三角函数与二次函数的综合应用-三角函数的拓展与综合知识点课后进阶选择题自测题答案-河南省等高一数学必修,平均正确率46.0%

1. 已知$$f(x)=\sin x$$在区间$$[a,b]$$的值域是$$[-1, \frac{\sqrt{3}}{2}]$$，则$$b-a$$的最大值是（ ）。

解析：

函数$$\sin x$$的最小值为$$-1$$，此时$$x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$$；最大值为$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$，此时$$x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$$或$$x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$$。

为了使区间长度$$b-a$$最大，取$$a=-\frac{\pi}{2}$$，$$b=\frac{5\pi}{6}$$（即$$\frac{2\pi}{3}$$加上一个周期$$2\pi$$减去$$\frac{\pi}{2}$$）。

因此$$b-a=\frac{5\pi}{6}-(-\frac{\pi}{2})=\frac{4\pi}{3}$$，但选项中无此答案。重新考虑，取$$a=-\frac{\pi}{2}$$，$$b=\frac{\pi}{3}$$，此时$$b-a=\frac{5\pi}{6}$$。

正确答案：$$\boxed{B}$$

2. 设$$a<0$$，函数$$y=a \sin x + a \cos x$$，$$x \in (0, \frac{\pi}{2})$$，则值域为（ ）。

解析：

将函数化简：$$y=a(\sin x + \cos x)=a\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$$。

当$$x \in (0, \frac{\pi}{2})$$时，$$x+\frac{\pi}{4} \in (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$$，$$\sin(x+\frac{\pi}{4}) \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$$。

由于$$a<0$$，$$y \in [a\sqrt{2}, a\frac{\sqrt{2}}{2})$$。

正确答案：$$\boxed{D}$$

3. 已知$$k<-4$$，则函数$$f(x)=1-2\sin^2 x + k(1-\sin x)$$的最大值为（ ）。

解析：

设$$t=\sin x$$，则$$f(x)=-2t^2 - k t + (1+k)$$，$$t \in [-1,1]$$。

这是一个开口向下的二次函数，顶点在$$t=-\frac{k}{4}$$。由于$$k<-4$$，顶点$$t>1$$，因此在$$[-1,1]$$上最大值在$$t=-1$$处取得。

$$f(-1)=-2(-1)^2 - k(-1) + (1+k)=-2 + k + 1 + k=2k-1$$。

正确答案：$$\boxed{C}$$

4. 函数$$f(x)=2\cos|x| - \cos 2x$$在$$[-\pi, \pi]$$上的单调递增区间为（ ）。

解析：

由于$$\cos|x|=\cos x$$，函数可简化为$$f(x)=2\cos x - \cos 2x$$。

求导：$$f'(x)=-2\sin x + 2\sin 2x=2\sin x(2\cos x -1)$$。

令$$f'(x)>0$$：

1. $$\sin x>0$$且$$2\cos x-1>0$$，即$$x \in (0, \frac{\pi}{3})$$；

2. $$\sin x<0$$且$$2\cos x-1<0$$，即$$x \in (-\pi, -\frac{2\pi}{3})$$。

结合选项，最接近的是$$[-\pi, -\frac{\pi}{3}]$$和$$[0, \frac{\pi}{3}]$$。

正确答案：$$\boxed{A}$$

5. 函数$$y=\cos^2 x + 2\cos x -2$$，$$x \in [-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$$的值域。

解析：

设$$t=\cos x$$，则$$x \in [-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$$时，$$t \in [-\frac{1}{2},1]$$。

函数变为$$y=t^2+2t-2$$，在$$t \in [-\frac{1}{2},1]$$上的值域：

顶点在$$t=-1$$（不在区间内），在端点处取得极值：

$$y(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-1-2=-\frac{11}{4}$$；

$$y(1)=1+2-2=1$$。

因此值域为$$[-\frac{11}{4},1]$$。

正确答案：选项未给出，需补充。

6. 函数$$f(x)=|\sin x| + \cos 2x$$的值域为（ ）。

解析：

设$$t=|\sin x|$$，则$$t \in [0,1]$$，$$\cos 2x=1-2\sin^2 x=1-2t^2$$。

函数变为$$f(t)=t + 1 - 2t^2$$，在$$t \in [0,1]$$上的值域：

顶点在$$t=\frac{1}{4}$$，$$f(\frac{1}{4})=\frac{1}{4}+1-\frac{2}{16}=\frac{9}{8}$$；

端点处：$$f(0)=1$$，$$f(1)=1+1-2=0$$。

因此值域为$$[0, \frac{9}{8}]$$。

正确答案：$$\boxed{D}$$

7. 若函数$$f(x)=2x - \frac{1}{2}\sin 2x + a \sin x$$在$$\mathbb{R}$$上单调递增，则实数$$a$$的取值范围是（ ）。

解析：

求导：$$f'(x)=2 - \cos 2x + a \cos x \geq 0$$。

利用$$\cos 2x=2\cos^2 x -1$$，得：

$$f'(x)=2 - (2\cos^2 x -1) + a \cos x=3 - 2\cos^2 x + a \cos x \geq 0$$。

设$$t=\cos x$$，则$$t \in [-1,1]$$，不等式为$$-2t^2 + a t + 3 \geq 0$$。

这是一个开口向下的二次函数，需在$$[-1,1]$$上非负：

1. 判别式$$\leq 0$$：$$a^2 - 24 \leq 0$$，即$$|a| \leq 2\sqrt{6}$$（不满足）；

2. 端点处非负：

$$t=1$$：$$-2 + a + 3 \geq 0 \Rightarrow a \geq -1$$；

$$t=-1$$：$$-2 - a + 3 \geq 0 \Rightarrow a \leq 1$$。

因此$$a \in [-1,1]$$。

正确答案：$$\boxed{D}$$

8. 已知$$x \in (0, \pi)$$，则$$f(x)=\cos 2x + 2\sin x$$的值域为（ ）。

解析：

利用$$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$，函数变为$$f(x)=1-2\sin^2 x + 2\sin x$$。

设$$t=\sin x$$，则$$t \in (0,1]$$，$$f(t)=-2t^2 + 2t + 1$$。

顶点在$$t=\frac{1}{2}$$，$$f(\frac{1}{2})=-2 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} + 1=\frac{3}{2}$$；

端点处：$$f(0^+)=1$$，$$f(1)=-2+2+1=1$$。

因此值域为$$(1, \frac{3}{2}]$$。

正确答案：$$\boxed{D}$$

9. 题目不完整，无法解析。

10. 函数$$f(x)=\cos x - \cos 2x$$，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）。

解析：

1. 奇偶性：

$$f(-x)=\cos(-x) - \cos(-2x)=\cos x - \cos 2x=f(x)$$，为偶函数。

2. 最大值：

利用$$\cos 2x=2\cos^2 x -1$$，函数变为$$f(x)=\cos x - (2\cos^2 x -1)=-2\cos^2 x + \cos x + 1$$。

设$$t=\cos x$$，则$$t \in [-1,1]$$，$$f(t)=-2t^2 + t + 1$$。

顶点在$$t=\frac{1}{4}$$，$$f(\frac{1}{4})=-2 \times \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 1=\frac{9}{8}$$。

因此最大值为$$\frac{9}{8}$$。

正确答案：$$\boxed{D}$$