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正确率60.0%若$${\frac{3 \mathrm{s i n} \alpha+2 \mathrm{c o s} \alpha} {2 \mathrm{s i n} \alpha-\mathrm{c o s} \alpha}}={\frac{8} {3}}，$$则$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=$$（）
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
2、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若角$${{α}}$$的终边在直线$$y=-\frac{1} {2} x$$上，则$$\frac{\operatorname{s i n} \! \alpha+5 \mathrm{c o s} \alpha} {\operatorname{c o s} \! \alpha-\operatorname{s i n} \! \alpha}$$的值为（）
B
A.$${{1}{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{−}{{1}{1}}}$$
D.$${{−}{3}}$$
3、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\mathrm{t a n} \theta=-3$$，则$$\frac{\operatorname{c o s}^{2} \theta-\operatorname{s i n}^{2} \theta} {\operatorname{s i n} \theta\mathrm{c o s} \theta}=$$（）
C
A.$$- \frac{8} {3}$$
B.$$\frac{4} {3}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$$\frac{1 0} {3}$$
4、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \theta=4，$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta} {1 7 \operatorname{s i n} \theta}+\frac{\operatorname{s i n}^{2} \theta} {4}$$的值为（）
B
A.$$\frac{1 4} {6 8}$$
B.$$\frac{2 1} {6 8}$$
C.$$\frac{6 8} {1 4}$$
D.$$\frac{6 8} {2 1}$$
5、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \theta=2 \operatorname{c o s} \theta，$$则$$\operatorname{s i n}^{2} \theta+\operatorname{s i n} \theta\operatorname{c o s} \theta-2 \operatorname{c o s}^{2} \theta$$等于$${{(}{)}}$$
D
A.$$- \frac{4} {3}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
6、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha=-2 \operatorname{c o s} \alpha，$$则$$2 \operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha-\operatorname{c o s}^{2} \alpha=\alpha$$）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$${{2}}$$
7、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{θ}}$$的终边经过点$$(-1，-3 )$$，则$$\frac{\operatorname{s i n} \theta+2 \operatorname{c o s} \theta} {3 \operatorname{s i n} \theta-4 \operatorname{c o s} \theta}=$$
A
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$${{−}{1}}$$
8、['一元二次方程的解集'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%已知$$\frac{\operatorname{s i n} 2 \alpha} {3 \operatorname{c o s} 2 \alpha+5}=\frac{1} {4}，$$则$${{t}{a}{n}{α}}$$的值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{1}}$$
9、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\frac{\operatorname{s i n} \! \alpha-\mathrm{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \! \alpha+\mathrm{c o s} \alpha}=\frac{1} {6} \mathrm{t a n} \alpha，$$则$$\mathrm{t a n} \alpha=$$（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$或$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$或$$- \frac{1} {3}$$
C.$${{2}}$$或$${{3}}$$
D.$${{−}{2}}$$或$${{−}{3}}$$
10、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的终边与单位圆交于点$$\left( \frac{3} {5}， \ y_{0} \right)$$，则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+2 \mathrm{c o s} \， \alpha} {3 \mathrm{s i n} \， \alpha-\operatorname{c o s} \alpha}=$$（）
C
A.$$\frac{1 0} {9}$$
B.$$- \frac{1 0} {9}$$或$$- \frac{2} {1 5}$$
C.$$\frac{1 0} {9}$$或$$- \frac{2} {1 5}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
1. 首先解方程 $$\frac{3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha}{2 \sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{8}{3}$$。
交叉相乘得：$$9 \sin \alpha + 6 \cos \alpha = 16 \sin \alpha - 8 \cos \alpha$$。
整理得：$$-7 \sin \alpha + 14 \cos \alpha = 0$$，即 $$\tan \alpha = 2$$。
利用 $$\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$$，代入得：$$\frac{1 + 2}{1 - 2} = -3$$。
答案为：$$A$$。
2. 角 $$\alpha$$ 的终边在直线 $$y = -\frac{1}{2}x$$ 上，设 $$x = 2t$$，则 $$y = -t$$。
$$\sin \alpha = \frac{y}{r} = \frac{-t}{\sqrt{4t^2 + t^2}} = -\frac{t}{\sqrt{5}t} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$$。
$$\cos \alpha = \frac{x}{r} = \frac{2t}{\sqrt{5}t} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$。
代入表达式：$$\frac{\sin \alpha + 5 \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{5}} + 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}} - \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)} = \frac{\frac{9}{\sqrt{5}}}{\frac{3}{\sqrt{5}}} = 3$$。
答案为：$$B$$。
3. 已知 $$\tan \theta = -3$$，即 $$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -3$$。
将 $$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ 和 $$\sin \theta \cos \theta$$ 用 $$\tan \theta$$ 表示：
$$\frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta}{\tan \theta} = \frac{1 - 9}{-3} = \frac{-8}{-3} = \frac{8}{3}$$。
答案为：$$D$$。
4. 已知 $$\tan \theta = 4$$，即 $$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 4$$。
将表达式化简：
$$\frac{\sin \theta + \cos \theta}{17 \sin \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{4} = \frac{1 + \cot \theta}{17} + \frac{\sin^2 \theta}{4}$$。
由于 $$\cot \theta = \frac{1}{4}$$，且 $$\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{16}{17}$$。
代入得：$$\frac{1 + \frac{1}{4}}{17} + \frac{\frac{16}{17}}{4} = \frac{\frac{5}{4}}{17} + \frac{4}{17} = \frac{5}{68} + \frac{16}{68} = \frac{21}{68}$$。
答案为：$$B$$。
5. 已知 $$\sin \theta = 2 \cos \theta$$，即 $$\tan \theta = 2$$。
将表达式用 $$\tan \theta$$ 表示：
$$\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - 2 \cos^2 \theta = \cos^2 \theta (\tan^2 \theta + \tan \theta - 2)$$。
由于 $$\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{5}$$，代入得：
$$\frac{1}{5} (4 + 2 - 2) = \frac{4}{5}$$。
答案为：$$D$$。
6. 已知 $$\sin \alpha = -2 \cos \alpha$$，即 $$\tan \alpha = -2$$。
将表达式用 $$\tan \alpha$$ 表示：
$$2 \sin \alpha \cos \alpha - \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha (2 \tan \alpha - 1)$$。
由于 $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{5}$$，代入得：
$$\frac{1}{5} (-4 - 1) = -1$$。
答案为：$$B$$。
7. 角 $$\theta$$ 的终边经过点 $$(-1, -3)$$，则 $$r = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$。
$$\sin \theta = \frac{-3}{\sqrt{10}}$$，$$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{10}}$$。
代入表达式：
$$\frac{\sin \theta + 2 \cos \theta}{3 \sin \theta - 4 \cos \theta} = \frac{\frac{-3}{\sqrt{10}} + 2 \cdot \frac{-1}{\sqrt{10}}}{3 \cdot \frac{-3}{\sqrt{10}} - 4 \cdot \frac{-1}{\sqrt{10}}} = \frac{\frac{-5}{\sqrt{10}}}{\frac{-5}{\sqrt{10}}} = 1$$。
答案为：$$A$$。
8. 已知 $$\frac{\sin 2\alpha}{3 \cos 2\alpha + 5} = \frac{1}{4}$$。
利用 $$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$$ 和 $$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$$，设 $$t = \tan \alpha$$：
$$\frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{3 \cdot \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + 5} = \frac{1}{4}$$。
化简得：$$\frac{2t}{3 - 3t^2 + 5 + 5t^2} = \frac{1}{4}$$，即 $$\frac{2t}{8 + 2t^2} = \frac{1}{4}$$。
解得：$$8t = 8 + 2t^2$$，即 $$t^2 - 4t + 4 = 0$$，$$t = 2$$。
答案为：$$B$$。
9. 已知 $$\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{1}{6} \tan \alpha$$。
设 $$t = \tan \alpha$$，则 $$\frac{t - 1}{t + 1} = \frac{1}{6} t$$。
化简得：$$6t - 6 = t^2 + t$$，即 $$t^2 - 5t + 6 = 0$$，解得 $$t = 2$$ 或 $$t = 3$$。
答案为：$$C$$。
10. 角 $$\alpha$$ 的终边与单位圆交于点 $$\left( \frac{3}{5}, y_0 \right)$$，则 $$\cos \alpha = \frac{3}{5}$$。
由单位圆性质，$$\sin \alpha = y_0 = \pm \sqrt{1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \pm \frac{4}{5}$$。
当 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$ 时：
$$\frac{\sin \alpha + 2 \cos \alpha}{3 \sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{3}{5}}{3 \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{10}{5}}{\frac{9}{5}} = \frac{10}{9}$$。
当 $$\sin \alpha = -\frac{4}{5}$$ 时：
$$\frac{-\frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{3}{5}}{3 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{15}{5}} = -\frac{2}{15}$$。
答案为：$$C$$。