三角恒等变换综合应用-三角函数的拓展与综合知识点考前进阶选择题自测题答案-青海省等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

正确率60.0%函数$$y=\operatorname{s i n}^{2} x+2 \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x+3 \operatorname{c o s}^{2} x$$在$$x \in( 0， \， \， \frac{\pi} {2} )$$的单调递增区间是（）

C

A.$$( 0， ~ \frac{\pi} {4} )$$

B.$$( \frac{\pi} {4}， \ \frac{\pi} {2} )$$

C.$$( 0， ~ \frac{\pi} {8} )$$

D.$$( \frac{\pi} {8}， \ \frac{\pi} {4} )$$

正确率40.0%已知$$\operatorname{c o s} ( 4 0^{\circ}-\theta)+\operatorname{c o s} ( 4 0^{\circ}+\theta)+\operatorname{c o s} ( 8 0^{\circ}-\theta)=0，$$则$$\mathrm{t a n} \theta=$$（）

A

A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$

B.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

D.$${\sqrt {3}}$$

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{t a n} \frac{A+B} {2}=2 \operatorname{s i n} C$$，若$${{A}{B}{=}{1}}$$，则$${\frac{1} {2}} A C+B C$$的最大值为（）

A

A.$$\frac{\sqrt{2 1}} {3}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{\sqrt{1 7}} {3}$$

D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {2}$$

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{C}{=}{3}{B}}$$，则$$\frac{c} {b}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

D

A.$$( \frac{\sqrt2} 2， \frac{\sqrt3} 2 )$$

B.$$( \sqrt{2}， 3 )$$

C.$$( 1， \sqrt{3} )$$

D.$$( 1， 3 )$$

正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} 2 x+2 \sqrt{3} \mathrm{c o s}^{2} x-\sqrt{3}， \ g ( x )=m \operatorname{c o s} \left( 2 x-\frac{\pi} {6} \right)-2 m+3 ( m > 0 )$$，若对任意$$x_{1} \in[ 0， \frac{\pi} {4} ]$$，存在$$x_{2} \in[ 0， \frac{\pi} {4} ]$$，使得$$g ( x_{1} )=f ( x_{2} )$$成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

D

A.$$\left( 1， \frac{4} {3} \right)$$

B.$$\left( \frac{2} {3}， 1 \right]$$

C.$$\left[ \frac{2} {3}， 1 \right]$$

D.$$[ 1， \frac{4} {3} ]$$

正确率40.0%向量$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{s i n} {( \omega x-\frac{\pi} {4} )}， \operatorname{s i n} \omega x )，$$$$\begin{aligned} {\overrightarrow{b}=( \operatorname{s i n} {( \omega x+\frac{\pi} {4} )}， \operatorname{s i n} \omega x+2 \sqrt{3} \operatorname{c o s} \omega x ) ( \omega> 0 )，} \\ \end{aligned}$$函数$$g ( x )=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}-\frac{1} {2}$$的两个相邻的零点间的距离为$$\frac{\pi} {2}，$$若$$x=x_{0} ( 0 \leqslant x_{0} \leqslant\frac{\pi} {2} )$$是函数$$f ( x )=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}$$的一个零点，则$$\operatorname{c o s} 2 x_{0}$$的值为（）

A

A.$$\frac{3 \sqrt{5}+1} {8}$$

B.$$\frac{3 \sqrt{5}-1} {8}$$

C.$$\frac{1-3 \sqrt{5}} {8}$$

D.$$\frac{\sqrt{1 5}+\sqrt{3}} {8}$$

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$A=6 0^{\circ}， B C=3$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的周长为（）

A

A.$$6 \operatorname{s i n} \left( B+3 0^{\circ} \right)+3$$

B.$$4 \sqrt{3} \operatorname{s i n} {( B+3 0^{\circ} )}+3$$

C.$$6 \operatorname{s i n} \left( B+6 0^{\circ} \right)+3$$

D.$$4 \sqrt{3} \operatorname{s i n} {( B+6 0^{\circ} )}+3$$

正确率40.0%观察以下各等式：$$\operatorname{s i n}^{2} 3 0^{\circ}+\operatorname{c o s}^{2} 6 0^{\circ}+\operatorname{s i n} 3 0^{\circ} \operatorname{c o s} 6 0^{\circ}=\frac{3} {4}， \operatorname{s i n}^{2} 1 5^{\circ}+\operatorname{c o s}^{2} 4 5^{\circ}+\operatorname{s i n} 1 5^{\circ} \operatorname{c o s} 4 5^{\circ}=\frac{3} {4}， \operatorname{s i n}^{2} 1 0^{\circ}+\operatorname{c o s}^{2} 4 0^{\circ}+\operatorname{s i n} 1 0^{\circ} \operatorname{c o s} 4 0^{\circ}=0^{\circ}$$，从上述等式中反映一般规律的式子为$${{(}{)}}$$

D

A.$$S$$

B.$$S$$

C.

D.

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( 2 x-\frac{2 \pi} {3} )+\operatorname{c o s} 2 x$$，将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向左平移$$\varphi( \varphi> 0 )$$个单位长度，得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，若函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象关于$${{y}}$$轴对称，则$${{φ}}$$的最小值是（）

A

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{2 \pi} {3}$$

D.$$\frac{5 \pi} {6}$$

正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} \omega x+\operatorname{c o s} \omega x \left( \begin{matrix} {\omega> 0} \\ \end{matrix} \right)$$在$$[-\frac{\pi} {3}， \ \frac{pi} {4} ]$$上递增，则$${{f}{（}{x}{）}}$$的最小正周期的最小值为（）

D

A.$$\frac{8} {9} \pi$$

B.$${{π}}$$

C.$$\frac{4} {9} \pi$$

D.$${{2}{π}}$$

1. 解析：首先化简函数 $$y = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x$$。

2. 解析：利用和角公式化简方程： $$\cos(40^\circ - \theta) + \cos(40^\circ + \theta) = 2 \cos 40^\circ \cos \theta$$ $$\cos(80^\circ - \theta) = \cos 80^\circ \cos \theta + \sin 80^\circ \sin \theta$$ 代入原方程： $$2 \cos 40^\circ \cos \theta + \cos 80^\circ \cos \theta + \sin 80^\circ \sin \theta = 0$$ 提取公因式： $$\cos \theta (2 \cos 40^\circ + \cos 80^\circ) + \sin \theta \sin 80^\circ = 0$$ 注意到 $$2 \cos 40^\circ + \cos 80^\circ = \sqrt{3} \sin 50^\circ$$，因此： $$\sqrt{3} \sin 50^\circ \cos \theta + \sin 80^\circ \sin \theta = 0$$ 利用 $$\sin 80^\circ = 2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ$$，化简得： $$\tan \theta = -\sqrt{3}$$ 答案为 A。

3. 解析：在 $$\triangle ABC$$ 中，$$A + B + C = \pi$$，因此 $$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi - C}{2}$$。 由题意： $$\tan \frac{A+B}{2} = 2 \sin C \Rightarrow \tan \left( \frac{\pi - C}{2} \right) = 2 \sin C$$ 利用 $$\tan \left( \frac{\pi - C}{2} \right) = \cot \frac{C}{2}$$，化简得： $$\cot \frac{C}{2} = 2 \sin C$$ 进一步化简： $$\frac{\cos \frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}} = 4 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$$ 解得 $$\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}$$，即 $$C = \frac{\pi}{3}$$。 利用正弦定理： $$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ 因此： $$AC = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin B, \quad BC = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin A$$ 目标函数： $$\frac{1}{2} AC + BC = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin B + \frac{2}{\sqrt{3}} \sin A$$ 由于 $$A + B = \frac{2\pi}{3}$$，代入得： $$\frac{1}{\sqrt{3}} \sin B + \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \left( \frac{2\pi}{3} - B \right)$$ 展开并化简： $$\frac{1}{\sqrt{3}} \sin B + \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B \right) = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin B + \cos B$$ 利用辅助角公式： $$\sqrt{\left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 + 1} \sin(B + \phi) = \frac{\sqrt{21}}{3} \sin(B + \phi)$$ 最大值为 $$\frac{\sqrt{21}}{3}$$。 答案为 A。

4. 解析：在 $$\triangle ABC$$ 中，$$C = 3B$$，且 $$A + B + C = \pi$$，因此 $$A = \pi - 4B$$。 利用正弦定理： $$\frac{c}{b} = \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin 3B}{\sin B} = 3 - 4 \sin^2 B$$ 由于 $$A, B, C > 0$$，得 $$B \in (0, \frac{\pi}{4})$$，因此 $$\sin B \in (0, \frac{\sqrt{2}}{2})$$。 代入得： $$\frac{c}{b} \in (1, 3)$$ 答案为 D。

5. 解析：首先化简 $$f(x)$$： $$f(x) = \sin 2x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{3})$$ 在 $$x \in [0, \frac{\pi}{4}]$$，$$f(x) \in [\sqrt{3}, 2]$$。 对于 $$g(x) = m \cos(2x - \frac{\pi}{6}) - 2m + 3$$，在 $$x \in [0, \frac{\pi}{4}]$$，$$2x - \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$$，因此 $$\cos(2x - \frac{\pi}{6}) \in [\frac{1}{2}, 1]$$，$$g(x) \in [-\frac{m}{2} + 3, -m + 3]$$。 由题意，$$[-\frac{m}{2} + 3, -m + 3] \subseteq [\sqrt{3}, 2]$$，解得 $$m \in [1, \frac{4}{3}]$$。 答案为 D。

6. 解析：计算点积： $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sin(\omega x - \frac{\pi}{4}) \sin(\omega x + \frac{\pi}{4}) + \sin \omega x (\sin \omega x + 2\sqrt{3} \cos \omega x)$$ 利用积化和差： $$\sin(\omega x - \frac{\pi}{4}) \sin(\omega x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} [\cos(-\frac{\pi}{2}) - \cos(2\omega x)] = -\frac{1}{2} \cos(2\omega x)$$ 因此： $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -\frac{1}{2} \cos(2\omega x) + \sin^2 \omega x + \sqrt{3} \sin 2\omega x$$ 化简： $$g(x) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cos(2\omega x) + \frac{1 - \cos(2\omega x)}{2} + \sqrt{3} \sin(2\omega x) - \frac{1}{2} = \sqrt{3} \sin(2\omega x) - \cos(2\omega x)$$ 由题意，相邻零点距离为 $$\frac{\pi}{2}$$，因此周期 $$T = \pi$$，即 $$\omega = 1$$。 $$f(x) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sqrt{3} \sin(2x) - \cos(2x) + \frac{1}{2}$$ 设 $$f(x_0) = 0$$，则： $$\sqrt{3} \sin(2x_0) - \cos(2x_0) = -\frac{1}{2}$$ 利用辅助角公式： $$2 \sin(2x_0 - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$$ 解得： $$\sin(2x_0 - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{4}$$ 利用倍角公式： $$\cos(4x_0 - \frac{\pi}{3}) = 1 - 2 \sin^2(2x_0 - \frac{\pi}{6}) = \frac{7}{8}$$ 因此： $$\cos(2x_0) = \cos\left( (4x_0 - \frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{1 - \left( \frac{7}{8} \right)^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{5} - 1}{8}$$ 答案为 B。

7. 解析：利用正弦定理： $$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{3}{\sin 60^\circ} = 2\sqrt{3}$$ 因此： $$AB = 2\sqrt{3} \sin C, \quad AC = 2\sqrt{3} \sin B$$ 周长： $$P = AB + AC + BC = 2\sqrt{3} (\sin B + \sin C) + 3$$ 由于 $$C = 120^\circ - B$$，代入得： $$\sin B + \sin C = \sin B + \sin(120^\circ - B) = \sin B + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B = \frac{3}{2} \sin B + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B$$ 利用辅助角公式： $$\sin B + \sin C = \sqrt{3} \sin(B + 30^\circ)$$ 因此： $$P = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \sin(B + 30^\circ) + 3 = 6 \sin(B + 30^\circ) + 3$$ 答案为 A。

8. 解析：观察等式规律，发现一般形式为： $$\sin^2 \alpha + \cos^2 (30^\circ + \alpha) + \sin \alpha \cos(30^\circ + \alpha) = \frac{3}{4}$$ 验证： $$\sin^2 \alpha + \cos^2(30^\circ + \alpha) + \sin \alpha \cos(30^\circ + \alpha) = \sin^2 \alpha + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \right)^2 + \sin \alpha \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \right)$$ 展开并化简后等于 $$\frac{3}{4}$$。 答案为 C。

9. 解析：化简 $$f(x)$$： $$f(x) = \cos(2x - \frac{2\pi}{3}) + \cos 2x = 2 \cos(2x - \frac{\pi}{3}) \cos \frac{\pi}{3} = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$$ 平移后： $$g(x) = \cos(2(x + \phi) - \frac{\pi}{3}) = \cos(2x + 2\phi - \frac{\pi}{3})$$ 由题意，$$g(x)$$ 关于 $$y$$ 轴对称，因此： $$2\phi - \frac{\pi}{3} = k\pi$$ 取最小正值 $$\phi = \frac{\pi}{6}$$。 答案为 A。

10. 解析：化简 $$f(x)$$： $$f(x) = \sin \omega x + \cos \omega x = \sqrt{2} \sin(\omega x + \frac{\pi}{4})$$ 要求在 $$[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}]$$ 上递增，因此： $$-\frac{\pi}{2} \leq \omega (-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{4} \quad \text{且} \quad \omega \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{2}$$ 解得： $$\omega \leq \frac{9}{4} \quad \text{且} \quad \omega \leq 1$$ 因此 $$\omega \leq 1$$，最小周期 $$T = \frac{2\pi}{\omega} \geq 2\pi$$。 答案为 D。