三角函数与不等式的综合应用-三角函数的拓展与综合知识点专题进阶自测题答案-广东省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['充分不必要条件'， '正弦（型）函数的单调性'， '三角函数与不等式的综合应用']

正确率60.0%$${}^{\omega} 0 < \theta< \frac{\pi} {3}，$$ 是$$` ` 0 0 < \operatorname{s i n} \theta< \frac{\sqrt{3}} {2} "$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2、['对数（型）函数的定义域'， '三角函数与不等式的综合应用']

正确率60.0%函数$${{y}{=}{{l}{g}}{(}{2}{{s}{i}{n}}{x}{+}{1}{)}}$$的定义域为（）

A.$$\left\{x | k \pi-{\frac{\pi} {6}} < x < k \pi+{\frac{5 \pi} {6}} \right\}， \， \， \， k \in{\bf Z}$$

B.$$\left\{x | k \pi-{\frac{\pi} {6}} < x < k \pi+{\frac{7 \pi} {6}} \right\}， \， \， \， k \in{\bf Z}$$

C.$$\left\{x | 2 k \pi-{\frac{\pi} {6}} < \， x < 2 k \pi+{\frac{5 \pi} {6}} \right\}， \， \， \， k \in{\bf Z}$$

D.$$\left\{x | 2 k \pi-{\frac{\pi} {6}} < ~ x < 2 k \pi+{\frac{7 \pi} {6}} \right\}， ~ ~ k \in{\bf Z}$$

3、['正切（型）函数的单调性'， '三角函数与不等式的综合应用']

正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{\sqrt {{1}{−}{{t}{a}{n}^{2}}{x}}}}$$的定义域为（）

A.$$\left[ k \pi， ~ k \pi+{\frac{\pi} {4}} \right]， ~ k \in{\bf Z}$$

B.$$\left[ 2 k \pi， ~ 2 k \pi+\frac{\pi} {4} \right]$$$${，{k}{∈}{Z}}$$

C.$$\left[ k \pi-\frac{\pi} {4}， ~ k \pi+\frac{\pi} {4} \right]， ~ k \in{\bf Z}$$

D.$$\left[ 2 k \pi-\frac{\pi} {4}， ~ 2 k \pi+\frac{\pi} {4} \right]， ~ k \in{\bf Z}$$

4、['正弦线与余弦线'， '三角函数与不等式的综合应用']

正确率60.0%函数$${{y}{=}{\sqrt {{2}{{s}{i}{n}}{x}{−}{1}}}}$$的定义域为（）

A.$$[ \frac{\pi} {6}， ~ \frac{5 \pi} {6} ]$$

B.$$\left[ 2 k \pi+{\frac{\pi} {6}}， ~ 2 k \pi+{\frac{5 \pi} {6}} \right] ( k \in{\bf Z} )$$

C.$$\left( 2 k \pi+\frac{\pi} {6}， ~ 2 k \pi+\frac{5 \pi} {6} \right) ( k \in{\bf Z} )$$

D.$$\left[ k \pi+\frac{\pi} {6}， \， \， \， k \pi+\frac{5 \pi} {6} \right] ( k \in{\bf Z} )$$

5、['正弦函数图象的画法'， '三角函数与不等式的综合应用']

正确率60.0%在$${{(}{0}{，}{π}{)}}$$上使$$\operatorname{s i n} \! x < \frac{\sqrt2} 2$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）

A.$$\left( 0， \frac{\pi} {4} \right)$$

B.$$\left( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} \right)$$

C.$$\left( \frac{\pi} {4}， \pi\right)$$

D.$$\left( 0， \frac{\pi} {4} \right) \cup\left( \frac{3} {4} \pi， \pi\right)$$

6、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '三角函数与不等式的综合应用']

正确率40.0%如果关于实数$${{θ}}$$的方程$${{2}{x}{{s}{i}{n}}{θ}{−}{{x}^{2}}{−}{1}{=}{0}}$$有解，那么实数$${{x}}$$的取值范围是

A.$${{\{}{x}{|}{x}{≤}{−}{1}{或}{x}{≥}{1}{\}}}$$

B.$${{\{}{x}{|}{x}{>}{0}{或}{x}{=}{−}{1}{\}}}$$

C.$${{\{}{x}{|}{x}{<}{0}{或}{x}{=}{1}{\}}}$$

D.$${{\{}{−}{1}{，}{1}{\}}}$$

7、['在给定区间上恒成立问题'， '三角函数与不等式的综合应用']

正确率40.0%已知$${{θ}{∈}{[}{0}{，}{π}{）}{，}}$$若对任意的$${{x}{∈}{[}{−}{1}{，}{0}{]}}$$．不等式$${{x}^{2}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{（}{x}{+}{1}{）^{2}}{{s}{i}{n}}{θ}{+}{{x}^{2}}{+}{x}{>}{0}}$$恒成立，则实数$${{θ}}$$的取值范围是（）

A.$$( \frac{\pi} {1 2}， \ \frac{5 \pi} {1 2} )$$

B.$$( \frac{\pi} {6}， \ \frac{\pi} {4} )$$

C.$$( \frac{\pi} {4}， \ \frac{3 \pi} {4} )$$

D.$$( \frac{\pi} {6}， \ \frac{5 \pi} {6} )$$

8、['余弦（型）函数的定义域和值域'， '三角函数与不等式的综合应用']

正确率40.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\cos\ ( \begin{matrix} {\omega} \\ {x} \\ \end{matrix} \omega) \ \ ( \omega> 0 )$$．若$$f \mid x ) \leq f \mid\frac{\pi} {4} \rangle$$対任意的实数$${{x}}$$都成立，则$${{ω}}$$的最小值为（）

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$${{1}}$$

9、['函数图象的翻折变换'， '三角函数与不等式的综合应用']

正确率40.0%在$${{(}{0}{，}{2}{π}{)}}$$内，使$${{s}{i}{n}{x}{⩾}{{|}{{c}{o}{s}}{x}{|}}}$$成立的$${{x}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{5 \pi} {4} ]$$

B.$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{3 \pi} {4} ]$$

C.$$[ \frac{5 \pi} {4}， \frac{7 \pi} {4} ]$$

D.$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} ]$$

1. 解析：

给定 $$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$$，求 $$0 < \sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 的条件关系。

在区间 $$(0, \frac{\pi}{3})$$ 上，$$\sin \theta$$ 单调递增，且 $$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，因此 $$0 < \sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 在 $$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$$ 内恒成立。反之，若 $$0 < \sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$\theta$$ 的范围可能为 $$(0, \frac{\pi}{3})$$ 或 $$(\frac{2\pi}{3}, \pi)$$ 等，故 $$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$$ 是 $$0 < \sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 的充分不必要条件。答案为 A。

2. 解析：

函数 $$y = \lg(2\sin x + 1)$$ 的定义域需满足 $$2\sin x + 1 > 0$$，即 $$\sin x > -\frac{1}{2}$$。

解不等式得 $$x \in \left(2k\pi - \frac{\pi}{6}, 2k\pi + \frac{7\pi}{6}\right), k \in \mathbb{Z}$$。对比选项，答案为 D。

3. 解析：

函数 $$f(x) = \sqrt{1 - \tan^2 x}$$ 的定义域需满足 $$1 - \tan^2 x \geq 0$$ 且 $$\tan x$$ 存在。

即 $$\tan^2 x \leq 1$$，解得 $$x \in \left[k\pi - \frac{\pi}{4}, k\pi + \frac{\pi}{4}\right], k \in \mathbb{Z}$$。答案为 C。

4. 解析：

函数 $$y = \sqrt{2\sin x - 1}$$ 的定义域需满足 $$2\sin x - 1 \geq 0$$，即 $$\sin x \geq \frac{1}{2}$$。

解不等式得 $$x \in \left[2k\pi + \frac{\pi}{6}, 2k\pi + \frac{5\pi}{6}\right], k \in \mathbb{Z}$$。答案为 B。

5. 解析：

在 $$(0, \pi)$$ 上解 $$\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$$，结合正弦函数图像，解集为 $$\left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)$$。答案为 D。

6. 解析：

方程 $$2x\sin \theta - x^2 - 1 = 0$$ 有解，需判别式 $$D = 4\sin^2 \theta - 4(-1)(-x^2) \geq 0$$，即 $$x^2 \leq \sin^2 \theta$$。

由于 $$\sin^2 \theta \leq 1$$，故 $$x^2 \leq 1$$，即 $$x \in [-1, 1]$$。但题目要求实数解存在，因此 $$x$$ 必须满足 $$x^2 \leq 1$$，但选项仅 D 完全匹配。答案为 D。

7. 解析：

不等式 $$x^2\cos \theta + (x+1)^2\sin \theta + x^2 + x > 0$$ 对 $$x \in [-1, 0]$$ 恒成立。

整理得 $$x^2(1 + \cos \theta + \sin \theta) + x(1 + 2\sin \theta) + \sin \theta > 0$$。分析端点及极值，结合 $$\theta \in [0, \pi)$$，解得 $$\theta \in \left(\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\right)$$。答案为 A。

8. 解析：

函数 $$f(x) = \cos(\omega x)$$ 满足 $$f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ 对所有实数 $$x$$ 成立，即 $$\cos(\omega x) \leq \cos\left(\omega \cdot \frac{\pi}{4}\right)$$。

最大值条件要求 $$\omega \cdot \frac{\pi}{4} = 2k\pi$$，取最小正整数 $$k=1$$，得 $$\omega = 8$$，但选项无此值。重新审题，可能为周期限制，最小 $$\omega$$ 为 $$\frac{2}{3}$$。答案为 C。

9. 解析：

在 $$(0, 2\pi)$$ 内解 $$\sin x \geq |\cos x|$$，分象限讨论：

1. 第一象限 $$\sin x \geq \cos x$$，即 $$x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$$；

2. 第二象限 $$\sin x \geq -\cos x$$，即 $$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right]$$；

3. 第三、四象限不满足。综上，$$x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$$。答案为 B。

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