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正确率60.0%若$$\mathrm{t a n} \alpha=\frac{1} {5}，$$则$$\operatorname{c o s} 2 \alpha$$的值为（）
C
A.$$- \frac{1 2} {1 3}$$
B.$$- \frac{1} {2 6}$$
C.$$\frac{1 2} {1 3}$$
D.$$\frac{2 5} {2 6}$$
2、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$P ( 3 t， ~ 4 t )$$是角$${{α}}$$的终边上一点，其中$${{t}{≠}{0}{，}}$$则$${\frac{\mathrm{s i n} \alpha+2 \mathrm{c o s} \alpha} {\mathrm{s i n} \alpha-\mathrm{c o s} \alpha}}=$$（）
D
A.$${{−}{2}}$$
B.$$\frac{1 0} {7}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}{0}}$$
3、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\theta\right)+3 \operatorname{c o s} ( \pi-\theta)=\operatorname{s i n} (-\theta)$$，则$$\operatorname{s i n} \theta\operatorname{c o s} \theta+\operatorname{c o s}^{2} \theta=$$（）
D
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
4、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=4，$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-3 \operatorname{c o s} \alpha}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{3}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
5、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=\sqrt2$$，则$$\operatorname{s i n} ( \pi+2 \alpha)$$的值等于（）
C
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt2} 3$$
C.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
6、['齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=-\frac{1} {3}，$$则$$\frac{1} {2 \operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{c o s}^{2} \alpha}=\ ($$）
A
A.$$\frac{1 0} {3}$$
B.$${{3}}$$
C.$$- \frac{1 0} {3}$$
D.$${{−}{3}}$$
7、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+\mathrm{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-2 \mathrm{c o s} \alpha}=-2，$$则$$2 \mathrm{c o s}^{2} \alpha+\frac{3} {2} \mathrm{s i n} 2 \alpha-3 \mathrm{s i n}^{2} \alpha$$的值等于（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {1 7}$$
D.$$\frac{1 6} {1 7}$$
8、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=-\frac{3} {4}，$$则$$2 \operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha$$的值是（）
C
A.$$- \frac{2} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$- \frac{2} {5}$$或$$\frac{2} {5}$$
D.$${{1}}$$
9、['导数的几何意义'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知曲线$$f \left( x \right)=\frac{2} {3} x^{3}$$在点$$( 1 \;， \; f \left( 1 \right) )$$处的切线的倾斜角为$${{α}}$$，则$$\frac{\operatorname{s i n}^{2} \alpha-\operatorname{c o s}^{2} \alpha} {2 \operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{c o s}^{2} \alpha}=$$（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$${{2}}$$
D.$$- \frac{3} {8}$$
10、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，终边上一点$$P (-3， 4 )$$，则$$\frac{\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{s i n} \alpha} {\operatorname{c o s} \alpha-\operatorname{s i n} \alpha}$$等于（）
A
A.$$- \frac{1} {7}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$$\frac{1} {7}$$
1. 已知 $$\tan \alpha = \frac{1}{5}$$，求 $$\cos 2\alpha$$。
使用倍角公式：$$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$$
代入：$$\cos 2\alpha = \frac{1 - (\frac{1}{5})^2}{1 + (\frac{1}{5})^2} = \frac{1 - \frac{1}{25}}{1 + \frac{1}{25}} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{26}{25}} = \frac{24}{26} = \frac{12}{13}$$
答案：C
2. 已知 $$P(3t, 4t)$$ 是角 $$\alpha$$ 终边上一点，$$t \neq 0$$，求 $$\frac{\sin \alpha + 2 \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$$。
由坐标得：$$\sin \alpha = \frac{4t}{\sqrt{(3t)^2 + (4t)^2}} = \frac{4}{5}$$，$$\cos \alpha = \frac{3t}{\sqrt{(3t)^2 + (4t)^2}} = \frac{3}{5}$$
代入：$$\frac{\frac{4}{5} + 2 \times \frac{3}{5}}{\frac{4}{5} - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}{\frac{1}{5}} = \frac{\frac{10}{5}}{\frac{1}{5}} = 10$$
答案：D
3. 已知 $$\sin (\frac{\pi}{2} + \theta) + 3 \cos (\pi - \theta) = \sin (-\theta)$$，求 $$\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$$。
化简左边：$$\sin (\frac{\pi}{2} + \theta) = \cos \theta$$，$$\cos (\pi - \theta) = -\cos \theta$$
右边：$$\sin (-\theta) = -\sin \theta$$
方程变为：$$\cos \theta + 3(-\cos \theta) = -\sin \theta$$，即 $$\cos \theta - 3\cos \theta = -\sin \theta$$，$$-2\cos \theta = -\sin \theta$$，所以 $$\sin \theta = 2\cos \theta$$
代入所求：$$\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 2\cos \theta \cdot \cos \theta + \cos^2 \theta = 2\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 3\cos^2 \theta$$
由 $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$，代入 $$\sin \theta = 2\cos \theta$$ 得：$$4\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$，$$5\cos^2 \theta = 1$$，$$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$$
所以原式 $$= 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$$
答案：D
4. 已知 $$\tan \alpha = 4$$，求 $$\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - 3 \cos \alpha}$$。
分子分母同除以 $$\cos \alpha$$：$$\frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha - 3} = \frac{4 + 1}{4 - 3} = \frac{5}{1} = 5$$
但选项无5，检查原式：$$\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - 3 \cos \alpha}$$，除以 $$\cos \alpha$$ 得 $$\frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha - 3} = \frac{4 + 1}{4 - 3} = 5$$，但选项为A.-3 B.3 C.1/3 D.-1/3，可能题目有误或理解偏差，但计算无误。
答案：无匹配，但计算得5。
5. 已知 $$\tan \alpha = \sqrt{2}$$，求 $$\sin (\pi + 2\alpha)$$。
$$\sin (\pi + 2\alpha) = -\sin 2\alpha = -2 \sin \alpha \cos \alpha$$
由 $$\tan \alpha = \sqrt{2}$$，设 $$\sin \alpha = \sqrt{2}k$$，$$\cos \alpha = k$$，则 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2k^2 + k^2 = 3k^2 = 1$$，所以 $$k^2 = \frac{1}{3}$$，$$k = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$\sin 2\alpha = 2 \times \sqrt{2}k \times k = 2\sqrt{2} k^2 = 2\sqrt{2} \times \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$
所以 $$\sin (\pi + 2\alpha) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$
答案：C
6. 已知 $$\tan \alpha = -\frac{1}{3}$$，求 $$\frac{1}{2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha}$$。
分母：$$2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha (2 \tan \alpha + 1)$$
原式 $$= \frac{1}{\cos^2 \alpha (2 \tan \alpha + 1)} = \frac{\sec^2 \alpha}{2 \tan \alpha + 1} = \frac{1 + \tan^2 \alpha}{2 \tan \alpha + 1}$$
代入 $$\tan \alpha = -\frac{1}{3}$$：$$\frac{1 + (\frac{1}{9})}{2 \times (-\frac{1}{3}) + 1} = \frac{\frac{10}{9}}{-\frac{2}{3} + 1} = \frac{\frac{10}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{10}{9} \times 3 = \frac{10}{3}$$
答案：A
7. 已知 $$\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - 2 \cos \alpha} = -2$$，求 $$2 \cos^2 \alpha + \frac{3}{2} \sin 2\alpha - 3 \sin^2 \alpha$$。
由已知：$$\sin \alpha + \cos \alpha = -2(\sin \alpha - 2 \cos \alpha)$$，$$\sin \alpha + \cos \alpha = -2\sin \alpha + 4\cos \alpha$$，$$3\sin \alpha = 3\cos \alpha$$，所以 $$\tan \alpha = 1$$
所求式：$$2 \cos^2 \alpha + \frac{3}{2} \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha - 3 \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha + 3 \sin \alpha \cos \alpha - 3 \sin^2 \alpha$$
除以 $$\cos^2 \alpha$$：$$2 + 3 \tan \alpha - 3 \tan^2 \alpha = 2 + 3 \times 1 - 3 \times 1 = 2 + 3 - 3 = 2$$
但选项无2，检查原式：$$2 \cos^2 \alpha + \frac{3}{2} \sin 2\alpha - 3 \sin^2 \alpha$$，计算正确，但选项为A.-1 B.1 C.1/17 D.16/17，可能题目有误。
答案：无匹配，但计算得2。
8. 已知 $$\tan \alpha = -\frac{3}{4}$$，求 $$2 \sin \alpha + \cos \alpha$$。
由 $$\tan \alpha = -\frac{3}{4}$$，设 $$\sin \alpha = -3k$$，$$\cos \alpha = 4k$$，则 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 = 1$$，所以 $$k = \pm \frac{1}{5}$$
$$2 \sin \alpha + \cos \alpha = 2 \times (-3k) + 4k = -6k + 4k = -2k$$
当 $$k = \frac{1}{5}$$，值为 $$-\frac{2}{5}$$；当 $$k = -\frac{1}{5}$$，值为 $$\frac{2}{5}$$
答案：C
9. 已知曲线 $$f(x) = \frac{2}{3} x^3$$ 在点 $$(1, f(1))$$ 处切线倾斜角为 $$\alpha$$，求 $$\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha}$$。
$$f'(x) = 2x^2$$，$$f'(1) = 2$$，所以 $$\tan \alpha = 2$$
原式分子分母同除以 $$\cos^2 \alpha$$：$$\frac{\tan^2 \alpha - 1}{2 \tan \alpha + 1} = \frac{4 - 1}{4 + 1} = \frac{3}{5}$$
答案：B
10. 已知角 $$\alpha$$ 终边上一点 $$P(-3, 4)$$，求 $$\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$$。
$$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，$$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$
代入：$$\frac{-\frac{3}{5} + \frac{4}{5}}{-\frac{3}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{7}{5}} = -\frac{1}{7}$$
答案：A