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正确率60.0%我国著名数学家华罗庚于$${{2}{0}}$$世纪七十年代倡导的“$$0. 6 1 8$$优选法”在生产和科学实践中得到了非常广泛的应用$$\mathrm{， ~ 0. 6 1 8}$$是黄金分割比的近似值.把一条线段分割为长度为$${{a}}$$与$${{b}}$$的两部分，使得一部分长与全长之比恰好等于另一部分长与这部分长之比，即$$\frac{a} {a+b}=\frac{b} {a}，$$这个比值叫作黄金分割比.已经证明，以满足黄金分割比的$${{a}}$$为腰$${，{b}}$$为底边的等腰三角形的底角为$${{7}{2}^{∘}{，}}$$据此可以计算出该等腰三角形的顶角的余弦值为（）
C
A.$$\frac{{\sqrt5}-1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}+1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}+2} {5}$$
4、['等差数列的通项公式'， '三角函数中的数学文化'， '等差数列的基本量']正确率40.0%我国古代数学名著$${《}$$九章算术．均输$${》}$$中记载了这样一个问题：$${{“}}$$今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？$${{”}}$$，其意思为$${{“}}$$已知甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁$${、}$$戊五人分$${{5}}$$钱，甲$${、}$$乙两人所得与丙$${、}$$丁$${、}$$戊三人所得相同，且甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁$${、}$$戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？$${{”}{（}{“}}$$钱$${{”}}$$是古代一种重量单位），这个问题中，等差数列的通项公式为（）
D
A.$$- {\frac{1} {6}} n+{\frac{7} {6}} \， ( n \in N^{*}， \， n \leqslant5 )$$
B.$${\frac{1} {6}} n+{\frac{3} {2}} \ ( n \in N^{*}， \ n \leqslant5 )$$
C.$${\frac{1} {6}} n+{\frac{7} {6}} \ ( n \in N^{*}， \ n \leqslant5 )$$
D.$$- {\frac{1} {6}} n+{\frac{3} {2}} \， \， ( \， n \in N^{*}， \， \， n \leqslant5 )$$
7、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '三角形的面积（公式）'， '三角函数中的数学文化'， '解三角形中的最值（范围）问题'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作$${《}$$数书九章$${》}$$中叙述了已知三角形的三条边长$$a， ~ b， ~ c$$，求三角形面积的方法．其求法是：$${{“}}$$以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．$${{”}}$$若把以上这段文字写成公式，即为$${{S}{=}}$$$$\sqrt{\frac{1} {4} [ a^{2} c^{2}-( \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}} {2} )^{2} ]}$$.已知$${{△}}$$$${{A}{B}{C}}$$的三条边长为$$a， ~ b， ~ c$$，其面积为$${{1}{2}}$$，且$$a^{2}+c^{2}-b^{2}=1 4$$，则$${{△}}$$$${{A}{B}{C}}$$周长的最小值为（）
C
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{1}{8}}$$
9、['三角函数的其他应用'， '三角函数中的数学文化']正确率40.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年$${{3}}$$月$${{1}{4}}$$日是全球首个国际圆周率日（$${{π}}$$$${{D}{a}{y}}$$）．历史上，求圆周率$${{π}}$$的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔$${{⋅}}$$卡西的方法是：当正整数$${{n}}$$充分大时，计算单位圆的内接正$${{6}{n}}$$边形的周长和外切正$${{6}{n}}$$边形（各边均与圆相切的正$${{6}{n}}$$边形）的周长，将它们的算术平均数作为$${{2}{π}}$$的近似值．按照阿尔$${{⋅}}$$卡西的方法，$${{π}}$$的近似值的表达式是（）．
A
A.$$3 n \left( \operatorname{s i n} \frac{3 0^{\circ}} {n}+\operatorname{t a n} \frac{3 0^{\circ}} {n} \right)$$
B.$$6 n \left( \operatorname{s i n} \frac{3 0^{\circ}} {n}+\operatorname{t a n} \frac{3 0^{\circ}} {n} \right)$$
C.$$3 n \left( \operatorname{s i n} \frac{6 0^{\circ}} {n}+\operatorname{t a n} \frac{6 0^{\circ}} {n} \right)$$
D.$$6 n \left( \operatorname{s i n} \frac{6 0^{\circ}} {n}+\operatorname{t a n} \frac{6 0^{\circ}} {n} \right)$$
1. 黄金分割比问题：已知 $$\frac{a}{a+b} = \frac{b}{a}$$，设 $$\frac{b}{a} = x$$，则 $$\frac{a}{a+b} = \frac{1}{1+x} = x$$，解得 $$x^2 + x - 1 = 0$$，正根为 $$x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$。等腰三角形腰为 $$a$$，底为 $$b$$，底角 $$72^\circ$$，顶角 $$36^\circ$$。余弦定理：$$\cos 36^\circ = \frac{a^2 + a^2 - b^2}{2a^2} = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{b}{a} \right)^2 = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^2 = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{6-2\sqrt{5}}{4} = 1 - \frac{3-\sqrt{5}}{4} = \frac{4 - 3 + \sqrt{5}}{4} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$$。选项C为 $$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$，匹配。
答案：C
4. 等差数列问题：五人分5钱，甲、乙所得和等于丙、丁、戊所得和，且五人成等差数列。设首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$，则五项和 $$S_5 = 5a_1 + 10d = 5$$。前两项和等于后三项和：$$2a_1 + d = 3a_1 + 9d$$，化简得 $$a_1 + 8d = 0$$。联立方程：$$a_1 = -8d$$，代入和式：$$5(-8d) + 10d = 5$$，即 $$-40d + 10d = 5$$，$$-30d = 5$$，$$d = -\frac{1}{6}$$，则 $$a_1 = -8 \times (-\frac{1}{6}) = \frac{4}{3}$$。通项公式：$$a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{4}{3} - \frac{1}{6}(n-1) = \frac{8}{6} - \frac{1}{6}n + \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}n + \frac{9}{6} = -\frac{1}{6}n + \frac{3}{2}$$。选项D为 $$-\frac{1}{6}n + \frac{3}{2}$$，匹配。
答案：D
7. 三角形面积与周长问题：已知面积公式 $$S = \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} \right)^2 \right]}$$，代入 $$S = \frac{1}{2}$$ 和 $$a^2 + c^2 - b^2 = 14$$，得 $$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{14}{2} \right)^2 \right]} = \sqrt{\frac{1}{4} (a^2 c^2 - 49)}$$，两边平方：$$\frac{1}{4} = \frac{1}{4} (a^2 c^2 - 49)$$，即 $$a^2 c^2 = 50$$。由余弦定理 $$b^2 = a^2 + c^2 - 14$$。周长 $$P = a + b + c$$，最小化 $$P$$。利用不等式：$$a^2 + c^2 \geq 2ac$$，且 $$b = \sqrt{a^2 + c^2 - 14}$$。设 $$a = c$$ 时对称，由 $$a^2 c^2 = a^4 = 50$$，得 $$a = \sqrt[4]{50}$$，则 $$a^2 + c^2 = 2\sqrt{50} = 10\sqrt{2}$$，$$b = \sqrt{10\sqrt{2} - 14}$$，但需验证实际最小。更优方法：由 $$a^2 c^2 = 50$$ 和 $$a^2 + c^2 = b^2 + 14$$，周长 $$P = a + b + c$$，应用AM-GM和约束，得最小周长当 $$a = c$$ 时，计算得 $$P \approx 2\sqrt[4]{50} + \sqrt{10\sqrt{2} - 14}$$，数值约12.6，但选项最小为12。重新推导：面积公式实为海伦公式变形，已知 $$a^2 + c^2 - b^2 = 14$$ 和 $$ac = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$，由余弦定理 $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{14}{10\sqrt{2}} = \frac{7}{5\sqrt{2}}$$，面积 $$S = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{2} \times \sin B = \frac{1}{2}$$，得 $$\sin B = \frac{1}{5\sqrt{2}}$$。则 $$\sin^2 B + \cos^2 B = \frac{1}{50} + \frac{49}{50} = 1$$，一致。周长 $$P = a + b + c$$，由 $$b^2 = a^2 + c^2 - 14$$，且 $$a^2 + c^2 \geq 2ac = 10\sqrt{2}$$，故 $$b \geq \sqrt{10\sqrt{2} - 14}$$。但 $$10\sqrt{2} \approx 14.14$$，$$b \geq \sqrt{0.14} \approx 0.37$$。同时 $$a + c \geq 2\sqrt{ac} = 2\sqrt{5\sqrt{2}} \approx 2\sqrt{7.07} \approx 5.32$$，故 $$P \geq 5.32 + 0.37 = 5.69$$，但不对应选项。错误：实际需最小化确切值。由 $$a^2 c^2 = 50$$ 和 $$a^2 + c^2 = k$$，则 $$b = \sqrt{k - 14}$$，周长 $$P = a + c + b$$，且 $$(a + c)^2 = k + 2ac = k + 2\sqrt{50}$$，故 $$a + c = \sqrt{k + 2\sqrt{50}}$$，$$P = \sqrt{k + 2\sqrt{50}} + \sqrt{k - 14}$$。对 $$k \geq 14$$ 最小化，导数求极值，得 $$k = 14$$ 时 $$P = \sqrt{14 + 2\sqrt{50}} + 0 = \sqrt{14 + 10\sqrt{2}} \approx \sqrt{14 + 14.14} = \sqrt{28.14} \approx 5.3$$，仍太小。注意 $$k = a^2 + c^2 \geq 2ac = 2\sqrt{50} \approx 14.14$$，故 $$k_{\text{min}} = 14.14$$，此时 $$a = c = \sqrt[4]{50}$$，$$b = \sqrt{14.14 - 14} = \sqrt{0.14} \approx 0.37$$，$$P \approx 2\sqrt[4]{50} + 0.37 \approx 2 \times 2.66 + 0.37 = 5.69$$。但选项最小为12，矛盾。重新审题：面积 $$S = \frac{1}{2}$$，且 $$a^2 + c^2 - b^2 = 14$$，代入面积公式： $$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{14}{2} \right)^2 \right]} = \sqrt{\frac{1}{4} (a^2 c^2 - 49)}$$，平方得 $$\frac{1}{4} = \frac{1}{4} (a^2 c^2 - 49)$$，故 $$a^2 c^2 = 50$$，正确。但周长最小应更大。可能我误解：周长最小值当三角形退化？但面积固定非零。实际上，由 $$ac = \sqrt{50}$$ 和 $$a^2 + c^2 - b^2 = 14$$，及面积 $$S = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2}$$，得 $$\sin B = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$$。由余弦定理，$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{14}{2\sqrt{50}} = \frac{7}{\sqrt{50}}$$。则 $$b = \frac{a c \sin B}{\sin A}$$ 等，复杂。正确方法：利用海伦公式和约束，但或许直接求 $$a + b + c$$ 的最小值。由 $$a^2 + c^2 - b^2 = 14$$ 和 $$ac = \sqrt{50}$$，及 $$(a + c)^2 = a^2 + c^2 + 2ac = (b^2 + 14) + 2\sqrt{50}$$，故 $$a + c = \sqrt{b^2 + 14 + 2\sqrt{50}}$$。周长 $$P = \sqrt{b^2 + 14 + 2\sqrt{50}} + b$$。对 $$b > 0$$ 求导，令导数为零： $$\frac{b}{\sqrt{b^2 + 14 + 2\sqrt{50}}} + 1 = 0$$，无解，故单调增，最小值在 $$b$$ 最小时。但 $$b$$ 受三角形存在约束：由 $$a,c > 0$$ 和 $$|a-c| < b < a+c$$，但 $$a$$ 和 $$c$$ 相关 $$ac = \sqrt{50}$$，$$a^2 + c^2 = b^2 + 14$$。由AM-GM，$$a^2 + c^2 \geq 2ac = 2\sqrt{50}$$，故 $$b^2 + 14 \geq 2\sqrt{50}$$，$$b \geq \sqrt{2\sqrt{50} - 14} = \sqrt{2 \times 7.07 - 14} = \sqrt{14.14 - 14} = \sqrt{0.14} \approx 0.37$$。则 $$P_{\text{min}} = \sqrt{0.14 + 14 + 2\sqrt{50}} + 0.37 = \sqrt{14.14 + 14.14} + 0.37 = \sqrt{28.28} + 0.37 \approx 5.32 + 0.37 = 5.69$$，仍远小于12。可能题目有误或我误读。再看选项，最小12，可能 $$S = 12$$？但题为 $$S = \frac{1}{2}$$。或 $$a^2 + c^2 - b^2 = 14$$ 是其他。可能面积公式中 $$S = \frac{1}{2}$$ 是值，但求周长最小。另可能：秦九韶公式等价于 $$S = \frac{1}{2} ac \sin B$$，且 $$a^2 + c^2 - b^2 = 2ac \cos B = 14$$，故 $$ac \cos B = 7$$。又 $$S = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2}$$，故 $$ac \sin B = 1$$。则 $$(ac)^2 = (\ac \cos B)^2 + (ac \sin B)^2 = 49 + 1 = 50$$，一致。则 $$ac = \sqrt{50}$$。现在 $$a + c \geq 2\sqrt{ac} = 2\sqrt[4]{50} \approx 5.32$$，且 $$b = \frac{2ac \cos B}{a + c}?$$ 不直接。由余弦定理 $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B = (a + c)^2 - 2ac - 2ac \cos B = (a + c)^2 - 2ac(1 + \cos B)$$。但 $$\cos B = \frac{7}{ac} = \frac{7}{\sqrt{50}}$$，$$\sin B = \frac{1}{ac} = \frac{1}{\sqrt{50}}$$。则 $$1 + \cos B = 1 + \frac{7}{\sqrt{50}}$$。为最小化 $$P = a + c + b$$，设 $$t = a + c$$，则 $$b = \sqrt{t^2 - 2\sqrt{50}(1 + \frac{7}{\sqrt{50}})} = \sqrt{t^2 - 2\sqrt{50} - 14}$$。故 $$P = t + \sqrt{t^2 - 2\sqrt{50} - 14}$$。对 $$t \geq \sqrt{2\sqrt{50}} = \sqrt{14.14} = 3.76$$，求导，最小值在导数零点，解得 $$t$$ 较大时 $$P$$ 大。当 $$t \to \infty$$，$$P \approx t + t = 2t \to \infty$$，故有最小值。求导： $$\frac{dP}{dt} = 1 + \frac{t}{\sqrt{t^2 - 2\sqrt{50} - 14}} = 0$$ 无解，故单调增，最小值在 $$t$$ 最小时，即 $$t = \sqrt{2\sqrt{50}} = \sqrt{14.14} = 3.76$$，则 $$b = \sqrt{14.14 - 14.14 - 14} = \sqrt{-14}$$，不现实。错误： $$t^2 - 2\sqrt{50} - 14$$ 必须非负，故 $$t \geq \sqrt{2\sqrt{50} + 14} = \sqrt{14.14 + 14} = \sqrt{28.14} = 5.3$$。则 $$P_{\text{min}} = 5.3 + \sqrt{28.14 - 14.14 - 14} = 5.3 + \sqrt{0} = 5.3$$。仍不对。可能题目中 $$S = 12$$ 而非 $$\frac{1}{2}$$？但题为"面积为12"？看题："其面积为12"，我误读为1/2？题中为"其面积为12"，是的，"面积为12"！我读错： "其面积为12" 不是1/2。重看："其面积为12"。
更正：面积 $$S = 12$$，且 $$a^2 + c^2 - b^2 = 14$$。则 $$12 = \sqrt{\frac{1}{4} (a^2 c^2 - 49)}$$，平方得 $$144 = \frac{1}{4} (a^2 c^2 - 49)$$，即 $$a^2 c^2 - 49 = 576$$，$$a^2 c^2 = 625$$，$$ac = 25$$。由余弦定理， $$a^2 + c^2 - b^2 = 2ac \cos B = 50 \cos B = 14$$，故 $$\cos B = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$$。面积 $$S = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{25}{2} \sin B = 12$$，故 $$\sin B = \frac{24}{25}$$。一致。现在周长 $$P = a + b + c$$。由 $$(a + c)^2 = a^2 + c^2 + 2ac = (b^2 + 14) + 50 = b^2 + 64$$，故 $$a + c = \sqrt{b^2 + 64}$$。 $$P = \sqrt{b^2 + 64} + b$$。对 $$b > 0$$ 求导： $$\frac{dP}{db} = \frac{b}{\sqrt{b^2 + 64}} + 1 > 0$$，故 $$P$$ 随 $$b$$ 增大而增大，最小值在 $$b$$ 最小时。由三角形存在， $$b > 0$$，且 $$|a-c| < b < a+c$$。由 $$a^2 + c^2 = b^2 + 14$$ 和 $$ac = 25$$，由AM-GM， $$a^2 + c^2 \geq 2ac = 50$$，故 $$b^2 + 14 \geq 50$$，$$b \geq \sqrt{36} = 6$$。当 $$a = c = 5$$ 时， $$b^2 = a^2 + c^2 - 14 = 25 + 25 - 14 = 36$$，$$b = 6$$。此时 $$P = 5 + 5 + 6 = 16$$。选项有16，为C。
答案：C
9. π的近似值问题：单位圆的内接正6n边形和外切正6n边形的周长算术平均数作为2π的近似。单位圆半径R=1。内接正6n边形每边中心角 $$\theta = \frac{360^\circ}{6n} = \frac{60^\circ}{n}$$，边长 $$s_i = 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱