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正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \! \alpha+2 \mathrm{c o s} \alpha=0，$$则$${\operatorname{s i n} \! 2 \alpha}=$$（）
A
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$$- \frac{3} {5}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
2、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} \theta=-2$$，则$$\frac{\operatorname{s i n} \theta( 1+\operatorname{s i n} 2 \theta)} {\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta}=$$（）
C
A.$$- \frac{6} {5}$$
B.$$- \frac{2} {5}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$\frac{6} {5}$$
3、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$2 \mathrm{s i n} ( \pi-\alpha)=3 \mathrm{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\alpha\right)，$$则$$\operatorname{s i n} \alpha\mathrm{c o s} \alpha+\operatorname{c o s}^{2} \! \alpha-\operatorname{s i n}^{2} \! \alpha=$$（）
D
A.$$\frac{5} {1 3}$$
B.$$- \frac1 {1 3}$$
C.$$- \frac{5} {1 3}$$
D.$$\frac{1} {1 3}$$
4、['利用诱导公式求值'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} ( \pi-\theta)=3$$，则 $$\frac{\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\theta\right)-\operatorname{c o s} \left( \pi-\theta\right)} {\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}-\theta\right)-\operatorname{s i n} \left( \pi-\theta\right)}=$$（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha=-2 \operatorname{c o s} \alpha，$$则$$2 \operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha-\operatorname{c o s}^{2} \alpha=\alpha$$）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$${{2}}$$
7、['利用诱导公式求值'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%若$$3 \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}-\theta)+\operatorname{c o s} ( \pi+\theta)=0$$，则$$\operatorname{c o s}^{2} \theta+\frac{1} {2} \operatorname{s i n} 2 \theta$$的值是
C
A.$$- \frac{6} {5}$$
B.$$- \frac{4} {5}$$
C.$$\frac{6} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
8、['点到直线的距离'， '直线的点斜式方程'， '直线和圆相切'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%已知直线$${{l}}$$过点$$( \ -3， \ 0 )$$且倾斜角为$${{α}}$$，若$${{l}}$$与圆$$x^{2} ~+~ ( y-2 )^{\rho^{2}}=4$$相切，则$$\operatorname{c o s} 2 \alpha=$$（）
C
A.$${{1}}$$
B.$$- \frac{1 1 9} {1 6 9}$$
C.$${{1}}$$或$$- \frac{1 1 9} {1 6 9}$$
D.$${{−}{1}}$$或$$- \frac{1 1 9} {1 6 9}$$
9、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，终边上一点$$P (-3， 4 )$$，则$$\frac{\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{s i n} \alpha} {\operatorname{c o s} \alpha-\operatorname{s i n} \alpha}$$等于（）
A
A.$$- \frac{1} {7}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$$\frac{1} {7}$$
10、['利用诱导公式化简'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{θ}}$$的顶点在坐标原点，始边与$${{x}}$$轴正半轴重合，终边在直线$$2 x-y=0$$上，则$$\frac{\operatorname{s i n} \left( \frac{3 \pi} {2}+\theta\right)+2 \operatorname{c o s} ( 5 \pi-\theta)} {\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}-\theta\right)-\operatorname{s i n} ( \pi-\theta)}=$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{0}}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
1. 已知$$\sin \alpha + 2 \cos \alpha = 0$$，则$$\sin 2\alpha =$$
解析：
由$$\sin \alpha = -2 \cos \alpha$$，两边平方得$$\sin^2 \alpha = 4 \cos^2 \alpha$$。
利用$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，代入得$$4 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，即$$5 \cos^2 \alpha = 1$$，所以$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$$。
$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times (-2 \cos \alpha) \times \cos \alpha = -4 \cos^2 \alpha = -4 \times \frac{1}{5} = -\frac{4}{5}$$。
答案为：A。
2. 若$$\tan \theta = -2$$，则$$\frac{\sin \theta (1 + \sin 2\theta)}{\sin \theta + \cos \theta} =$$
解析：
设$$\theta$$在第二象限，则$$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$$。
$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{2}{\sqrt{5}} \times \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -\frac{4}{5}$$。
分子：$$\sin \theta (1 + \sin 2\theta) = \frac{2}{\sqrt{5}} \left(1 - \frac{4}{5}\right) = \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5 \sqrt{5}}$$。
分母：$$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$。
所以原式$$= \frac{\frac{2}{5 \sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{2}{5}$$。
答案为：C。
3. 已知$$2 \sin (\pi - \alpha) = 3 \sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$$，则$$\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha =$$
解析：
化简得$$2 \sin \alpha = 3 \cos \alpha$$，即$$\tan \alpha = \frac{3}{2}$$。
设$$\alpha$$在第一象限，则$$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$$，$$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$$。
原式$$= \frac{3}{\sqrt{13}} \times \frac{2}{\sqrt{13}} + \left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 - \left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^2 = \frac{6}{13} + \frac{4}{13} - \frac{9}{13} = \frac{1}{13}$$。
答案为：D。
4. 已知$$\tan (\pi - \theta) = 3$$，则$$\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) - \cos (\pi - \theta)}{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) - \sin (\pi - \theta)} =$$
解析：
由$$\tan (\pi - \theta) = -\tan \theta = 3$$，得$$\tan \theta = -3$$。
设$$\theta$$在第二象限，则$$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$$，$$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{10}}$$。
分子：$$\cos \theta - (-\cos \theta) = 2 \cos \theta = -\frac{2}{\sqrt{10}}$$。
分母：$$\cos \theta - \sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{10}} - \frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{4}{\sqrt{10}}$$。
原式$$= \frac{-\frac{2}{\sqrt{10}}}{-\frac{4}{\sqrt{10}}} = \frac{1}{2}$$。
答案为：D。
6. 已知$$\sin \alpha = -2 \cos \alpha$$，则$$2 \sin \alpha \cos \alpha - \cos^2 \alpha =$$
解析：
由$$\sin \alpha = -2 \cos \alpha$$，平方得$$\sin^2 \alpha = 4 \cos^2 \alpha$$。
利用$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，得$$5 \cos^2 \alpha = 1$$，即$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$$。
原式$$= 2 \times (-2 \cos \alpha) \times \cos \alpha - \cos^2 \alpha = -4 \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -5 \cos^2 \alpha = -1$$。
答案为：B。
7. 若$$3 \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) + \cos (\pi + \theta) = 0$$，则$$\cos^2 \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta =$$
解析：
化简得$$3 \sin \theta - \cos \theta = 0$$，即$$\tan \theta = \frac{1}{3}$$。
设$$\theta$$在第一象限，则$$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$$，$$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$$。
原式$$= \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 + \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{10}} \times \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{9}{10} + \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$$。
答案为：C。
8. 已知直线$$l$$过点$$(-3, 0)$$且倾斜角为$$\alpha$$，若$$l$$与圆$$x^2 + (y - 2)^2 = 4$$相切，则$$\cos 2\alpha =$$
解析：
直线方程为$$y = \tan \alpha (x + 3)$$，即$$\tan \alpha x - y + 3 \tan \alpha = 0$$。
圆心$$(0, 2)$$到直线的距离等于半径$$2$$：
$$\frac{|3 \tan \alpha - 2|}{\sqrt{\tan^2 \alpha + 1}} = 2$$。
平方得$$(3 \tan \alpha - 2)^2 = 4 (\tan^2 \alpha + 1)$$，解得$$\tan \alpha = 0$$或$$\tan \alpha = \frac{12}{5}$$。
当$$\tan \alpha = 0$$时，$$\cos 2\alpha = 1$$；
当$$\tan \alpha = \frac{12}{5}$$时，$$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - \left(\frac{12}{5}\right)^2}{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2} = -\frac{119}{169}$$。
答案为：C。
9. 已知角$$\alpha$$的始边与$$x$$轴的非负半轴重合，终边上一点$$P(-3, 4)$$，则$$\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} =$$
解析：
由点$$P(-3, 4)$$得$$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，$$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$。
原式$$= \frac{-\frac{3}{5} + \frac{4}{5}}{-\frac{3}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{7}{5}} = -\frac{1}{7}$$。
答案为：A。
10. 已知角$$\theta$$的顶点在坐标原点，始边与$$x$$轴正半轴重合，终边在直线$$2x - y = 0$$上，则$$\frac{\sin \left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) + 2 \cos (5\pi - \theta)}{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) - \sin (\pi - \theta)} =$$
解析：
由终边在直线$$2x - y = 0$$上，得$$\tan \theta = 2$$。
设$$\theta$$在第一象限，则$$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$$。
分子：$$-\cos \theta + 2 (-\cos \theta) = -3 \cos \theta = -\frac{3}{\sqrt{5}}$$。
分母：$$\cos \theta - \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$$。
原式$$= \frac{-\frac{3}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = 3$$。
答案为：A。