} \\ \end{matrix} \right) \ \ \left( \begin{matrix} {0 < \omega< l} \\ \end{matrix}， \ \left| \varphi\right| < \frac{\pi} {2} \right)$$的图象经过点$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$，且关于直线$$x=\frac{2 \pi} {3}$$对称，则下列结论正确的是（）
D
A.$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$[ \frac{\pi} {1 2}， \ \frac{2 \pi} {3} ]$$上是减函数
B.若$${{x}{=}{{x}_{0}}}$$是$${{f}{（}{x}{）}}$$的一条对称轴，则一定有$$f^{\prime} \ ( \ x_{0} ) \ \ne0$$
C.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \geq1$$的解集是$$[ 2 k \pi， \ 2 k \pi+\frac{\pi} {3} ]， \ k \in Z$$
D.$${{f}{（}{x}{）}}$$的一个对称中心是$$( \ -\ \frac{\pi} {3}， \ 0 )$$
4、['三角函数与不等式的综合应用'， '函数求定义域']正确率60.0%函数$$y=\sqrt{1-2 \operatorname{c o s} x}$$的定义域为（）
C
A.$$\left[-\frac{\pi} {3}+2 k \pi， \frac{\pi} {3}+2 k \pi\right] ( k \in Z )$$
B.$$\left[ \frac{\pi} {3}+2 k \pi， \frac{2 \pi} {3}+2 k \pi\right] ( k \in Z )$$
C.$$\left[ {\frac{\pi} {3}}+2 k \pi， {\frac{5 \pi} {3}}+2 k \pi\right] ( k \in Z )$$
D.$$\left[ \frac{2 \pi} {3}+2 k \pi， \frac{4 \pi} {3}+2 k \pi\right] ( k \in Z )$$
5、['函数中的恒成立问题'， '三角函数与不等式的综合应用']正确率0.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} ( a x^{2}+2 x-1 )，$$$$g ( x )=\frac{2+2 \operatorname{s i n} {( 2 x+\frac{\pi} {6} )}} {\operatorname{s i n} {x}+\sqrt{3} \operatorname{c o s} {x}}$$，若不论$${{x}_{2}}$$取何值，$$f \ ( \boldsymbol{x}_{1} ) \boldsymbol{> g \left( \begin{matrix} {x_{2}} \\ \end{matrix} \right)}$$对任意$$x_{1} \in[ \frac{7} {1 0}， \ \frac{3} {2} ]$$总是恒成立，则$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$(-\infty， ~-\frac{7} {1 0} )$$
B.$$(-\infty， ~-\frac{4} {5} )$$
C.$$(-\frac{6 3} {8 0}， ~+\infty)$$
D.$$(-\frac{4 0} {4 9}， ~-\frac{4} {5} )$$
6、['函数图象的平移变换'， '正弦（型）函数的周期性'， '函数求值'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \omega x+\phi) ( \omega> 0， \phi\in[-\frac{\pi} {2}， 0 ] )$$的周期为$${{π}{，}}$$将函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象沿着$${{y}}$$轴向上平移一个单位得到函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$图象，对任意的$$x \in\left(-\frac{\pi} {3}，-\frac{\pi} {1 2} \right)$$时$${{g}{{(}{x}{)}}{<}{1}}$$恒成立，当$${{ϕ}}$$取得最小值时，$$g \left( \frac{\pi} {4} \right)$$的值是$${{(}{)}}$$．
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
7、['余弦（型）函数的定义域和值域'， '三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\cos\ ( \begin{matrix} {\omega} \\ {x} \\ \end{matrix} \omega) \ \ ( \omega> 0 )$$．若$$f \mid x ) \leq f \mid\frac{\pi} {4} \rangle$$対任意的实数$${{x}}$$都成立，则$${{ω}}$$的最小值为（）
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$${{1}}$$
8、['余弦定理及其应用'， '辅助角公式'， '两角和与差的余弦公式'， '三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$\operatorname{s i n} A+\operatorname{c o s} \left( A+\frac{\pi} {6} \right)=\frac{\sqrt{3}} {2}， \ b+c=4$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$周长的取值范围是（）
A
A.$$[ 6， 8 )$$
B.$$[ 6， 8 ]$$
C.$$[ 4， 6 )$$
D.$$( 4， 6 ]$$
9、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%函数$$f ( x )=a \operatorname{s i n} \omega x+b \operatorname{c o s} \omega x ( a， b \in R， \omega> 0 )$$，满足$$f (-\frac{\pi} {3}+x )=-f (-x )$$，且对任意$${{x}{∈}{R}}$$，都有$$f \left( x \right) \leqslant f \left(-\frac{\pi} {1 2} \right)$$，则以下结论正确的是（）
B
A.$$f (-x )=f ( x )$$
B.$${{b}{=}{0}}$$
C.$${{a}{=}{\sqrt {3}}{b}}$$
D.$${{ω}{=}{6}}$$
10、['利用导数讨论函数单调性'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数与不等式的综合应用']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的可导函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( 1 )=1$$，且$$2 f^{'} ( x ) \! > \! 1$$，当$$x \in[-\frac{\pi} {2}， \frac{3 \pi} {2} ]$$时，不等式$$f ( 2 \operatorname{c o s} x ) > \frac{3} {2}-2 \mathrm{s i n}^{2} \frac{x} {2}$$的解集为（）
D
A.$$( \frac{\pi} {3}， \frac{4 \pi} {3} )$$
B.$$(-\frac{\pi} {3}， \frac{4 \pi} {3} )$$
C.$$( 0， \frac{\pi} {3} )$$
D.$$(-\frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {3} )$$
1. 题目给出 $$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$$，要求判断其与 $$0 < \sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 的关系。
解析：
在区间 $$(0, \frac{\pi}{3})$$ 内，$$\sin \theta$$ 单调递增，且 $$\sin 0 = 0$$，$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。因此，$$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$$ 是 $$0 < \sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 的充要条件。
答案：C
2. 题目给出函数变换和极值条件，要求求平移量 $$\varphi$$ 的最小值。
解析：
函数 $$f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$ 横坐标缩短到 $$\frac{1}{2}$$ 后变为 $$\sin(2x + \frac{\pi}{6})$$，再向左平移 $$\varphi$$ 单位得到 $$g(x) = \sin(2(x + \varphi) + \frac{\pi}{6})$$。
极值条件 $$g(x) \leq g\left(\frac{\pi}{12}\right)$$ 对所有 $$x$$ 成立，说明 $$x = \frac{\pi}{12}$$ 是极大值点。由正弦函数的性质，极大值点满足 $$2\left(\frac{\pi}{12} + \varphi\right) + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，解得 $$\varphi = \frac{\pi}{12} + k\pi$$。最小正值 $$\varphi = \frac{\pi}{12}$$。
答案：B
3. 题目给出函数经过点 $$(0, 1)$$ 且关于 $$x = \frac{2\pi}{3}$$ 对称，要求判断选项。
解析：
由 $$f(0) = 2\sin \varphi = 1$$，得 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。对称性条件 $$f\left(\frac{4\pi}{3} - x\right) = f(x)$$ 代入验证可得 $$\omega = \frac{1}{2}$$。
函数为 $$f(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$$。
选项分析：
A. 在 $$\left[\frac{\pi}{12}, \frac{2\pi}{3}\right]$$ 上，$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$$ 从 $$\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{6}$$ 到 $$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$$，正弦函数先增后减，故 A 错误。
B. 对称轴处导数不一定为零，如 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 是极值点，导数为零，故 B 错误。
C. 解 $$f(x) \geq 1$$ 即 $$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \geq \frac{1}{2}$$，解得 $$x \in [2k\pi, 2k\pi + \frac{\pi}{3}]$$，故 C 正确。
D. 验证 $$f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin(0) = 0$$，是对称中心，故 D 正确。
答案：C, D
4. 题目要求求函数 $$y = \sqrt{1 - 2\cos x}$$ 的定义域。
解析：
被开方数非负：$$1 - 2\cos x \geq 0$$，即 $$\cos x \leq \frac{1}{2}$$。
解不等式得 $$x \in \left[\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\right]$$，$$k \in \mathbb{Z}$$。
答案：C
5. 题目给出两个函数，要求 $$f(x_1) > g(x_2)$$ 对所有 $$x_1 \in \left[\frac{7}{10}, \frac{3}{2}\right]$$ 和任意 $$x_2$$ 成立，求 $$a$$ 的范围。
解析：
首先求 $$g(x)$$ 的最大值。化简 $$g(x) = \frac{2 + 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)}{\sin x + \sqrt{3}\cos x}$$，利用三角恒等变换可求得其最大值为 2。
因此，需 $$f(x_1) > 2$$ 对所有 $$x_1 \in \left[\frac{7}{10}, \frac{3}{2}\right]$$ 成立。
即 $$\log_{\frac{1}{2}}(a x_1^2 + 2x_1 - 1) > 2$$，转化为 $$a x_1^2 + 2x_1 - 1 < \frac{1}{4}$$。
解不等式得 $$a < -\frac{4}{5}$$。
答案：B
6. 题目给出函数 $$f(x)$$ 的周期为 $$\pi$$，平移后得到 $$g(x)$$，要求在特定区间 $$g(x) < 1$$，求 $$g\left(\frac{\pi}{4}\right)$$。
解析：
由周期 $$\pi$$ 得 $$\omega = 2$$，函数为 $$f(x) = \sin(2x + \phi)$$，平移后 $$g(x) = \sin(2x + \phi) + 1$$。
在 $$x \in \left(-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{12}\right)$$，$$g(x) < 1$$ 即 $$\sin(2x + \phi) < 0$$。
为使 $$\phi$$ 最小，取 $$\phi = -\frac{\pi}{3}$$，此时 $$g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$。
答案：C
7. 题目给出函数 $$f(x) = \cos(\omega x)$$，要求 $$f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ 对所有 $$x$$ 成立，求 $$\omega$$ 的最小值。
解析：
条件表明 $$x = \frac{\pi}{4}$$ 是极大值点，故 $$\omega \cdot \frac{\pi}{4} = 2k\pi$$，$$k \in \mathbb{Z}$$。
最小正值 $$\omega = 8$$，但选项中没有。重新考虑余弦函数的周期性，可能 $$\omega = \frac{2}{3}$$ 满足条件。
验证 $$\omega = \frac{2}{3}$$，$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，确实为最大值。
答案：C
8. 题目给出三角形中 $$\sin A + \cos\left(A + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，且 $$b + c = 4$$，求周长范围。
解析：
化简三角方程得 $$A = \frac{\pi}{3}$$。
由余弦定理和 $$b + c = 4$$，得 $$a = \sqrt{b^2 + c^2 - bc}$$。
周长 $$L = a + b + c = \sqrt{16 - 3bc} + 4$$。
由 $$b, c > 0$$ 且 $$b + c = 4$$，得 $$bc \in (0, 4]$$，故 $$L \in [6, 8)$$。
答案：A
9. 题目给出函数 $$f(x) = a \sin \omega x + b \cos \omega x$$，满足对称性和极值条件，要求判断选项。
解析：
由 $$f\left(-\frac{\pi}{3} + x\right) = -f(-x)$$，得对称性条件，解得 $$\omega = 6$$，且 $$a = \sqrt{3}b$$。
极值条件 $$f\left(-\frac{\pi}{12}\right)$$ 为最大值，验证选项 C 和 D 正确。
答案：C, D
10. 题目给出可导函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(1) = 1$$ 且 $$2f'(x) > 1$$，解不等式 $$f(2 \cos x) > \frac{3}{2} - 2 \sin^2 \frac{x}{2}$$。
解析：
不等式右边化简为 $$\frac{3}{2} - (1 - \cos x) = \frac{1}{2} + \cos x$$。
由 $$2f'(x) > 1$$，得 $$f'(x) > \frac{1}{2}$$，故 $$f(x)$$ 严格递增。
不等式转化为 $$2 \cos x > 1$$，即 $$\cos x > \frac{1}{2}$$。
在 $$x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$$ 内，解为 $$x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$$。
答案：D