.jpg)
正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=2，$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+5 \operatorname{c o s} \alpha} {3 \operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha}$$的值为（）
A
A.$$\frac{7} {5}$$
B.$$\frac{1 1} {2}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{1}{1}}$$
2、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha}=3，$$则$$\operatorname{t a n} 2 \alpha=$$
B
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$- \frac{4} {3}$$
C.$$- \frac2 3$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
3、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{s i n} 2 \alpha， \; \; \operatorname{s i n} \alpha-1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， \; 1+\operatorname{s i n} \alpha)，$$且$$\operatorname{t a n} ( \frac{\pi} {4}+\alpha)=-3，$$则$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$的值是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{5} {3}$$
D.$${{−}{1}}$$
4、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知
则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha} {3 \operatorname{c o s} \alpha-\operatorname{s i n} \alpha}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
D
A.$$- \frac{1} {5}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$${{2}}$$
5、['同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\frac{\pi} {4} )=\sqrt{2} ( \operatorname{s i n} \alpha+2 \operatorname{c o s} \alpha)，$$则$$\operatorname{s i n} 2 \alpha=~ ($$）
C
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$- \frac{3} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
6、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\frac{\operatorname{s i n} \! \alpha-\mathrm{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \! \alpha+\mathrm{c o s} \alpha}=\frac{1} {6} \mathrm{t a n} \alpha，$$则$$\mathrm{t a n} \alpha=$$（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$或$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$或$$- \frac{1} {3}$$
C.$${{2}}$$或$${{3}}$$
D.$${{−}{2}}$$或$${{−}{3}}$$
7、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} \alpha=2 \operatorname{c o s} \ ( \pi+\alpha)$$，则$$\operatorname{s i n} \alpha( 1-2 \operatorname{s i n}^{2} \frac{\alpha} {2} )=~ ($$）
D
A.$$\frac{5} {2}$$
B.$$- \frac{5} {2}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$- \frac{2} {5}$$
8、['利用诱导公式化简'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \theta=2$$，则$$\frac{2 \operatorname{s i n} ( \theta+\pi)+3 \operatorname{c o s} ( \pi-\theta)} {\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2}+\theta)-\operatorname{c o s} ( \frac{3 \pi} {2}-\theta)}=~ ($$）
C
A.$${{7}}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{7} {3}$$
D.$${{1}}$$
9、['齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \theta=3$$，则$$\frac{\operatorname{s i n} \theta+2 \operatorname{c o s} \theta} {3 \operatorname{s i n} \theta-4 \operatorname{c o s} \theta}$$的值是（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$- \frac{7} {9}$$
D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
10、['利用诱导公式求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} \alpha=2$$，则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}-2 \alpha)=$$（）
D
A.$$\frac{2} {5}$$或$$- \frac{2} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$或$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
1. 已知 $$\tan \alpha = 2$$，求 $$\frac{\sin \alpha + 5 \cos \alpha}{3 \sin \alpha - \cos \alpha}$$ 的值。
解析：
将分子和分母同时除以 $$\cos \alpha$$：
$$\frac{\tan \alpha + 5}{3 \tan \alpha - 1} = \frac{2 + 5}{3 \times 2 - 1} = \frac{7}{5}$$
答案为 $$\boxed{A}$$。
2. 已知 $$\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = 3$$，求 $$\tan 2 \alpha$$。
解析：
将分子和分母同时除以 $$\cos \alpha$$：
$$\frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha - 1} = 3$$
解得 $$\tan \alpha = 2$$。
利用倍角公式：
$$\tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{4}{1 - 4} = -\frac{4}{3}$$
答案为 $$\boxed{B}$$。
3. 已知向量 $$\overrightarrow{a} = (\sin 2 \alpha, \sin \alpha - 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (1, 1 + \sin \alpha)$$，且 $$\tan \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = -3$$，求 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$。
解析：
利用 $$\tan \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = -3$$，解得 $$\tan \alpha = 2$$。
计算 $$\sin \alpha$$ 和 $$\cos \alpha$$：
$$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$。
计算 $$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{4}{5}$$。
点积：
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sin 2 \alpha \times 1 + (\sin \alpha - 1)(1 + \sin \alpha) = \frac{4}{5} + \sin^2 \alpha - 1 = \frac{4}{5} + \frac{4}{5} - 1 = \frac{3}{5}$$
答案为 $$\boxed{B}$$。
4. 已知 $$\tan \alpha = -2$$，求 $$\frac{\sin \alpha}{3 \cos \alpha - \sin \alpha}$$。
解析：
将分子和分母同时除以 $$\cos \alpha$$：
$$\frac{\tan \alpha}{3 - \tan \alpha} = \frac{-2}{3 - (-2)} = -\frac{2}{5}$$
答案为 $$\boxed{A}$$。
5. 已知 $$\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} (\sin \alpha + 2 \cos \alpha)$$，求 $$\sin 2 \alpha$$。
解析：
展开左边：
$$\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha)$$
代入方程：
$$\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) = \sqrt{2} (\sin \alpha + 2 \cos \alpha)$$
化简得：
$$\sin \alpha + \cos \alpha = 2 \sin \alpha + 4 \cos \alpha$$
解得 $$\tan \alpha = -3$$。
利用 $$\sin 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$$
答案为 $$\boxed{C}$$。
6. 已知 $$\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{1}{6} \tan \alpha$$，求 $$\tan \alpha$$。
解析：
将分子和分母同时除以 $$\cos \alpha$$：
$$\frac{\tan \alpha - 1}{\tan \alpha + 1} = \frac{1}{6} \tan \alpha$$
设 $$\tan \alpha = t$$，则：
$$\frac{t - 1}{t + 1} = \frac{t}{6}$$
解得 $$t = 2$$ 或 $$t = 3$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
7. 已知 $$\sin \alpha = 2 \cos (\pi + \alpha)$$，求 $$\sin \alpha \left( 1 - 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right)$$。
解析：
化简 $$\cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha$$，代入得：
$$\sin \alpha = -2 \cos \alpha$$，即 $$\tan \alpha = -2$$。
利用半角公式：
$$1 - 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha$$
原式化简为：
$$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2 \alpha}{2} = \frac{2 \tan \alpha}{2(1 + \tan^2 \alpha)} = \frac{-4}{2 \times 5} = -\frac{2}{5}$$
答案为 $$\boxed{D}$$。
8. 已知 $$\tan \theta = 2$$，求 $$\frac{2 \sin (\theta + \pi) + 3 \cos (\pi - \theta)}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) - \cos \left( \frac{3 \pi}{2} - \theta \right)}$$。
解析：
化简三角函数：
$$\sin (\theta + \pi) = -\sin \theta$$，$$\cos (\pi - \theta) = -\cos \theta$$，
$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = \cos \theta$$，$$\cos \left( \frac{3 \pi}{2} - \theta \right) = -\sin \theta$$。
代入得：
$$\frac{-2 \sin \theta - 3 \cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta}$$
将分子和分母同时除以 $$\cos \theta$$：
$$\frac{-2 \tan \theta - 3}{1 + \tan \theta} = \frac{-7}{3}$$
答案为 $$\boxed{C}$$。
9. 已知 $$\tan \theta = 3$$，求 $$\frac{\sin \theta + 2 \cos \theta}{3 \sin \theta - 4 \cos \theta}$$。
解析：
将分子和分母同时除以 $$\cos \theta$$：
$$\frac{\tan \theta + 2}{3 \tan \theta - 4} = \frac{5}{5} = 1$$
答案为 $$\boxed{B}$$。
10. 已知 $$\tan \alpha = 2$$，求 $$\cos \left( \frac{\pi}{2} - 2 \alpha \right)$$。
解析：
利用 $$\cos \left( \frac{\pi}{2} - 2 \alpha \right) = \sin 2 \alpha$$。
计算 $$\sin 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{4}{5}$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。