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正确率60.0%若$${{3}{{s}{i}{n}}{α}{+}{{c}{o}{s}}{α}{=}{0}{，}}$$则$$\frac1 {\operatorname{c o s}^{2} \alpha+\operatorname{s i n} 2 \alpha}=$$（）
A
A.$$\frac{1 0} {3}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$${{−}{2}}$$
2、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%已知$${{s}{i}{n}{α}{+}{2}{{c}{o}{s}}{α}{=}{0}{，}}$$则$${{s}{i}{n}{2}{α}{=}}$$（）
A
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$$- \frac{3} {5}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
3、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \left( \frac{\theta} {2}-\frac{\pi} {6} \right)=2$$，则$$\operatorname{c o s} \left( \theta-\frac{\pi} {3} \right)=$$（）
B
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$- \frac{3} {5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$- \frac{4} {5}$$
4、['给值求值'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\mathrm{t a n} \alpha=\frac{3} {4}，$$则$${{c}{o}{s}^{2}{α}{+}{2}{{s}{i}{n}}{2}{α}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{6 4} {2 5}$$
B.$$\frac{4 8} {2 5}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1 6} {2 5}$$
5、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$${{t}{a}{n}{α}{=}{3}{，}}$$则$${\frac{3 \operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-2 \operatorname{c o s} \alpha}}={\it(}$$）
A
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{1}{0}}$$或$${{−}{{1}{0}}}$$
D.$${{4}}$$或$${{−}{4}}$$
6、['齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=-\frac{1} {3}，$$则$$\frac{1} {2 \operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{c o s}^{2} \alpha}=\ ($$）
A
A.$$\frac{1 0} {3}$$
B.$${{3}}$$
C.$$- \frac{1 0} {3}$$
D.$${{−}{3}}$$
7、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\mathrm{t a n} \alpha=\frac{1} {2}$$，则$${\frac{\mathrm{c o s} \alpha+\mathrm{s i n} \alpha} {\mathrm{c o s} \alpha-\mathrm{s i n} \alpha}}={\it(}$$$${）}$$．
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
8、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha}=3，$$则$${{t}{a}{n}{2}{α}{=}}$$
B
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$- \frac{4} {3}$$
C.$$- \frac2 3$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
9、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '正切函数的诱导公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} ( \pi-x )=\frac{\sqrt{7}} {3}，$$则$${{c}{o}{s}{2}{x}{=}{（}}$$）
D
A.$$- \frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$- \frac{1} {8}$$
D.$$\frac{1} {8}$$
10、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$${{t}{a}{n}{α}{=}{2}{，}}$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha}$$等于（）
D
A.$${{−}{3}}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$${{3}}$$
1. 由 $$3\sinα + \cosα = 0$$，得 $$\tanα = -\frac{1}{3}$$。将所求表达式化简：
$$\frac{1}{\cos^2α + \sin2α} = \frac{1}{\cos^2α + 2\sinα\cosα} = \frac{1}{\cos^2α(1 + 2\tanα)} = \frac{1 + \tan^2α}{1 + 2\tanα}$$
代入 $$\tanα = -\frac{1}{3}$$，得 $$\frac{1 + \frac{1}{9}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{10}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{10}{3}$$。答案为 A。
2. 由 $$\sinα + 2\cosα = 0$$，得 $$\tanα = -2$$。利用倍角公式：
$$\sin2α = 2\sinα\cosα = \frac{2\tanα}{1 + \tan^2α} = \frac{2 \times (-2)}{1 + 4} = -\frac{4}{5}$$。答案为 A。
3. 设 $$\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = x$$，则 $$\tan x = 2$$。利用余弦倍角公式：
$$\cos\left(θ - \frac{π}{3}\right) = \cos(2x) = \frac{1 - \tan^2x}{1 + \tan^2x} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$$。答案为 B。
4. 已知 $$\tanα = \frac{3}{4}$$，则：
$$\cos^2α + 2\sin2α = \cos^2α + 4\sinα\cosα = \cos^2α(1 + 4\tanα) = \frac{1}{1 + \tan^2α}(1 + 4\tanα)$$
代入得 $$\frac{1}{1 + \frac{9}{16}}\left(1 + 4 \times \frac{3}{4}\right) = \frac{16}{25} \times 4 = \frac{64}{25}$$。答案为 A。
5. 已知 $$\tanα = 3$$，将表达式化简：
$$\frac{3\sinα + \cosα}{\sinα - 2\cosα} = \frac{3\tanα + 1}{\tanα - 2} = \frac{9 + 1}{3 - 2} = 10$$。答案为 A。
6. 已知 $$\tanα = -\frac{1}{3}$$，化简表达式：
$$\frac{1}{2\sinα\cosα + \cos^2α} = \frac{1}{\cos^2α(2\tanα + 1)} = \frac{1 + \tan^2α}{2\tanα + 1}$$
代入得 $$\frac{1 + \frac{1}{9}}{-\frac{2}{3} + 1} = \frac{\frac{10}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{10}{3}$$。答案为 A。
7. 已知 $$\tanα = \frac{1}{2}$$，化简表达式：
$$\frac{\cosα + \sinα}{\cosα - \sinα} = \frac{1 + \tanα}{1 - \tanα} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 3$$。答案为 C。
8. 由 $$\frac{\sinα + \cosα}{\sinα - \cosα} = 3$$，得 $$\tanα = 2$$。利用倍角公式：
$$\tan2α = \frac{2\tanα}{1 - \tan^2α} = \frac{4}{1 - 4} = -\frac{4}{3}$$。答案为 B。
9. 由 $$\tan(π - x) = -\tan x = \frac{\sqrt{7}}{3}$$，得 $$\tan x = -\frac{\sqrt{7}}{3}$$。利用余弦倍角公式：
$$\cos2x = \frac{1 - \tan^2x}{1 + \tan^2x} = \frac{1 - \frac{7}{9}}{1 + \frac{7}{9}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{16}{9}} = \frac{1}{8}$$。答案为 D。
10. 已知 $$\tanα = 2$$，化简表达式：
$$\frac{\sinα + \cosα}{\sinα - \cosα} = \frac{\tanα + 1}{\tanα - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$$。答案为 D。