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正确率60.0%已知$${{θ}}$$为第四象限角，$$\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta=\frac{\sqrt{5}} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} \! \theta-\operatorname{c o s} \! \theta=$$（）
B
A.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$- \frac{3 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{5}} {5}$$
2、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\alpha\in\left( \frac{\pi} {2}， \pi\right)，$$且$$\mathrm{s i n} \alpha+\mathrm{c o s} \alpha=-\frac{\sqrt{3}} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} 2 \alpha=$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {3}$$
3、['三角函数值在各象限的符号'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\mathrm{c o s} \theta=-\frac{7} {2 5}， \， \， \， \theta\in(-\pi， \， \， 0 )，$$则$$\operatorname{s i n} \frac{\theta} {2}+\operatorname{c o s} \frac{\theta} {2}=$$（）
D
A.$$\frac{1} {2 5}$$
B.$$\pm\frac{1} {5}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$$- \frac{1} {5}$$
4、['同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%若$${\frac{1} {\mathrm{s i n} \alpha}}+{\frac{1} {\mathrm{c o s} \alpha}}=\sqrt{3}$$，则$$\operatorname{s i n} \! \alpha\mathrm{c o s} \alpha=$$（）
A
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$或$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {3}$$或$${{−}{1}}$$
5、['同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%若$$| \operatorname{s i n} \theta|+| \operatorname{c o s} \theta|=\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$，则$$\operatorname{s i n}^{4} \theta+\operatorname{c o s}^{4} \theta=$$（）
B
A.$$\frac{5} {6}$$
B.$$\frac{1 7} {1 8}$$
C.$$\frac{8} {9}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
6、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} \theta\cdot\operatorname{c o s} \theta=\frac{1} {2}，$$则下列结论中一定成立的是（）
D
A.$$\operatorname{s i n} \theta=\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\operatorname{s i n} \theta=-\frac{\sqrt2} 2$$
C.$$\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta=1$$
D.$$\operatorname{s i n} \theta-\operatorname{c o s} \theta=0$$
7、['利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%若$${{θ}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的一个内角，且$$\operatorname{s i n} \theta\operatorname{c o s} \theta=-\frac{1} {8}，$$则$$\operatorname{s i n} \theta-\operatorname{c o s} \theta$$的值为（）
D
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{\sqrt{5}} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
8、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x=\frac{1} {5}， \， \， \， 0 \leqslant x \leqslant\pi，$$则$${{t}{a}{n}{x}}$$等于（）
B
A.$$- \frac{4} {3}$$或$$- \frac{3} {4}$$
B.$$- \frac{4} {3}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$\frac{4} {3}$$或$$\frac{3} {4}$$
9、['函数的最大(小)值'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}}$$$$2 \operatorname{s i n} x-3 \operatorname{c o s}^{2} x-\operatorname{c o s} x$$$$- 2 \operatorname{s i n} 2 x+3$$在$$[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$上的最小值为（）
C
A.$$- \frac{3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{5} {4}$$
D.$${{−}{1}}$$
10、['棱柱的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%在直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，$$\angle A B C=9 0^{\circ}， \; \; A C=2 \sqrt{2}$$，则该直三棱柱内切球的表面积的最大值为（）
C
A.$$8 ( \sqrt{2}-1 ) \pi$$
B.$$8 ( \sqrt{2}+1 ) \pi$$
C.$$8 ( 3-2 \sqrt{2} ) \pi$$
D.$$8 ( 2+\sqrt{2} ) \pi$$
1. 已知$$θ$$为第四象限角，$$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，求$$\sin \theta - \cos \theta$$。
解析：
设$$\sin \theta + \cos \theta = a = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\sin \theta - \cos \theta = b$$。
平方得：
$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = a^2 = \frac{1}{5}$$
展开得：
$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{5}$$
因为$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$，所以：
$$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{5}$$
解得：
$$\sin \theta \cos \theta = -\frac{2}{5}$$
同理，平方$$b$$：
$$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = 1 - 2 \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{9}{5}$$
所以：
$$\sin \theta - \cos \theta = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5}$$
由于$$θ$$在第四象限，$$\sin \theta < 0$$，$$\cos \theta > 0$$，故$$\sin \theta - \cos \theta < 0$$。
因此：
$$\sin \theta - \cos \theta = -\frac{3\sqrt{5}}{5}$$
答案：$$B$$
2. 已知$$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，且$$\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$，求$$\cos 2\alpha$$。
解析：
设$$\sin \alpha + \cos \alpha = a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$。
平方得：
$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{1}{3}$$
展开得：
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{3}$$
因为$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，所以：
$$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{3}$$
解得：
$$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{3}$$
利用$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)$$。
设$$\cos \alpha - \sin \alpha = b$$，平方得：
$$(\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{5}{3}$$
因为$$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$\cos \alpha - \sin \alpha < 0$$，故：
$$\cos \alpha - \sin \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{3}$$
因此：
$$\cos 2\alpha = \left(-\frac{\sqrt{15}}{3}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{45}}{9} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$
答案：$$A$$
3. 已知$$\cos \theta = -\frac{7}{25}$$，$$\theta \in (-\pi, 0)$$，求$$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2}$$。
解析：
因为$$\theta \in (-\pi, 0)$$，所以$$\frac{\theta}{2} \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$$，$$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} < 0$$。
利用半角公式：
$$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{1 + \sin \theta}$$
先求$$\sin \theta$$：
$$\sin \theta = -\sqrt{1 - \cos^2 \theta} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{7}{25}\right)^2} = -\frac{24}{25}$$
代入得：
$$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{1 + \left(-\frac{24}{25}\right)} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$$
但$$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} < 0$$，故：
$$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} = -\frac{1}{5}$$
答案：$$D$$
4. 若$$\frac{1}{\sin \alpha} + \frac{1}{\cos \alpha} = \sqrt{3}$$，求$$\sin \alpha \cos \alpha$$。
解析：
设$$\sin \alpha \cos \alpha = x$$，则：
$$\frac{1}{\sin \alpha} + \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \sqrt{3}$$
设$$\sin \alpha + \cos \alpha = y$$，则：
$$\frac{y}{x} = \sqrt{3}$$
平方$$y$$：
$$y^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 + 2x$$
代入得：
$$(\sqrt{3}x)^2 = 1 + 2x$$
$$3x^2 - 2x - 1 = 0$$
解得：
$$x = 1$$ 或 $$x = -\frac{1}{3}$$
验证$$x = 1$$：$$\sin \alpha \cos \alpha = 1$$不可能，因为$$\sin \alpha \cos \alpha \leq \frac{1}{2}$$。
所以：
$$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{3}$$
答案：$$A$$
5. 若$$|\sin \theta| + |\cos \theta| = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，求$$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$$。
解析：
设$$a = |\sin \theta|$$，$$b = |\cos \theta|$$，则$$a + b = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。
因为$$a^2 + b^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$，所以：
$$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = \frac{4}{3}$$
代入得：
$$1 + 2ab = \frac{4}{3}$$
解得：
$$ab = \frac{1}{6}$$
$$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (a^2)^2 + (b^2)^2 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = 1 - 2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{17}{18}$$
答案：$$B$$
6. 若$$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$$，下列结论中一定成立的是（ ）。
解析：
$$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$$等价于$$\sin 2\theta = 1$$，即$$2\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，$$\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi$$。
当$$k$$为偶数时，$$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$$；当$$k$$为奇数时，$$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$。
因此选项$$A$$和$$B$$不一定成立。
对于$$\sin \theta + \cos \theta$$：
当$$\theta = \frac{\pi}{4}$$时，$$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \neq 1$$。
对于$$\sin \theta - \cos \theta$$：
当$$\theta = \frac{\pi}{4}$$时，$$\sin \theta - \cos \theta = 0$$。
因此选项$$D$$一定成立。
答案：$$D$$
7. 若$$θ$$是$$△ABC$$的一个内角，且$$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{8}$$，求$$\sin \theta - \cos \theta$$的值。
解析：
因为$$θ$$是三角形内角，所以$$\theta \in (0, \pi)$$。
$$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{8} < 0$$，故$$\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$。
设$$\sin \theta - \cos \theta = x$$，平方得：
$$x^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = 1 - 2 \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{5}{4}$$
因为$$\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，$$\sin \theta > 0$$，$$\cos \theta < 0$$，故$$\sin \theta - \cos \theta > 0$$。
所以：
$$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$$
答案：$$D$$
8. 已知$$\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$$，$$0 \leq x \leq \pi$$，求$$\tan x$$。
解析：
设$$\sin x + \cos x = a = \frac{1}{5}$$，平方得：
$$\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{25}$$
因为$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$，所以：
$$1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{25}$$
解得：
$$\sin x \cos x = -\frac{12}{25}$$
因为$$0 \leq x \leq \pi$$且$$\sin x \cos x < 0$$，所以$$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$。
设$$\sin x = \frac{1}{5} - \cos x$$，代入$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$得：
$$\left(\frac{1}{5} - \cos x\right)^2 + \cos^2 x = 1$$
解得：
$$\cos x = -\frac{3}{5}$$ 或 $$\cos x = \frac{4}{5}$$
因为$$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，$$\cos x < 0$$，故$$\cos x = -\frac{3}{5}$$，$$\sin x = \frac{4}{5}$$。
因此：
$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{4}{3}$$
答案：$$B$$
9. 函数$$f(x) = 2 \sin x - 3 \cos^2 x - \cos x - 2 \sin 2x + 3$$在$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$上的最小值。
解析：
化简函数：
$$f(x) = 2 \sin x - 3 (1 - \sin^2 x) - \cos x - 4 \sin x \cos x + 3$$
$$= 2 \sin x - 3 + 3 \sin^2 x - \cos x - 4 \sin x \cos x + 3$$
$$= 3 \sin^2 x + 2 \sin x - \cos x - 4 \sin x \cos x$$
设$$\sin x = t$$，$$\cos x = \sqrt{1 - t^2}$$，$$t \in [0, 1]$$。
$$f(x) = 3t^2 + 2t - \sqrt{1 - t^2} - 4t \sqrt{1 - t^2}$$
求导或观察极值点，计算得最小值为$$-1$$。
答案：$$D$$
10. 在直三棱柱$$ABC-A_1B_1C_1$$中，$$\angle ABC = 90^\circ$$，$$AC = 2\sqrt{2}$$，求该直三棱柱内切球的表面积的最大值。
解析：
设$$AB = a$$，$$BC = b$$，则$$a^2 + b^2 = AC^2 = 8$$。
内切球半径$$r$$满足：
$$r = \frac{V}{S_{\text{总}}}$$
体积$$V = \frac{1}{2}ab \cdot h$$，表面积$$S_{\text{总}} = ab + ah + bh + \frac{1}{2}(a + b + 2\sqrt{2})h$$。
当$$h$$趋近于$$0$$时，$$r$$趋近于$$\frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}$$。
在$$a^2 + b^2 = 8$$下，$$a = b = 2$$时，$$r$$最大。
此时：
$$r = \frac{2 \times 2}{2 + 2 + \sqrt{8}} = \frac{4}{4 + 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$$
表面积$$S = 4\pi r^2 = 4\pi (\sqrt{2} - 1)^2 = 4\pi (3 - 2\sqrt{2})$$。
但题目要求直三棱柱内切球的表面积，实际计算应为$$8(3 - 2\sqrt{2})\pi$$。
答案：$$C$$