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正确率60.0%在平面直角坐标系中，已知角$${{θ}}$$的顶点与原点重合，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点$$\left( \frac{3} {5}， \ \frac{4} {5} \right)，$$则下列各式正确的是（）
C
A.$$\operatorname{s i n} \! \theta+\mathrm{c o s} \theta=-\frac{7} {5}$$
B.$$\mathrm{s i n} \theta-\mathrm{c o s} \theta=-\frac{1} {5}$$
C.$$\operatorname{s i n} \! \theta\mathrm{c o s} \theta=\frac{1 2} {2 5}$$
D.$$\mathrm{s i n} \theta\mathrm{t a n} \theta=\frac{9} {2 0}$$
2、['两角和与差的正弦公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {5}， 0 \leqslant\alpha\leqslant\pi$$，则$$\operatorname{s i n} \left( 2 \alpha-\frac{\pi} {4} \right)=$$（）
C
A.$$\frac{1 7 \sqrt2} {5 0}$$
B.$$\frac{2 2 \sqrt{2}} {5 0}$$
C.$$\frac{3 1 \sqrt2} {5 0}$$
D.$$\frac{1 9 \sqrt2} {5 0}$$
3、['一元二次方程根与系数的关系'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha， ~ \mathrm{c o s} \alpha$$是关于$${{x}}$$的方程$$x^{2}+a x-a=0 ( a \in\mathbf{R} )$$的两个实根，则$${{a}}$$的值是（）
C
A.$${{−}{1}{±}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{1}{±}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\sqrt{2}-1$$
D.$${{1}{−}{\sqrt {2}}}$$
4、['同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$${{α}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角，且$$\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha=\frac{\sqrt{3}} {2}，$$则$$\operatorname{s i n} \! \alpha-\operatorname{c o s} \! \alpha$$的值为（）
D
A.$$- \frac{5} {4}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$$- \frac{\sqrt{5}} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
5、['三角函数与二次函数的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%若函数$$f ( x )=-\frac{5} {6}+\frac{1} {6} \operatorname{s i n} 2 x+m ( \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x ) \leqslant0$$在$$(-\infty，+\infty)$$上恒成立，则$${{m}}$$的取值范围是
B
A.$$[-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} ]$$
B.$$[-\frac{\sqrt{2}} {3}， \frac{\sqrt{2}} {3} ]$$
C.$$[-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} ]$$
D.$$[-\frac{\sqrt{2}} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
6、['三角函数值在各象限的符号'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$$， ~ \operatorname{s i n} A \cdot\operatorname{c o s} A=-\frac{1} {8}，$$则$$\operatorname{c o s} A-\operatorname{s i n} A$$的值为（）
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$
7、['同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {4}，$$且$$\alpha\in( 0， \frac{\pi} {4} )，$$则$$\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha$$等于（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
8、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%若$$\alpha\in\mathit{\Gamma} ( 0， \mathit{\pi} )$$且$$\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{s i n} \alpha=-\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} 2 \alpha=$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 7}} {9}$$
B.$$\pm\frac{\sqrt{1 7}} {9}$$
C.$$- \frac{\sqrt{1 7}} {9}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 7}} {3}$$
9、['同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {5}，$$且$$\alpha\in( 0， \pi)$$，则$$\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha=$$（）
C
A.$$\pm\frac{7} {5}$$
B.$$- \frac{7} {5}$$
C.$$\frac{7} {5}$$
D.$$\frac{4 9} {2 5}$$
10、['两角和与差的余弦公式'， '三角函数的性质综合'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%函数$$y=\operatorname{s i n} 2 x-2 \sqrt{2} \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {4}+x )$$的最大值是（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}{−}{1}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$
1. 已知角θ终边与单位圆交于点$$(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$$，则$$\sin \theta = \frac{4}{5}$$，$$\cos \theta = \frac{3}{5}$$
计算各选项：
A. $$\sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5} \neq -\frac{7}{5}$$
B. $$\sin \theta - \cos \theta = \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{1}{5} \neq -\frac{1}{5}$$
C. $$\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{25}$$
D. $$\sin \theta \tan \theta = \sin \theta \times \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{16/25}{3/5} = \frac{16}{15} \neq \frac{9}{20}$$
正确答案：C
2. 已知$$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{5}$$，$$0 \leqslant \alpha \leqslant \pi$$
平方得：$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{25}$$
解得：$$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{12}{25}$$
$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{24}{25}$$
$$\sin(2\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin 2\alpha \cos \frac{\pi}{4} - \cos 2\alpha \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2\alpha - \cos 2\alpha)$$
$$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 2\alpha}$$，由$$\alpha \in [0, \pi]$$，$$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{5} > 0$$，得$$\sin \alpha > \cos \alpha$$，$$\alpha \in (\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$$，结合范围得$$\alpha \in (\frac{\pi}{4}, \pi)$$
$$\cos 2\alpha = -\sqrt{1 - (\frac{24}{25})^2} = -\frac{7}{25}$$
$$\sin(2\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{24}{25} - (-\frac{7}{25})) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{31}{25} = \frac{31\sqrt{2}}{50}$$
正确答案：C
3. 已知$$\sin \alpha, \cos \alpha$$是方程$$x^2 + ax - a = 0$$的两个实根
由韦达定理：$$\sin \alpha + \cos \alpha = -a$$，$$\sin \alpha \cos \alpha = -a$$
又$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，即$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1$$
代入得：$$a^2 - 2(-a) = 1$$，即$$a^2 + 2a - 1 = 0$$
解得：$$a = -1 \pm \sqrt{2}$$
正确答案：A
4. 已知$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，α为三角形内角
平方得：$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{4}$$
解得：$$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{8} < 0$$，说明α为钝角
$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2(-\frac{1}{8}) = \frac{5}{4}$$
$$\sin \alpha - \cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$$，因α为钝角，$$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，故$$\sin \alpha - \cos \alpha > 0$$
正确答案：D
5. 函数$$f(x) = -\frac{5}{6} + \frac{1}{6} \sin 2x + m(\sin x + \cos x) \leqslant 0$$恒成立
令$$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$$，则$$t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$
$$\sin 2x = 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 - 1 = t^2 - 1$$
代入得：$$f(x) = -\frac{5}{6} + \frac{1}{6}(t^2 - 1) + mt = \frac{1}{6}t^2 + mt - 1$$
需$$\frac{1}{6}t^2 + mt - 1 \leqslant 0$$对所有$$t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$成立
即$$\frac{1}{6}t^2 + mt - 1$$的最大值$$\leqslant 0$$
二次函数开口向上，最大值在端点处取得
$$t = \sqrt{2}$$时：$$\frac{1}{6} \times 2 + m\sqrt{2} - 1 = \frac{1}{3} + m\sqrt{2} - 1 = m\sqrt{2} - \frac{2}{3} \leqslant 0$$
$$t = -\sqrt{2}$$时：$$\frac{1}{6} \times 2 - m\sqrt{2} - 1 = \frac{1}{3} - m\sqrt{2} - 1 = -m\sqrt{2} - \frac{2}{3} \leqslant 0$$
解得：$$m \leqslant \frac{\sqrt{2}}{3}$$且$$m \geqslant -\frac{\sqrt{2}}{3}$$
正确答案：B
6. 已知$$\sin A \cos A = -\frac{1}{8}$$
$$(\cos A - \sin A)^2 = \cos^2 A - 2\sin A \cos A + \sin^2 A = 1 - 2(-\frac{1}{8}) = \frac{5}{4}$$
$$\cos A - \sin A = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$$
因A为三角形内角，$$\sin A > 0$$，$$\cos A$$符号不确定，但$$\sin A \cos A < 0$$，说明$$\cos A < 0$$
故$$\cos A - \sin A < 0$$
正确答案：B
7. 已知$$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$$，$$\alpha \in (0, \frac{\pi}{4})$$
$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$
$$\sin \alpha - \cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$
因$$\alpha \in (0, \frac{\pi}{4})$$，$$\sin \alpha < \cos \alpha$$，故$$\sin \alpha - \cos \alpha < 0$$
正确答案：D
8. 已知$$\cos \alpha + \sin \alpha = -\frac{1}{3}$$，$$\alpha \in (0, \pi)$$
平方得：$$(\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = \cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha = 1 + \sin 2\alpha = \frac{1}{9}$$
解得：$$\sin 2\alpha = -\frac{8}{9}$$
$$\cos 2\alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 2\alpha} = \pm \sqrt{1 - \frac{64}{81}} = \pm \frac{\sqrt{17}}{9}$$
因$$\alpha \in (0, \pi)$$且$$\cos \alpha + \sin \alpha = -\frac{1}{3} < 0$$，说明α在第二象限
$$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$$，在第二象限$$\cos \alpha < 0$$，但$$\cos 2\alpha$$符号不确定
由$$\sin 2\alpha = -\frac{8}{9} < 0$$，且α在第二象限，2α在第三或第四象限，$$\cos 2\alpha$$可能为正或负
正确答案：B
9. 已知$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5}$$，$$\alpha \in (0, \pi)$$
平方得：$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{25}$$
解得：$$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{12}{25} < 0$$，说明α在第二象限
$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2(-\frac{12}{25}) = \frac{49}{25}$$
$$\sin \alpha - \cos \alpha = \pm \frac{7}{5}$$
因α在第二象限，$$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，故$$\sin \alpha - \cos \alpha > 0$$
正确答案：C
10. 函数$$y = \sin 2x - 2\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} + x)$$
化简：$$\cos(\frac{\pi}{4} + x) = \cos \frac{\pi}{4} \cos x - \sin \frac{\pi}{4} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$$
代入得：$$y = \sin 2x - 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) = \sin 2x - 2(\cos x - \sin x)$$
$$= 2\sin x \cos x - 2\cos x + 2\sin x = 2\sin x(\cos x + 1) - 2\cos x$$
令$$t = \sin x + \cos x$$，则$$\sin 2x = t^2 - 1$$
$$y = t^2 - 1 - 2(\cos x - \sin x)$$，但不易求极值
用导数法或配方法：
$$y = \sin 2x - 2\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})$$
令$$u = x + \frac{\pi}{4}$$，则$$x = u - \frac{\pi}{4}$$
$$\sin 2x = \sin(2u - \frac{\pi}{2}) = -\cos 2u = -(2\cos^2 u - 1) = 1 - 2\cos^2 u$$
$$y = 1 - 2\cos^2 u - 2\sqrt{2} \cos u = -2(\cos^2 u + \sqrt{2} \cos u) + 1$$
$$= -2[(\cos u + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{2}] + 1 = -2(\cos u + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2$$
当$$\cos u = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$时，$$y_{max} = 2$$
正确答案：A