三角函数的性质综合-三角函数的拓展与综合知识点回顾进阶自测题解析-四川省等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

正确率60.0%已知函数$$y=A \mathrm{s i n} ( \omega x+\varphi)+m$$的最大值是$${{4}}$$，最小值是$${{0}}$$，最小正周期$$T=\frac{\pi} {2}$$，直线$$x=\frac{\pi} {3}$$是其图像的一条对称轴，则符合条件的一个解析式是（）

D

A.$$y=4 \mathrm{s i n} \left( 4 x+\frac{\pi} {6} \right)$$

B.$$y=2 \mathrm{s i n} \left( 2 x+\frac{\pi} {3} \right)+2$$

C.$$y=2 \mathrm{s i n} \left( 4 x+\frac{\pi} {3} \right)+2$$

D.$$y=2 \mathrm{s i n} \left( 4 x+\frac{\pi} {6} \right)+2$$

正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {1， x \sharp\neq\sharp\neq\sharp\sharp} \\ {0， x \sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp} \\ \end{matrix} \right.$$，则关于函数$${{f}{(}{x}{)}}$$有以下五个命题：
$$\oplus\ \forall x \in R， \ f ( f ( x ) )=1$$；
$$\odot\， \exists x， \， \， \， y \in R， \， \， \， f ( x+y )=f ( x )+f ( y )$$；
$${③}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数；
$${④}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是周期函数；
$${⑤}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象是两条平行直线．
其中真命题的个数是

B

A.$${{5}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{2}}$$

正确率40.0%已知$$R t \Delta A B C$$的顶点为函数$$f \left( x \right)=\sqrt{2} \operatorname{s i n} \omega x， \ g \left( x \right)=\sqrt{2} \operatorname{c o s} \omega x \left( \omega> 0 \right)$$的图像的三个相邻的交点，则$${{ω}{=}{（}}$$）

C

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{2}}$$

C.$$\frac{\pi} {2}$$

D.$${{2}{π}}$$

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) \left( \omega> 0， | \varphi| < \frac{\pi} {2} \right)$$，其图像相邻的两个对称中心之间的距离为$$\frac{\pi} {4}，$$且有一条对称轴为直线$$x=\frac{\pi} {2 4}$$，则下列判断正确的是（）

C

A.函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的最小正周期为$${{4}{π}}$$

B.函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象关于直线$$x=-\frac{7 \pi} {2 4}$$对称

C.函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在区间$$\left[ \frac{7 \pi} {2 4}， \frac{1 3 \pi} {2 4} \right]$$上单调递增

D.函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图像关于点$$\left( \frac{7 \pi} {2 4}， 0 \right)$$对称

正确率40.0%函数$$y=\operatorname{s i n} 2 x-2 \sqrt{2} \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {4}+x )$$的最大值是（）

A

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}{\sqrt {3}}{−}{1}}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$

正确率60.0%不等式$$\sqrt{2} \operatorname{s i n} \frac{x} {4} \operatorname{c o s} \frac{x} {4} \!+\! \sqrt{6} \operatorname{c o s}^{2} \frac{x} {4} \!-\! \frac{\sqrt{6}} {2} \!-\! m \! \geq\! 0$$对于$$x \in[-\frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {3} ]$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

B

A.$$(-\infty，-\sqrt{2} )$$

B.$$(-\infty， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$

C.$$[ \frac{\sqrt2} {2}， \sqrt2 ]$$

D.$${{[}{\sqrt {2}}{{，}{+}{∞}{)}}}$$

正确率40.0%已知$$f \left( x \right)=4 \operatorname{c o s} x \operatorname{c o s} \left( x+\frac{\pi} {3} \right)$$，则下列说法中错误的是$${{(}{)}}$$

C

A.函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的最小正周期为$${{π}}$$

B.函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$[-\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {1 2} ]$$上单调递减

C.函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象可以由函数$$y=\operatorname{c o s} \Bigl( 2 x+\frac{\pi} {3} \Bigr)+1$$图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的$${{2}}$$倍得到

D.$$\left( \frac{7 \pi} {1 2}， 1 \right)$$是函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$图象的一个对称中心

正确率60.0%已知偶函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$，当$$x \in(-1， 0 )$$时，$$f \left( x \right)=2^{-x}$$，若$${{α}{，}{β}}$$为锐角三角形的两个内角，则（）

B

A.$$f \， ( \mathrm{s i n} \alpha) > f \， ( \mathrm{s i n} \beta)$$

B.$$f \， ( \mathrm{s i n} \alpha) > f \， ( \mathrm{c o s} \beta)$$

C.$$f \left( \mathrm{c o s} \alpha\right) > f \left( \mathrm{c o s} \beta\right)$$

D.$$f \left( \mathrm{c o s} \alpha\right) > f \left( \mathrm{s i n} \beta\right)$$

正确率40.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) ~=\operatorname{c o s} | 2 x |+| \operatorname{s i n} x |$$，下述四个结论：
$$\odot f \left( x \right)$$是偶函数；
$$\odot f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$的最小正周期为$${{π}}$$；
$$\odot f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$的最小值为$${{0}}$$；
$$\textcircled{4} \textit{f} ( \textbf{x} )$$在$$[ 0， ~ 2 \pi]$$上有$${{3}}$$个零点．
其中所有正确结论的编号是（）

B

A.$${①{②}}$$

B.$${①{②}{③}}$$

C.$${①{③}{④}}$$

D.$${②{③}{④}}$$

正确率19.999999999999996%已知$$f ( x )=\operatorname{c o s} 2 x-a \operatorname{s i n} x$$在区间$$\left( \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2} \right)$$上是增函数，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

D

A.$${{[}{−}{2}}$$，$${{+}{∞}{)}}$$

B.$${{(}{−}{2}}$$，$${{+}{∞}{)}}$$

C.$${{(}{−}{∞}}$$，$${{−}{4}{)}}$$

D.$${{(}{−}{∞}}$$，$${{−}{4}{]}}$$

1. 解析：根据题意，函数的最大值为4，最小值为0，因此振幅$$A=\frac{4-0}{2}=2$$，平均值$$m=\frac{4+0}{2}=2$$。周期$$T=\frac{\pi}{2}$$，则$$\omega=\frac{2\pi}{T}=4$$。对称轴为$$x=\frac{\pi}{3}$$，代入函数得$$\sin\left(4\cdot\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=\pm1$$，即$$\frac{4\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi$$，解得$$\varphi=-\frac{5\pi}{6}+k\pi$$。选项C满足$$\varphi=\frac{\pi}{3}$$（当$$k=1$$时），且其他参数也符合，故选C。

3. 解析：两函数交点满足$$\sqrt{2}\sin\omega x=\sqrt{2}\cos\omega x$$，即$$\tan\omega x=1$$，解得$$\omega x=\frac{\pi}{4}+k\pi$$。设三个相邻交点为$$x_1$$, $$x_2$$, $$x_3$$，则$$x_2-x_1=x_3-x_2=\frac{\pi}{\omega}$$。由于构成直角三角形，斜边为$$\frac{2\pi}{\omega}$$，另两边为$$\frac{\pi}{\omega}$$，由勾股定理得$$\left(\frac{2\pi}{\omega}\right)^2=2\left(\frac{\pi}{\omega}\right)^2$$，解得$$\omega=2$$，选B。

5. 解析：化简函数$$y=\sin 2x-2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$$。利用$$\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)$$，得$$y=\sin 2x-2(\cos x-\sin x)$$。设$$t=\sin x+\cos x$$，则$$\sin 2x=t^2-1$$，函数化为$$y=t^2-1-2(\sqrt{2-t^2}-t)$$。求导或配方法可得最大值为2，选A。

7. 解析：函数$$f(x)=4\cos x\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$化简为$$f(x)=2\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+1$$。分析选项：

• A正确，周期为$$\pi$$。
• B错误，函数在$$\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{12}\right]$$上单调递增。
• C错误，变换后应为$$y=2\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+2$$。
• D正确，$$x=\frac{7\pi}{12}$$时$$f(x)=1$$。

8. 解析：偶函数$$f(x)$$在$$(-1,0)$$递减，则在$$(0,1)$$递增。锐角三角形中$$\alpha+\beta>\frac{\pi}{2}$$，故$$\sin\alpha>\cos\beta$$，且$$\cos\alpha<\sin\beta$$。因此$$f(\sin\alpha)>f(\cos\beta)$$，选B。

10. 解析：函数$$f(x)=\cos 2x-a\sin x$$在$$\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$$上增，导数$$f'(x)=-2\sin 2x-a\cos x\geq0$$。化简为$$-4\sin x\cos x-a\cos x\geq0$$，即$$\cos x(-4\sin x-a)\geq0$$。在区间内$$\cos x>0$$，故$$-4\sin x-a\geq0$$，即$$a\leq-4\sin x$$。由于$$\sin x\in\left(\frac{1}{2},1\right)$$，$$a\leq-4\cdot1=-4$$，选D。