.jpg)
正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \! \left( \frac{\pi} {3}+2 x \right)+\operatorname{s i n} \! \left( 2 x-\frac{\pi} {6} \right)$$，则该函数的单调递增区间是（）
B
A.$$\left[-\frac{5 \pi} {2 4}+k \pi， \frac{7 \pi} {2 4}+k \pi\right]$$，$${{k}{∈}{Z}}$$
B.$$\left[-\frac{7 \pi} {2 4}+k \pi， \frac{5 \pi} {2 4}+k \pi\right]$$，$${{k}{∈}{Z}}$$
C.$$\left[-\frac{\pi} {2 4}+k \pi， \frac{1 1 \pi} {2 4}+k \pi\right]$$，$${{k}{∈}{Z}}$$
D.$$\left[ \frac{\pi} {2 4}+k \pi， \frac{1 3 \pi} {2 4}+k \pi\right]$$，$${{k}{∈}{Z}}$$
2、['三角恒等变换综合应用'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']正确率40.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \left( 2 x+\frac{\pi} {6} \right)+\sqrt{3} \mathrm{c o s} \left( 2 x+\frac{\pi} {6} \right)，$$则（）
D
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 0， \ \frac{\pi} {2} \ ]$$上单调递增，其图像关于直线$$x=\frac{\pi} {4}$$对称
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 0， \ \frac{\pi} {2} \ ]$$上单调递增，其图像关于直线$$x=\frac{\pi} {2}$$对称
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 0， \ \frac{\pi} {2} \ ]$$上单调递减，其图像关于直线$$x=\frac{\pi} {4}$$对称
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 0， \ \frac{\pi} {2} \ ]$$上单调递减，其图像关于直线$$x=\frac{\pi} {2}$$对称
3、['三角恒等变换综合应用'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%为了得到函数$$y=\operatorname{s i n} ~ ( \frac{\pi} {3} )$$的图象，只需把函数$$y=\operatorname{c o s} ~ ( \ 2 x-\frac{4 \pi} {3} )$$的图象（）
A
A.向左平移$$\frac{\pi} {4}$$个长度单位
B.向右平移$$\frac{\pi} {4}$$个长度单位
C.向左平移$$\frac{\pi} {2}$$个长度单位
D.向右平移$$\frac{\pi} {2}$$个长度单位
4、['三角恒等变换综合应用'， '正弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{s}{i}{n}}$$$${{B}{⋅}{{s}{i}{n}}}$$$$C=\operatorname{c o s}^{2} \frac{A} {2}$$，且$$\operatorname{s i n}^{2} B+\operatorname{s i n}^{2} C=\operatorname{s i n}^{2} A.$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$是$${{(}{)}}$$
D
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
5、['三角恒等变换综合应用'， '正弦（型）函数的单调性']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} \Bigl( \omega x+\frac{\pi} {3} \Bigr) ( \omega> 0 )， \， \， \， f ( \frac{\pi} {6} )+f ( \frac{\pi} {2} )=0$$，且$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$\left( \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2} \right)$$上递减，则$${{ω}{=}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['三角恒等变换综合应用'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合']正确率60.0%已知函数$$y=\operatorname{s i n} ( \omega x+\phi) ( \omega> 0， 0 < \phi< \pi)$$的图象与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$和$$( 1， 0 )$$，则该函数图象距离$${{y}}$$轴最近的一条对称轴方程是（）
D
A.$${{x}{=}{−}{3}}$$
B.$${{x}{=}{3}}$$
C.$${{x}{=}{1}}$$
D.$${{x}{=}{−}{1}}$$
7、['三角恒等变换综合应用'， '正弦（型）函数的周期性'， '两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%设函数$$y=\operatorname{s i n} 2 x+\sqrt{3} \operatorname{c o s} 2 x$$的最小正周期为$${{T}}$$，最大值为$${{A}}$$，则（）
C
A.$$T=2 \pi， \， \， \， A=2$$
B.$$T=2 \pi， \， \， \， A=\sqrt{2}$$
C.$$T=\pi， \， \， \， A=2$$
D.$$T=\pi， ~ A=\sqrt{2}$$
8、['三角恒等变换综合应用'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数的图象变换'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知将函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\varphi) ( 0 < \phi< \frac{\pi} {2} )$$的图象向左平移$${{φ}}$$个单位长度后，得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象．若$${{g}{(}{x}{)}}$$是偶函数，则$$f ( \frac{\pi} {3} )=$$
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{1}}$$
9、['三角恒等变换综合应用'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$图象的相邻两条对称轴之间的距离为$$\frac{\pi} {2}，$$将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度后，得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象．若函数$${{g}{(}{x}{)}}$$为偶函数，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$( 0， \frac{\pi} {2} )$$上的值域是$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-\frac{1} {2}， 1 ]$$
B.$$(-1， 1 )$$
C.$$( 0， 2 ]$$
D.$$(-1， 2 ]$$
10、['三角恒等变换综合应用'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( \ \sin\ ( \， \pi-\alpha) \， \ \sqrt{3} ) \ \，， \ \overrightarrow{b}=\ ( \， 1， \ 2 ) \ \，，$$且$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则锐角$${{α}}$$等于（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.无法确定
1. 函数 $$f(x) = \sin\left( \frac{\pi}{3} + 2x \right) + \sin\left( 2x - \frac{\pi}{6} \right)$$
利用和差化积公式：$$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$$
令 $$A = \frac{\pi}{3} + 2x$$，$$B = 2x - \frac{\pi}{6}$$
则 $$\frac{A+B}{2} = 2x + \frac{\pi}{12}$$，$$\frac{A-B}{2} = \frac{\pi}{4}$$
所以 $$f(x) = 2 \sin\left( 2x + \frac{\pi}{12} \right) \cos \frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \sin\left( 2x + \frac{\pi}{12} \right)$$
正弦函数单调递增区间为 $$\left[ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right]$$
令 $$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{12} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$
解得 $$-\frac{7\pi}{24} + k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{24} + k\pi$$
所以答案为 B
2. 函数 $$f(x) = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) + \sqrt{3} \cos\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$$
可化为 $$f(x) = 2 \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin\left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos 2x$$
在区间 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上，$$2x \in [0, \pi]$$，余弦函数在此区间单调递减
对称轴：令 $$2x = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi}{2}$$，在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上有 $$x = 0$$ 和 $$x = \frac{\pi}{2}$$
所以答案为 D
3. 目标函数 $$y = \sin\left( \frac{\pi}{3} \right)$$ 为常数函数，但原题可能为 $$y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$$
原函数 $$y = \cos\left( 2x - \frac{4\pi}{3} \right) = \sin\left( 2x - \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( 2x - \frac{5\pi}{6} \right)$$
目标函数 $$y = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$$
需要将 $$2x - \frac{5\pi}{6}$$ 变为 $$2x + \frac{\pi}{3}$$，即增加 $$\pi$$
所以向右平移 $$\frac{\pi}{2}$$ 个单位，答案为 D
4. 在 $$\triangle ABC$$ 中，已知 $$\sin B \sin C = \cos^2 \frac{A}{2}$$ 且 $$\sin^2 B + \sin^2 C = \sin^2 A$$
由 $$\sin B \sin C = \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1 + \cos A}{2}$$
由 $$\sin^2 B + \sin^2 C = \sin^2 A$$
利用正弦定理和余弦定理可推导出 $$B = C$$ 且 $$A = \frac{\pi}{2}$$
所以为等腰直角三角形，答案为 D
5. 函数 $$f(x) = 2 \sin\left( \omega x + \frac{\pi}{3} \right)$$，$$\omega > 0$$
已知 $$f\left( \frac{\pi}{6} \right) + f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$$
即 $$2 \sin\left( \frac{\omega\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) + 2 \sin\left( \frac{\omega\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 0$$
且在区间 $$\left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right)$$ 上递减
解得 $$\omega = 2$$，答案为 B
6. 函数 $$y = \sin(\omega x + \phi)$$，$$\omega > 0$$，$$0 < \phi < \pi$$
已知点 $$(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$$ 和 $$(1, 0)$$
代入得 $$\sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\sin(\omega + \phi) = 0$$
解得 $$\phi = \frac{\pi}{4}$$，$$\omega = \frac{3\pi}{4}$$
函数为 $$y = \sin\left( \frac{3\pi}{4}x + \frac{\pi}{4} \right)$$
对称轴方程：$$\frac{3\pi}{4}x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$
解得 $$x = \frac{1}{3} + \frac{4k}{3}$$
距离 y 轴最近的为 $$x = -1$$，答案为 D
7. 函数 $$y = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x$$
可化为 $$y = 2 \sin\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$$
周期 $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$，振幅 $$A = 2$$
所以答案为 C
8. 函数 $$f(x) = \sin(2x + \varphi)$$，$$0 < \varphi < \frac{\pi}{2}$$
向左平移 $$\varphi$$ 个单位得 $$g(x) = \sin(2(x + \varphi) + \varphi) = \sin(2x + 3\varphi)$$
$$g(x)$$ 为偶函数，则 $$g(x) = g(-x)$$
即 $$\sin(2x + 3\varphi) = \sin(-2x + 3\varphi)$$
解得 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$
所以 $$f\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sin\left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$$
答案为 A
9. 函数 $$f(x) = 2 \sin(\omega x + \varphi)$$，$$|\varphi| < \frac{\pi}{2}$$
相邻对称轴距离 $$\frac{\pi}{2}$$，则 $$\frac{T}{2} = \frac{\pi}{2}$$，$$T = \pi$$，$$\omega = 2$$
向左平移 $$\frac{\pi}{3}$$ 得 $$g(x) = 2 \sin\left( 2(x + \frac{\pi}{3}) + \varphi \right) = 2 \sin\left( 2x + \frac{2\pi}{3} + \varphi \right)$$
$$g(x)$$ 为偶函数，则 $$\frac{2\pi}{3} + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$
取 $$\varphi = -\frac{\pi}{6}$$
所以 $$f(x) = 2 \sin\left( 2x - \frac{\pi}{6} \right)$$
在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 上，值域为 $$(-1, 2]$$，答案为 D
10. 向量 $$\overrightarrow{a} = (\sin(\pi - \alpha), \sqrt{3}) = (\sin\alpha, \sqrt{3})$$
$$\overrightarrow{b} = (1, 2)$$
已知 $$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，则 $$\frac{\sin\alpha}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
所以 $$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$\alpha$$ 为锐角，则 $$\alpha = \frac{\pi}{3}$$
答案为 C