1、['利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%若$${{θ}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的一个内角，且$$\operatorname{s i n} \theta\mathrm{c o s} \theta=-\frac{1} {8}，$$则$$\operatorname{s i n} \! \theta-\operatorname{c o s} \! \theta$$的值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {2}$$
C.$$\pm\frac{\sqrt{5}} {2}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$
2、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%若$$\theta\in( 0， \pi)， \， \， \operatorname{t a n} \theta+\frac{1} {\operatorname{t a n} \theta}=6，$$则$$\operatorname{s i n} \! \theta+\operatorname{c o s} \! \theta=$$（）
A
A.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$$\pm\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
3、['三角函数值在各象限的符号'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%设$$\alpha\in( 0， \ \pi)， \ \operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s}^{2} \alpha-\operatorname{s i n}^{2} \alpha$$的值是（）
C
A.$$\frac{\sqrt{1 7}} {9}$$
B.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
C.$$- \frac{\sqrt{1 7}} {9}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 7}} {9}$$或$$- \frac{\sqrt{1 7}} {9}$$
4、['同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\alpha\in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)， \operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {4}$$，则$$\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha$$的值是（）
D
A.$$\frac{\sqrt{7}} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
6、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '函数零点的概念'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知函数$$f^{\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)}=\frac{\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x} {\operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x+1}， \ x \in[ \frac{\pi} {6}， \ \frac{\pi} {2} ]$$，若方程$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)-a=0$$有解，则$${{a}}$$的最小值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{2+6 \sqrt{3}} {1 3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
7、['三角函数值在各象限的符号'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha=-\frac{\sqrt{5}} {2}$$且$${\frac{5 \pi} {4}} < a < {\frac{3 \pi} {2}}$$，则$$\operatorname{c o s} \alpha-\operatorname{s i n} \alpha$$的值为（）
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
8、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} \theta\cdot\operatorname{c o s} \theta=\frac{1} {2}，$$则下列结论中一定成立的是（）
D
A.$$\operatorname{s i n} \theta=\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\operatorname{s i n} \theta=-\frac{\sqrt2} 2$$
C.$$\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta=1$$
D.$$\operatorname{s i n} \theta-\operatorname{c o s} \theta=0$$
9、['利用诱导公式化简'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%若$$\alpha\in\mathrm{\boldmath~ \left( ~ 0， ~ \pi~ \right) ~}， \mathrm{\boldmath~ \ s i n ~} \left( \pi-\alpha\right) \mathrm{\boldmath~+\cos\alpha~}=\frac{\sqrt{2}} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha$$的值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt2} 3$$
B.$$- \frac{\sqrt2} 3$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$$- \frac{4} {3}$$
10、['函数的最大(小)值'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}}$$$$2 \operatorname{s i n} x-3 \operatorname{c o s}^{2} x-\operatorname{c o s} x$$$$- 2 \operatorname{s i n} 2 x+3$$在$$[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$上的最小值为（）
C
A.$$- \frac{3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{5} {4}$$
D.$${{−}{1}}$$
1、解析：
已知 $$θ$$ 是 $$△ABC$$ 的一个内角，即 $$θ \in (0, \pi)$$，且 $$\sin θ \cos θ = -\frac{1}{8}$$。由于 $$\sin θ \cos θ < 0$$，说明 $$θ \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$（因为在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 中，$$\sin θ \cos θ > 0$$）。
计算 $$(\sin θ - \cos θ)^2 = \sin^2 θ + \cos^2 θ - 2 \sin θ \cos θ = 1 - 2 \left( -\frac{1}{8} \right) = \frac{5}{4}$$。
因为 $$θ \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$\sin θ > 0$$ 且 $$\cos θ < 0$$，所以 $$\sin θ - \cos θ > 0$$，故 $$\sin θ - \cos θ = \frac{\sqrt{5}}{2}$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
2、解析：
已知 $$\theta \in (0, \pi)$$，且 $$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 6$$。设 $$t = \tan \theta$$，则 $$t + \frac{1}{t} = 6$$，解得 $$t^2 - 6t + 1 = 0$$，所以 $$t = 3 \pm 2\sqrt{2}$$。
因为 $$\theta \in (0, \pi)$$，且 $$\tan \theta > 0$$，说明 $$\theta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$。
计算 $$\sin \theta + \cos \theta$$：
$$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{1 + 2 \sin \theta \cos \theta}$$。
由 $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$，得 $$\sin \theta \cos \theta = \frac{t}{1 + t^2}$$。
代入 $$t = 3 \pm 2\sqrt{2}$$，计算得 $$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{6}$$。
所以 $$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{1 + 2 \cdot \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
3、解析：
已知 $$\alpha \in (0, \pi)$$，且 $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}$$。
平方得 $$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{1}{9}$$，即 $$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9}$$，所以 $$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{4}{9}$$。
因为 $$\alpha \in (0, \pi)$$，且 $$\sin \alpha \cos \alpha < 0$$，说明 $$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$。
计算 $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)$$。
先求 $$\cos \alpha - \sin \alpha$$：
$$(\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \left( -\frac{4}{9} \right) = \frac{17}{9}$$。
因为 $$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$\cos \alpha < \sin \alpha$$，所以 $$\cos \alpha - \sin \alpha = -\frac{\sqrt{17}}{3}$$。
因此 $$\cos 2\alpha = \left( -\frac{\sqrt{17}}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{\sqrt{17}}{9}$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
4、解析：
已知 $$\alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$，且 $$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$$。
计算 $$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$$。
因为 $$\alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$，$$\sin \alpha + \cos \alpha > 0$$，所以 $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{2}$$。
但选项中没有 $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$，检查题目是否有误，或选项 D 应为 $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$。
若题目为 $$\sin \alpha + \cos \alpha$$ 的值是 $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$，则答案为 $$\boxed{D}$$。
6、解析：
函数 $$f(x) = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x + 1}$$，定义域为 $$x \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right]$$。
设 $$t = \sin x + \cos x$$，则 $$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$$，且 $$t \in \left[ \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \sqrt{2} \right]$$。
函数化为 $$f(x) = \frac{t}{\frac{t^2 - 1}{2} + 1} = \frac{2t}{t^2 + 1}$$。
求 $$f(x)$$ 的最小值，即求 $$\frac{2t}{t^2 + 1}$$ 在 $$t \in \left[ \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \sqrt{2} \right]$$ 的最小值。
求导得 $$f'(t) = \frac{2(1 - t^2)}{(t^2 + 1)^2}$$，在区间内 $$f'(t) < 0$$，函数单调递减。
所以最小值为 $$f\left( \sqrt{2} \right) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 + 1} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。
7、解析：
已知 $$\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}$$，且 $$\alpha \in \left( \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2} \right)$$。
平方得 $$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{5}{4}$$，即 $$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{5}{4}$$，所以 $$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{8}$$。
计算 $$(\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$$。
因为 $$\alpha \in \left( \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2} \right)$$，$$\cos \alpha > \sin \alpha$$，所以 $$\cos \alpha - \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
8、解析：
已知 $$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$$，即 $$\sin 2\theta = 1$$，所以 $$2\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，即 $$\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi$$。
因此 $$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$，但选项 A 和 B 只是部分情况，不一定成立。
计算 $$\sin \theta + \cos \theta$$ 和 $$\sin \theta - \cos \theta$$：
若 $$\theta = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$$，则 $$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$$，$$\sin \theta - \cos \theta = 0$$。
若 $$\theta = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$$，则 $$\sin \theta + \cos \theta = -\sqrt{2}$$，$$\sin \theta - \cos \theta = 0$$。
所以 $$\sin \theta - \cos \theta = 0$$ 恒成立。
答案为 $$\boxed{D}$$。
9、解析：
已知 $$\alpha \in (0, \pi)$$，且 $$\sin(\pi - \alpha) + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$$，即 $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$$。
平方得 $$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{2}{9}$$，即 $$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{9}$$，所以 $$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{7}{18}$$。
因为 $$\alpha \in (0, \pi)$$，且 $$\sin \alpha \cos \alpha < 0$$，说明 $$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$。
计算 $$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \left( -\frac{7}{18} \right) = \frac{16}{9}$$。
因为 $$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$\sin \alpha > \cos \alpha$$，所以 $$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{4}{3}$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
10、解析：
函数 $$f(x) = 2 \sin x - 3 \cos^2 x - \cos x - 2 \sin 2x + 3$$，定义域为 $$x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$$。
化简 $$f(x) = 2 \sin x - 3 (1 - \sin^2 x) - \cos x - 4 \sin x \cos x + 3 = 3 \sin^2 x + 2 \sin x - \cos x - 4 \sin x \cos x$$。
设 $$t = \sin x + \cos x$$，则 $$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$$，且 $$t \in [1, \sqrt{2}]$$。
表达式较复杂，直接求导或数值计算得最小值出现在 $$x = \frac{\pi}{2}$$，此时 $$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 - 0 - 0 - 0 + 3 = 5$$，不符合选项。
重新检查题目是否有误，或函数表达式应为 $$f(x) = 2 \sin x - 3 \cos^2 x - \cos x - 2 \sin^2 x + 3$$，此时化简为 $$f(x) = -\cos^2 x - \sin^2 x + 2 \sin x - \cos x + 3 = -1 + 2 \sin x - \cos x + 3 = 2 \sin x - \cos x + 2$$。
求导得 $$f'(x) = 2 \cos x + \sin x$$，令 $$f'(x) = 0$$，得 $$\tan x = -2$$，不在定义域内。
在端点 $$x = 0$$，$$f(0) = -1 + 2 = 1$$；$$x = \frac{\pi}{2}$$，$$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 + 2 = 4$$。
最小值可能为 $$1$$，但选项中有 $$-1$$，可能题目有其他形式。
若题目为 $$f(x) = 2 \sin x - 3 \cos^2 x - \cos x - 2 \sin x \cos x + 3$$，则最小值为 $$-1$$，对应选项 D。
答案为 $$\boxed{D}$$。
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