利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值-三角函数的拓展与综合知识点课后进阶自测题答案-江西省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1. 已知 $$\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=-\frac{3}{5}$$，$$\frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$$，则 $$\frac{\sin x}{1-\tan x}=$$（ ）。

设 $$t = x + \frac{\pi}{4}$$，则 $$x = t - \frac{\pi}{4}$$，且 $$\pi < t < \frac{3\pi}{2}$$，所以 $$\sin t = -\frac{3}{5}$$，$$\cos t = -\frac{4}{5}$$。

$$\sin x = \sin \left( t - \frac{\pi}{4} \right) = \sin t \cos \frac{\pi}{4} - \cos t \sin \frac{\pi}{4} = \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left( -\frac{4}{5} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$$

$$\cos x = \cos \left( t - \frac{\pi}{4} \right) = \cos t \cos \frac{\pi}{4} + \sin t \sin \frac{\pi}{4} = \left( -\frac{4}{5} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{7\sqrt{2}}{10}$$

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{10}}{-\frac{7\sqrt{2}}{10}} = -\frac{1}{7}$$

$$\frac{\sin x}{1-\tan x} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{10}}{1 - \left( -\frac{1}{7} \right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{10}}{\frac{8}{7}} = \frac{\sqrt{2}}{10} \times \frac{7}{8} = \frac{7\sqrt{2}}{80}$$

由于 $$\frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$$，$$\cos x < 0$$，$$\sin x$$ 在第三象限为负，但计算得 $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{10} > 0$$，矛盾？检查区间：当 $$\pi < t < \frac{3\pi}{2}$$，$$t - \frac{\pi}{4} \in \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right)$$，即 $$x$$ 在第二、三象限。但 $$\sin x$$ 在第二象限为正，在第三象限为负。由 $$\cos t < 0$$，$$\sin t < 0$$，得 $$t$$ 在第三象限，则 $$x = t - \frac{\pi}{4}$$ 在第三象限偏右，可能进入第二象限？实际上，当 $$t \in \left( \pi, \frac{5\pi}{4} \right)$$，$$x \in \left( \frac{3\pi}{4}, \pi \right)$$（第二象限）；当 $$t \in \left( \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2} \right)$$，$$x \in \left( \pi, \frac{5\pi}{4} \right)$$（第三象限）。题目给定 $$\frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$$，覆盖第二、三象限。但由 $$\sin t = -\frac{3}{5}$$，$$\cos t = -\frac{4}{5}$$，得 $$t$$ 在第三象限，即 $$t \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$$，则 $$x = t - \frac{\pi}{4} \in \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right)$$，符合。现在判断 $$x$$ 具体象限：若 $$t \in \left( \pi, \frac{5\pi}{4} \right)$$，则 $$x \in \left( \frac{3\pi}{4}, \pi \right)$$（第二象限，$$\sin x > 0$$，$$\cos x < 0$$）；若 $$t \in \left( \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2} \right)$$，则 $$x \in \left( \pi, \frac{5\pi}{4} \right)$$（第三象限，$$\sin x < 0$$，$$\cos x < 0$$）。计算 $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{10} > 0$$，所以 $$x$$ 必须在第二象限，即 $$t \in \left( \pi, \frac{5\pi}{4} \right)$$，成立。故 $$\frac{\sin x}{1-\tan x} = \frac{7\sqrt{2}}{80}$$，选 C。

2. 已知 $$\sin \alpha, \cos \alpha$$ 是关于 $$x$$ 的方程 $$x^{2}+a x-a=0 ( a \in \mathbf{R} )$$ 的两个实根，则 $$a$$ 的值是（ ）。

由韦达定理：$$\sin \alpha + \cos \alpha = -a$$，$$\sin \alpha \cos \alpha = -a$$。

又 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，即 $$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1$$。

代入得：$$(-a)^2 - 2(-a) = 1$$，即 $$a^2 + 2a - 1 = 0$$，解得 $$a = -1 \pm \sqrt{2}$$。

但需判别式 $$\Delta = a^2 - 4(-a) = a^2 + 4a \geq 0$$。

对于 $$a = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414$$，$$\Delta \approx 0.171 + 1.656 = 1.827 > 0$$，成立。

对于 $$a = -1 - \sqrt{2} \approx -2.414$$，$$\Delta \approx 5.828 - 9.656 = -3.828 < 0$$，不满足实根条件，舍去。

故 $$a = -1 + \sqrt{2}$$，但选项无直接匹配。检查选项：A 为 $$-1 \pm \sqrt{2}$$，B 为 $$1 \pm \sqrt{2}$$，C 为 $$\sqrt{2}-1$$，D 为 $$1-\sqrt{2}$$。注意 $$\sqrt{2}-1 = -1+\sqrt{2}$$，故选 C。

3. 已知 $$\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{1}{2}, \alpha\in( 0, \pi)$$，则 $$\frac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}=$$（ ）。

$$\frac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$$。

已知 $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}$$，设 $$S = \sin \alpha + \cos \alpha$$，$$P = \sin \alpha \cos \alpha$$。

则 $$S^2 = 1 + 2P$$，即 $$\frac{1}{4} = 1 + 2P$$，得 $$P = -\frac{3}{8}$$。

$$(\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 1 - 2P = 1 - 2 \times \left( -\frac{3}{8} \right) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$$，所以 $$\cos \alpha - \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$$。

由 $$\alpha \in (0, \pi)$$，且 $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2} > 0$$，$$P = -\frac{3}{8} < 0$$，知 $$\sin \alpha$$ 与 $$\cos \alpha$$ 异号，故 $$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$（第二象限），其中 $$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，所以 $$\cos \alpha - \sin \alpha < 0$$，取 $$\cos \alpha - \sin \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{2}$$。

于是 $$\frac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{7}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{7}}{7}$$，选 B。

4. 已知 $$\cos \theta=-\frac{7}{25}, \, \, \, \theta\in(-\pi, \, \, 0 ),$$ 则 $$\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}=$$（ ）。

$$\theta \in (-\pi, 0)$$，则 $$\frac{\theta}{2} \in \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right)$$，即第四象限，$$\sin \frac{\theta}{2} < 0$$，$$\cos \frac{\theta}{2} > 0$$。

$$\left( \sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} \right)^2 = 1 + \sin \theta$$。

$$\sin \theta = -\sqrt{1 - \cos^2 \theta} = -\sqrt{1 - \left( \frac{49}{625} \right)} = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25}$$（因为 $$\theta \in (-\pi, 0)$$，$$\sin \theta < 0$$）。

所以 $$\left( \sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} \right)^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$$，故 $$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} = \pm \frac{1}{5}$$。

由于 $$\frac{\theta}{2} \in \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right)$$，$$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2}$$ 的符号？令 $$t = \frac{\theta}{2}$$，则 $$t \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$$，$$\sin t + \cos t = \sqrt{2} \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)$$，且 $$t + \frac{\pi}{4} \in \left( -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right)$$，$$\sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)$$ 在 $$(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$$ 上单调增，在 $$t=0$$ 时取正值，在 $$t=-\frac{\pi}{4}$$ 时取 $$0$$，所以对于 $$t \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$$，实际上 $$t + \frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$$，$$\sin (t+\frac{\pi}{4})$$ 可能为正或负？当 $$t \in (-\frac{\pi}{4}, 0)$$，$$t+\frac{\pi}{4} \in (0, \frac{\pi}{4})$$，$$\sin > 0$$；当 $$t \in (-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4})$$，$$t+\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{4}, 0)$$，$$\sin < 0$$。所以符号不确定？但 $$\cos \theta = -\frac{7}{25} > -1$$，$$\theta \in (-\pi, 0)$$，可具体判断：$$\cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} - 1 = -\frac{7}{25}$$，得 $$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{9}{25}$$，$$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{3}{5}$$（因为 $$\frac{\theta}{2} \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$$，余弦正）。$$\sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$，$$\sin \frac{\theta}{2} = -\frac{4}{5}$$（正弦负）。所以 $$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} = -\frac{4}{5} + \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}$$。故选 D。

5. 若 $$\frac{1}{\sin \alpha}+\frac{1}{\cos \alpha}=\sqrt{3}$$，则 $$\sin \alpha \cos \alpha=$$（ ）。

$$\frac{1}{\sin \alpha} + \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \sqrt{3}$$。

设 $$S = \sin \alpha + \cos \alpha$$，$$P = \sin \alpha \cos \alpha$$，则 $$\frac{S}{P} = \sqrt{3}$$，即 $$S = \sqrt{3} P$$。

又 $$S^2 = 1 + 2P$$，代入得 $$3P^2 = 1 + 2P$$，即 $$3P^2 - 2P - 1 = 0$$，解得 $$P = 1$$ 或 $$P = -\frac{1}{3}$$。

但 $$P = \sin \alpha \cos \alpha$$，取值范围为 $$[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$$，所以 $$P=1$$ 舍去，故 $$P = -\frac{1}{3}$$，选 A。

6. 若 $$\sin \theta + \cos \theta = 0$$，则下列结论一定成立的是（ ）。

$$\sin \theta + \cos \theta = 0 \Rightarrow \tan \theta = -1$$，即 $$\theta = k\pi - \frac{\pi}{4}$$。

A、B：$$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 不一定，因为 $$\theta$$ 可能使 $$\sin \theta$$ 取正或负，取决于 $$k$$。

C：$$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta = \frac{1}{2} \sin \left( 2k\pi - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \times (-1) = -\frac{1}{2}$$，恒成立。

D：$$\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$$，当 $$\theta = k\pi - \frac{\pi}{4}$$，$$\theta - \frac{\pi}{4} = k\pi - \frac{\pi}{2}$$，$$\sin \left( k\pi - \frac{\pi}{2} \right) = \pm 1$$，所以 $$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{2}$$，不一定为 $$\sqrt{2}$$。

故选 C。

7. 若函数 $$f(x)=-\frac{5}{6}+\frac{1}{6} \sin 2x+m (\sin x+\cos x) \leqslant 0$$ 在 $$(-\infty,+\infty)$$ 上恒成立，则 $$m$$ 的取值范围是。

令 $$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$，则 $$t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$，且 $$\sin 2x = 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 - 1 = t^2 - 1$$。

代入得 $$f(x) = -\frac{5}{6} + \frac{1}{6}(t^2 - 1) + m t = \frac{1}{6}t^2 + m t - 1$$。

问题转化为 $$\frac{1}{6}t^2 + m t - 1 \leq 0$$ 对所有 $$t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$ 恒成立。

设 $$g(t) = \frac{1}{6}t^2 + m t - 1$$，开口向上，需在区间两端满足非正，且顶点若在区间内则需判别式条件？更直接：最大值在端点取到，所以需 $$g(-\sqrt{2}) \leq 0$$ 且 $$g(\sqrt{2}) \leq 0$$。

$$g(\sqrt{2}) = \frac{1}{6} \times 2 + m\sqrt{2} - _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}