三角函数的性质综合-三角函数的拓展与综合知识点考前进阶单选题自测题答案-北京市等高一数学必修,平均正确率54.0%

正确率40.0%若$$f ( x )=2 | \operatorname{s i n} x | \operatorname{c o s} x$$​，则下列结论正确的是（）

B

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像关于直线$$x=\frac{\pi} {4}$$​对称

B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像关于点$$\left( \frac{\pi} {2}， 0 \right)$$​对称

C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{π}}$$

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$\left(-\frac{\pi} {4}， \， \， \frac{\pi} {4} \right)$$​上单调递增

正确率60.0%$$\frac{\operatorname{s i n} 6 5^{\circ}-\operatorname{s i n} 3 5^{\circ} \operatorname{c o s} 3 0^{\circ}} {\operatorname{c o s} 3 5^{\circ}}=\ ($$）

C

A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

正确率40.0%对于函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x-\frac{1} {\operatorname{s i n} x}$$，下列说法错误的是（）

C

A.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在定义域上的零点个数为偶数

B.直线$$x=\frac{\pi} {2}$$为函数$${{f}{（}{x}{）}}$$图象的一条对称轴

C.$$f (-\frac{5} {3} \pi) < f ( \frac{1 1} {4} \pi)$$

D.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$(-\frac{\pi} {2}+2 k \pi， \ 2 k \pi) ( k \in z )$$上递增

正确率60.0%给出下列三个等式：$$f ( x y )=f ( x )+f ( y )$$，$$f ( x+y )=f ( x ) f ( y )$$，$$f ( x+y )=\frac{f ( x )+f ( y )} {1-f ( x ) f ( y )}$$​​​．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）

B

A.$$f ( x )=3^{x}$$​

B.$$f ( x )=\operatorname{s i n} x$$​

C.$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} x$$​

D.$$f ( x )=\operatorname{t a n} x$$​

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$\frac{1} {\operatorname{t a n} A}， ~ \frac{1} {\operatorname{t a n} B}， ~ \frac{1} {\operatorname{t a n} C}$$依次成等差数列，则（）

C

A.$$a， ~ b， ~ c$$依次成等差数列

B.$$\sqrt{a}， ~ \sqrt{b}， ~ \sqrt{c}$$依次成等差数列

C.$$a^{2} \，， \， \， b^{2} \，， \， \， c^{2}$$依次成等差数列

D.$$a^{3} \，， \， \， b^{3} \，， \， \， c^{3}$$依次成等差数列

正确率60.0%关于函数$$f ( x )=| \mathrm{c o s} x |+\mathrm{c o s} | 2 x |$$有下列四个结论：$$\Dot{\oplus} f ( x )$$是偶函数；$${②{π}}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期；$$\odot f ( x )$$在$$[ \frac{3} {4} \pi， \frac{5} {4} \pi]$$上单调递增；$$\Dot{o} f ( x )$$的值域为$$[-2， 2 ]$$.上述结论中，正确的个数为（）

B

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率40.0%关于函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {3} )$$的图象或性质的说法中，正确的个数为
$${①}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$(-\frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {6} )$$上单调递增；
$${②}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于点$$( \frac{5 \pi} {3}， 0 )$$对称：
$${③}$$将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位所得图象的函数为$$y=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{2 \pi} {3} )$$；
$${④}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$$x=-\frac{\pi} {6}$$对称．

A

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率60.0%函数$$y=\sqrt{\operatorname{s i n} ( x-\frac{\pi} {4} )}$$的定义域为（）

C

A.$$[ \frac{\pi} {4} \，， \， \， \，+\infty)$$

B.$$[ \frac{\pi} {4}， \ \frac{5 \pi} {4} ]$$

C.$$\{x | 2 k \pi+\frac{\pi} {4} \leqslant x \leqslant2 k \pi+\frac{5 \pi} {4}， k \in Z \}$$

D.$$\{x | k \pi+\frac{\pi} {4} \leqslant x \leqslant k \pi+\frac{5 \pi} {4}， k \in Z \}$$

正确率40.0%已知函数，$$f ( x )=| \operatorname{s i n} x | \cdot\operatorname{c o s} x$$，则下列说法正确的是

D

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {2}$$对称

B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的周期为$${{π}}$$

C.若$$| f ( x_{1} ) |=| f ( x_{2} ) |$$，则$$x_{1}=x_{2}+2 k \pi( k \in Z )$$

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{3 \pi} {4} ]$$上单调递减

函数 $$f(x) = 2|\sin x| \cos x$$ 可以化简为： - 当 $$\sin x \geq 0$$ 时，$$f(x) = 2\sin x \cos x = \sin 2x$$； - 当 $$\sin x < 0$$ 时，$$f(x) = -2\sin x \cos x = -\sin 2x$$。

逐项分析选项： - **A**：检查对称性 $$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$，但 $$f\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$，不满足对称性，错误。 - **B**：检查关于点 $$\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$$ 的对称性，$$f\left(\frac{\pi}{2} + h\right) = -f\left(\frac{\pi}{2} - h\right)$$，正确。 - **C**：周期为 $$\pi$$，但最小正周期应为 $$\pi$$（结合绝对值性质），正确。 - **D**：在 $$\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$$ 上，$$f(x) = \sin 2x$$，单调递增，正确。

正确答案为 **B、C、D**。

分子部分： $$\sin 65^\circ - \sin 35^\circ \cos 30^\circ = \sin (35^\circ + 30^\circ) - \sin 35^\circ \cos 30^\circ = \sin 35^\circ \cos 30^\circ + \cos 35^\circ \sin 30^\circ - \sin 35^\circ \cos 30^\circ = \cos 35^\circ \sin 30^\circ$$

因此，原式化简为： $$\frac{\cos 35^\circ \sin 30^\circ}{\cos 35^\circ} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$

正确答案为 **C**。

函数 $$f(x) = \sin x - \frac{1}{\sin x}$$ 定义域为 $$\sin x \neq 0$$。

逐项分析选项： - **A**：零点满足 $$\sin^2 x = 1$$，即 $$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，个数为无限但对称，正确。 - **B**：检查 $$f\left(\frac{\pi}{2} + h\right) = f\left(\frac{\pi}{2} - h\right)$$，对称轴成立，正确。 - **C**：计算 $$f\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \sin \left(-\frac{5\pi}{3}\right) - \frac{1}{\sin \left(-\frac{5\pi}{3}\right)} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} < 0$$，而 $$f\left(\frac{11\pi}{4}\right) = \sin \left(\frac{11\pi}{4}\right) - \frac{1}{\sin \left(\frac{11\pi}{4}\right)} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} > 0$$，不等式成立，正确。 - **D**：在区间 $$(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, 2k\pi)$$ 上，$$\sin x$$ 为负且递减，$$f(x)$$ 递减，选项描述为递增，错误。

正确答案为 **D**。

逐项分析函数是否满足给定等式： - **A**：$$f(x) = 3^x$$ 满足 $$f(x+y) = f(x)f(y)$$。 - **B**：$$f(x) = \sin x$$ 不满足任何给定等式。 - **C**：$$f(x) = \log_2 x$$ 满足 $$f(xy) = f(x) + f(y)$$。 - **D**：$$f(x) = \tan x$$ 满足 $$f(x+y) = \frac{f(x) + f(y)}{1 - f(x)f(y)}$$。

正确答案为 **B**。

由题意，$$\frac{1}{\tan A}, \frac{1}{\tan B}, \frac{1}{\tan C}$$ 成等差数列，即 $$\frac{2}{\tan B} = \frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C}$$。

化简得： $$\frac{2\cos B}{\sin B} = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{\sin C \cos A + \sin A \cos C}{\sin A \sin C} = \frac{\sin (A+C)}{\sin A \sin C} = \frac{\sin B}{\sin A \sin C}$$

因此： $$2\cos B \sin A \sin C = \sin^2 B$$

结合正弦定理和余弦定理，可推导出 $$a^2, b^2, c^2$$ 成等差数列。

正确答案为 **C**。

函数 $$f(x) = |\cos x| + \cos |2x|$$ 分析： - **①**：$$f(-x) = f(x)$$，偶函数正确。 - **②**：周期为 $$\pi$$，但最小正周期为 $$\pi$$，正确。 - **③**：在 $$\left[\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$$ 上，$$\cos x \leq 0$$，$$f(x) = -\cos x + \cos 2x$$，求导可证单调递增，正确。 - **④**：值域为 $$[-1, 2]$$，错误。

正确答案为 **C**（①、②、③正确）。

函数 $$f(x) = \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$$ 分析： - **①**：$$2x - \frac{\pi}{3} \in \left(-\pi, 0\right)$$ 时，$$f(x)$$ 递增，区间 $$(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$$ 满足，正确。 - **②**：检查 $$f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{10\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin (3\pi) = 0$$，对称点成立，正确。 - **③**：平移后函数为 $$\sin \left(2(x - \frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(2x - \pi\right)$$，错误。 - **④**：$$f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(-\frac{2\pi}{3}\right)$$，非极值点，错误。

正确答案为 **B**（①、②正确）。

函数 $$y = \sqrt{\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)}$$ 定义域需满足 $$\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) \geq 0$$。

解得： $$x - \frac{\pi}{4} \in [2k\pi, 2k\pi + \pi] \Rightarrow x \in \left[2k\pi + \frac{\pi}{4}, 2k\pi + \frac{5\pi}{4}\right]$$

正确答案为 **C**。

函数 $$f(x) = |\sin x| \cos x$$ 分析： - **A**：$$f\left(\frac{\pi}{2} + h\right) = |\sin h| \cos h$$，$$f\left(\frac{\pi}{2} - h\right) = |\sin h| \cos h$$，对称性成立，正确。 - **B**：周期为 $$2\pi$$（因绝对值和余弦乘积性质），错误。 - **C**：$$|f(x)|$$ 周期性导致解不唯一，错误。 - **D**：在 $$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$$ 上，$$f(x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$$，先增后减，错误。

正确答案为 **A**。