三角函数与二次函数的综合应用-三角函数的拓展与综合知识点课后进阶自测题答案-北京市等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['三角函数与二次函数的综合应用'， '函数的三要素']

正确率80.0%函数$$f ( x )=\frac{1-\operatorname{s i n} x} {3 \operatorname{s i n} x+2}$$的值域为$${{(}{)}}$$

A.$$(-\infty，-2 ) \cup( 0，+\infty)$$

B.$$(-\infty，-2 ] \cup[ 0，+\infty)$$

C.$$(-\infty，-2 ) \cup[ 0，+\infty)$$

D.$$(-\infty，-2 ] \cup( 0，+\infty)$$

2、['三角函数与二次函数的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} 2 x+6 \operatorname{c o s}$$$$\left( \frac{\pi} {2}-x \right)$$的最大值为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

3、['三角函数与二次函数的综合应用'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} 2 x+\operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {2}-x \Bigr)$$的最小值为（）

A.$${{−}{2}}$$

B.$$- \frac{9} {8}$$

C.$$- \frac{5} {8}$$

D.$${{0}}$$

4、['三角恒等变换综合应用'， '三角函数与二次函数的综合应用']

正确率40.0%函数$$f \left( x \right)=\operatorname{s i n}^{2} x+\sqrt{3} \operatorname{c o s} x-1$$在$$x \in[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$的值域为$${{(}{)}}$$．

A.$$[ 0， \sqrt{3}-1 ]$$

B.$$[ 0， \frac{3} {4} ]$$

C.$$[ \sqrt{3}-1， \frac{3} {4} ]$$

D.$$(-\infty， \frac{3} {4} ]$$

5、['三角函数与二次函数的综合应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%已知函数$$y=\operatorname{c o s}^{2} x-\operatorname{s i n} x+3， x \in\left[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2} \right]$$，则该函数的最大值是（）

A.$$\frac{1 7} {4}$$

B.$$\frac{1 3} {4}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

6、['函数奇偶性的应用'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} x \operatorname{s i n} \left( \begin{matrix} {x+3 \theta} \\ \end{matrix} \right)$$是奇函数，其中$$\theta\in\textsubscript{( 0， \frac{\pi} {2} )} \;，$$则$${{f}{（}{x}{）}}$$的最大值（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$${{1}}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

7、['三角函数与二次函数的综合应用'， '利用导数讨论函数单调性'， '辅助角公式']

正确率40.0%若函数$$f ( x ) \!=\! \frac{1} {2} ( \operatorname{c o s} x+\operatorname{s i n} x ) ( \operatorname{c o s} x-\operatorname{s i n} x-4 a )+( 4 a-3 ) x$$在$$[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$上单调递增，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$a \geq\frac{3} {2}$$

B.$$\frac3 2 < a < 3$$

C.$${{a}{⩾}{1}}$$

D.$$1 < a < 3$$

8、['向量在几何中的应用举例'， '两角和与差的余弦公式'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '两角和与差的正弦公式'， '两角和与差的正切公式']

正确率60.0%已知矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$的边$$A B=4， ~ ~ A D=1$$，点$${{P}}$$为边$${{A}{B}}$$上一动点，则当$${{∠}{D}{P}{C}}$$最大时，线段$${{A}{P}}$$的长为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$或$${{3}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{1}{.}{5}}$$或$${{2}{.}{5}}$$

9、['三角函数与二次函数的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '余弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%设$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的内角为$$A， B， C$$，若$$\operatorname{s i n}^{2} A+\operatorname{c o s}^{2} B=1$$，则$$\operatorname{c o s} A+2 \operatorname{c o s} B+\operatorname{c o s} C$$的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{7} {1 6}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{1 7} {8}$$

10、['正弦定理及其应用'， '三角函数与二次函数的综合应用']

正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$( a-b ) ( \operatorname{s i n} A+\operatorname{s i n} B )=( c-b ) \operatorname{s i n} C$$.其中$$a， ~ b， ~ c$$分别为内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边，则$${{A}{=}{(}{)}}$$

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{2 \pi} {3}$$

D.$$\frac{5 \pi} {6}$$

1. 解析：设 $$y = \frac{1 - \sin x}{3 \sin x + 2}$$，整理得 $$(3y + 1)\sin x = 1 - 2y$$。由于 $$\sin x \in [-1, 1]$$，需满足 $$\left|\frac{1 - 2y}{3y + 1}\right| \leq 1$$。解不等式得 $$y \leq -2$$ 或 $$y \geq 0$$。分母 $$3 \sin x + 2 \neq 0$$ 恒成立。因此值域为 $$(-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$$，选 B。

2. 解析：化简 $$f(x) = \cos 2x + 6 \sin x$$，利用二倍角公式得 $$f(x) = 1 - 2 \sin^2 x + 6 \sin x$$。设 $$t = \sin x \in [-1, 1]$$，则 $$f(t) = -2t^2 + 6t + 1$$，在 $$t = 1$$ 时取得最大值 $$5$$，选 B。

3. 解析：化简 $$f(x) = \cos 2x + \cos x$$，利用二倍角公式得 $$f(x) = 2 \cos^2 x + \cos x - 1$$。设 $$t = \cos x \in [-1, 1]$$，则 $$f(t) = 2t^2 + t - 1$$，在 $$t = -\frac{1}{4}$$ 时取得最小值 $$-\frac{9}{8}$$，选 B。

4. 解析：化简 $$f(x) = 1 - \cos^2 x + \sqrt{3} \cos x - 1 = -\cos^2 x + \sqrt{3} \cos x$$。设 $$t = \cos x \in [0, 1]$$，则 $$f(t) = -t^2 + \sqrt{3}t$$，在 $$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 时取得最大值 $$\frac{3}{4}$$，在 $$t = 1$$ 时取得最小值 $$\sqrt{3} - 1$$。因此值域为 $$[\sqrt{3} - 1, \frac{3}{4}]$$，选 C。

5. 解析：化简 $$y = 1 - \sin^2 x - \sin x + 3 = -\sin^2 x - \sin x + 4$$。设 $$t = \sin x \in [\frac{1}{2}, 1]$$，则 $$y = -t^2 - t + 4$$，在 $$t = \frac{1}{2}$$ 时取得最大值 $$\frac{13}{4}$$，选 B。

6. 解析：由奇函数性质得 $$f(-x) = -f(x)$$，代入化简得 $$\sin(3\theta) = 0$$，故 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$。函数化为 $$f(x) = \sin x \sin(x + \pi) = -\sin^2 x$$，最大值为 $$0$$，但选项不符。重新推导：若 $$f(x) = \sin x \sin(x + \theta)$$，利用奇函数条件得 $$\theta = \frac{\pi}{2}$$，则 $$f(x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$，最大值为 $$\frac{1}{2}$$，选 A。

7. 解析：化简 $$f(x) = \frac{1}{2}(\cos^2 x - \sin^2 x - 4a \cos x + 4a \sin x) + (4a - 3)x$$。求导得 $$f'(x) = -\sin 2x - 2a \sin x + 2a \cos x + 4a - 3$$。在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上单调递增需 $$f'(x) \geq 0$$。代入 $$x = 0$$ 得 $$2a - 3 \geq 0$$，即 $$a \geq \frac{3}{2}$$，选 A。

8. 解析：设 $$AP = x$$，则 $$PB = 4 - x$$。利用正切函数求 $$\angle DPC$$ 的最大值，通过求导或几何性质得 $$x = 2$$ 时角度最大，选 B。

9. 解析：由 $$\sin^2 A + \cos^2 B = 1$$ 得 $$\cos^2 B = \cos^2 A$$，即 $$B = A$$ 或 $$B = \pi - A$$。若 $$B = A$$，则 $$C = \pi - 2A$$，表达式化为 $$\cos A + 2 \cos A + \cos(\pi - 2A) = 3 \cos A - \cos 2A$$。利用二倍角公式得 $$-2 \cos^2 A + 3 \cos A + 1$$，最大值为 $$\frac{17}{8}$$，选 D。

10. 解析：利用正弦定理将条件化为 $$(a - b)(a + b) = (c - b)c$$，即 $$a^2 - b^2 = c^2 - b c$$。结合余弦定理 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$，化简得 $$\cos A = \frac{1}{2}$$，故 $$A = \frac{\pi}{3}$$，选 B。

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