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正确率80.0%在三角形$${{A}{B}{C}}$$中，已知角$$C=\frac{\pi} {3}$$，则$$\operatorname{s i n} A+\operatorname{s i n} B$$的最大值是$${{(}{)}}$$
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
2、['三角函数与二次函数的综合应用']正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \omega x+\frac{\pi} {4} ) ( \omega> 0 )$$在$$( \frac{\pi} {4}， \frac{7 \pi} {4} )$$内恰有两个最小值点，则$${{ω}}$$的范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( \frac{1 3} {7}， 4 ]$$
B.$$( \frac{1 3} {7}， 3 ]$$
C.$${( \frac{4} {3}， 3 ]}$$
D.$${( \frac{4} {3}， 4 ]}$$
3、['三角函数与二次函数的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} 2 x+6 \operatorname{c o s}$$$$\left( \frac{\pi} {2}-x \right)$$的最大值为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
4、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%函数$$f \left( x \right)=\operatorname{c o s} 2 x+6 \mathrm{s i n} \left( \frac{\pi} {2}-x \right)$$的最小值为（）
A
A.$${{−}{5}}$$
B.$$- \frac{1 1} {2}$$
C.$${{−}{7}}$$
D.$${{0}}$$
5、['利用导数求参数的取值范围'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%若函数$$f ( x )=2 x-\frac{1} {2} \mathrm{s i n} 2 x+a \mathrm{s i n} x$$在$${{R}}$$上单调递增，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-1， ~ 0 ]$$
B.$$[ 0， \ 1 )$$
C.$$(-1， 1 )$$
D.$$[-1， ~ 1 ]$$
6、['函数的最大(小)值'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '同角三角函数的平方关系'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%函数$$y=2 \mathrm{s i n}^{2} x+2 \operatorname{c o s} x-5$$的最大值是（$${）}$$。
D
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{7}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$$- \frac{5} {2}$$
7、['函数的最大(小)值'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\operatorname{c o s} 2 x+\operatorname{s i n} x-3$$，则$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的最大值为
A
A.$$- \frac{1 5} {8}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{−}{5}}$$
D.$$- \frac{1 7} {8}$$
8、['三角函数与二次函数的综合应用']正确率60.0%关于$${{x}}$$的方程$$\operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s}^{2} x+a=0$$在$$x \in[ 0， ~ 2 \pi)$$内恰有$${{4}}$$解，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( \ -1， \ \frac{5} {4} )$$
B.$$( 1， ~ \frac{5} {4} )$$
C.$$[-1， ~ ~ \frac{5} {4} )$$
D.$$[ 1， ~ ~ \frac{5} {4} )$$
9、['三角函数与二次函数的综合应用'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%设$${{M}}$$和$${{m}}$$分别表示函数$$y=\frac1 3 \operatorname{c o s} x-1$$的最大值和最小值，则$${{M}{+}{m}}$$等于（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac2 3$$
C.$$- \frac{4} {3}$$
D.$${{−}{2}}$$
10、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '数量积的性质'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$B C=2， ~ \operatorname{s i n} B+\operatorname{s i n} C=2 \operatorname{s i n} A$$，则$${{B}{C}}$$边上的中线长的最小值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
1. 在三角形$$ABC$$中，角$$C=\frac{\pi}{3}$$，则$$A+B=\frac{2\pi}{3}$$。利用和化积公式：
$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) = \sqrt{3} \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$
当$$\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$取最大值1时，$$\sin A + \sin B$$取得最大值$$\sqrt{3}$$，故选C。
2. 函数$$f(x)=\sin(\omega x + \frac{\pi}{4})$$在区间$$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right)$$内恰有两个最小值点，即$$\sin(\omega x + \frac{\pi}{4}) = -1$$有两个解。
设$$\omega x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$，解得$$x = \frac{5\pi}{4\omega} + \frac{2k\pi}{\omega}$$。
要求有两个解在区间内，需满足：
$$\frac{5\pi}{4\omega} + \frac{2\pi}{\omega} \leq \frac{7\pi}{4} < \frac{5\pi}{4\omega} + \frac{4\pi}{\omega}$$
解得$$\omega \in \left(\frac{13}{7}, 3\right]$$，故选B。
3. 函数$$f(x) = \cos 2x + 6 \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos 2x + 6 \sin x$$。
利用二倍角公式$$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$，得：
$$f(x) = 1 - 2\sin^2 x + 6\sin x = -2(\sin^2 x - 3\sin x) + 1$$
配方得：
$$f(x) = -2\left(\sin x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{11}{2}$$
由于$$\sin x \in [-1, 1]$$，当$$\sin x = 1$$时，$$f(x)$$取得最大值5，故选B。
4. 函数$$f(x) = \cos 2x + 6 \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos 2x + 6 \cos x$$。
利用二倍角公式$$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$，得：
$$f(x) = 2\cos^2 x + 6\cos x - 1$$
设$$t = \cos x \in [-1, 1]$$，则$$f(x) = 2t^2 + 6t - 1$$。
二次函数在$$t \in [-1, 1]$$的最小值为$$f(-1) = -5$$，故选A。
5. 函数$$f(x) = 2x - \frac{1}{2}\sin 2x + a \sin x$$在$$\mathbb{R}$$上单调递增，需导数非负：
$$f'(x) = 2 - \cos 2x + a \cos x \geq 0$$
利用$$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$，得：
$$f'(x) = 3 - 2\cos^2 x + a \cos x \geq 0$$
设$$t = \cos x \in [-1, 1]$$，则$$-2t^2 + a t + 3 \geq 0$$。
需判别式$$\Delta = a^2 - 24 \leq 0$$且端点值非负，解得$$a \in [-1, 1]$$，故选D。
6. 函数$$y = 2\sin^2 x + 2\cos x - 5 = 2(1 - \cos^2 x) + 2\cos x - 5 = -2\cos^2 x + 2\cos x - 3$$。
设$$t = \cos x \in [-1, 1]$$，则$$y = -2t^2 + 2t - 3$$。
二次函数在$$t \in [-1, 1]$$的最大值为$$y\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{2}$$，故选D。
7. 函数$$f(x) = \cos 2x + \sin x - 3 = 1 - 2\sin^2 x + \sin x - 3 = -2\sin^2 x + \sin x - 2$$。
设$$t = \sin x \in [-1, 1]$$，则$$f(x) = -2t^2 + t - 2$$。
二次函数在$$t \in [-1, 1]$$的最大值为$$f\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{15}{8}$$，故选A。
8. 方程$$\sin x - \cos^2 x + a = 0$$可化为$$\sin x - (1 - \sin^2 x) + a = 0$$，即$$\sin^2 x + \sin x + a - 1 = 0$$。
设$$t = \sin x$$，则$$t^2 + t + a - 1 = 0$$，$$t \in [-1, 1]$$。
要求在$$x \in [0, 2\pi)$$内有4解，需方程在$$t \in (-1, 1)$$内有两个不同的解，且$$t \neq 0$$。
解得$$a \in \left(1, \frac{5}{4}\right)$$，故选B。
9. 函数$$y = \frac{1}{3}\cos x - 1$$的最大值$$M = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$$，最小值$$m = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}$$。
故$$M + m = -\frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -2$$，故选D。
10. 在锐角$$\triangle ABC$$中，$$BC=2$$，$$\sin B + \sin C = 2\sin A$$，由正弦定理得：
$$b + c = 2a = 4$$。
设中线长为$$d$$，由中线公式：
$$d = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2(b^2 + c^2) - 4}$$。
由$$b + c = 4$$，利用不等式$$b^2 + c^2 \geq \frac{(b + c)^2}{2} = 8$$，得：
$$d \geq \frac{1}{2}\sqrt{16 - 4} = \sqrt{3}$$，当$$b = c = 2$$时取等，故选C。