三角函数与二次函数的综合应用-三角函数的拓展与综合知识点教师选题进阶自测题答案-宁夏回族自治区等高一数学必修,平均正确率46.0%

1. 解析：

将方程 $$ \cos 2x + \cos x - m = 0 $$ 转化为关于 $$ \cos x $$ 的二次方程：

$$ 2\cos^2 x + \cos x - 1 - m = 0 $$

设 $$ t = \cos x $$，由于 $$ x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$，则 $$ t \in [0, 1] $$。

方程变为 $$ 2t^2 + t - (1 + m) = 0 $$，要求存在 $$ t \in [0, 1] $$ 使得方程成立。

判别式 $$ \Delta = 1 + 8(1 + m) \geq 0 $$，即 $$ m \geq -\frac{9}{8} $$。

求函数 $$ f(t) = 2t^2 + t $$ 在 $$ [0, 1] $$ 的值域：

$$ f(0) = 0 $$，$$ f(1) = 3 $$，因此 $$ 0 \leq 1 + m \leq 3 $$，即 $$ -1 \leq m \leq 2 $$。

综合判别式和值域限制，$$ m \in \left[-\frac{9}{8}, 2\right] $$，但选项中只有 $$ \left[-\frac{9}{8}, 1\right] $$ 符合部分范围，结合题目描述可能为 $$ \boxed{B} $$。

2. 解析：

将函数 $$ y = -\sin^2 x - 4\cos x + 6 $$ 转化为关于 $$ \cos x $$ 的表达式：

$$ y = - (1 - \cos^2 x) - 4\cos x + 6 = \cos^2 x - 4\cos x + 5 $$

设 $$ t = \cos x $$，则 $$ t \in [-1, 1] $$，函数变为 $$ y = t^2 - 4t + 5 $$。

求二次函数在 $$ [-1, 1] $$ 的最小值和最大值：

$$ y(-1) = 1 + 4 + 5 = 10 $$，$$ y(1) = 1 - 4 + 5 = 2 $$。

因此值域为 $$ \boxed{A} $$。

3. 解析：

函数 $$ y = a \sin x + a \cos x = a (\sin x + \cos x) $$，其中 $$ a < 0 $$。

$$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) $$，在 $$ x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $$ 时，$$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right] $$。

因此 $$ y \in \left[a, \sqrt{2}a\right) $$，由于 $$ a < 0 $$，值域为 $$ \boxed{D} $$。

4. 解析：

函数 $$ f(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) $$，值域为 $$ [-1, \sqrt{2}] $$。

要求定义域 $$ [a, b] $$ 使得值域为 $$ [-1, \sqrt{2}] $$，则至少包含一个 $$ x $$ 使得 $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} $$ 和一个 $$ x $$ 使得 $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 $$。

解得 $$ x + \frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right] $$ 或 $$ \left[\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right] $$。

因此 $$ b - a $$ 的最小值为 $$ \frac{\pi}{2} $$，最大值为 $$ \frac{3\pi}{2} $$，选项 $$ \boxed{C} $$ 符合。

5. 解析：

函数 $$ f(x) = \cos 2x - a \sin x = 1 - 2\sin^2 x - a \sin x $$。

设 $$ t = \sin x $$，则 $$ t \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) $$，函数变为 $$ f(t) = -2t^2 - a t + 1 $$。

要求 $$ f(t) $$ 在 $$ \left(\frac{1}{2}, 1\right) $$ 单调递增，即导数 $$ f'(t) = -4t - a > 0 $$ 对所有 $$ t \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) $$ 成立。

因此 $$ a < -4t $$，由于 $$ t > \frac{1}{2} $$，$$ a \leq -4 \times 1 = -4 $$。

选项 $$ \boxed{D} $$ 符合。

6. 解析：

函数 $$ y = \cos^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x + \sin x $$。

设 $$ t = \sin x $$，由于 $$ |x| \leq \frac{\pi}{4} $$，则 $$ t \in \left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right] $$。

函数变为 $$ y = -t^2 + t + 1 $$，求最小值：

在 $$ t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ 时，$$ y = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} $$。

因此最小值为 $$ \boxed{D} $$。

7. 解析：

函数 $$ f(x) = \cos 2x + 8 \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \cos 2x + 8 \sin x $$。

利用 $$ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $$，函数变为 $$ f(x) = -2\sin^2 x + 8\sin x + 1 $$。

设 $$ t = \sin x $$，则 $$ t \in [-1, 1] $$，求二次函数 $$ f(t) = -2t^2 + 8t + 1 $$ 的最大值：

在 $$ t = 1 $$ 时，$$ f(1) = -2 + 8 + 1 = 7 $$。

因此最大值为 $$ \boxed{B} $$。

8. 解析：

函数 $$ f(x) = 2\cos^2 x + \sin x = 2(1 - \sin^2 x) + \sin x = -2\sin^2 x + \sin x + 2 $$。

设 $$ t = \sin x $$，则 $$ t \in [-1, 1] $$，求二次函数 $$ f(t) = -2t^2 + t + 2 $$ 的最小值：

在 $$ t = -1 $$ 时，$$ f(-1) = -2 - 1 + 2 = -1 $$。

因此最小值为 $$ \boxed{D} $$。

9. 解析：

分段函数 $$ f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, & x \leq 0 \\ \ln(x + 1), & x > 1 \end{cases} $$。

对于 $$ x \leq 0 $$，$$ |f(x)| = x^2 - 2x $$，要求 $$ x^2 - 2x \geq a x $$，即 $$ x^2 - (2 + a)x \geq 0 $$。

对于 $$ x > 1 $$，$$ |f(x)| = \ln(x + 1) $$，要求 $$ \ln(x + 1) \geq a x $$。

综合分析，$$ a \leq 0 $$ 时不等式成立，因此 $$ a \in (-\infty, 0] $$，选项 $$ \boxed{A} $$ 符合。

10. 解析：

利用正弦定理，将 $$ (a - b)(\sin A + \sin B) = (c - b) \sin C $$ 转化为边长关系：

$$ (a - b)(a + b) = (c - b)c $$，即 $$ a^2 - b^2 = c^2 - b c $$。

结合余弦定理 $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$，代入得 $$ b^2 + c^2 - 2bc \cos A - b^2 = c^2 - b c $$，化简得 $$ \cos A = \frac{1}{2} $$。

因此 $$ A = \frac{\pi}{3} $$，选项 $$ \boxed{B} $$ 正确。