齐次式的求值问题-三角函数的拓展与综合知识点教师选题基础选择题自测题解析-陕西省等高一数学必修,平均正确率60.0%

1、['利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%若$$\mathrm{s i n} \alpha+\mathrm{c o s} \alpha=\frac{1} {3}， \， \， \， \alpha\in( 0， \， \， \pi)，$$则$$\frac{1+\mathrm{t a n} \alpha} {1-\mathrm{t a n} \alpha}=$$（）

A.$$\frac{\sqrt{1 7}} {1 7}$$

B.$$- \frac{\sqrt{1 7}} {1 7}$$

C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {1 5}$$

D.$$- \frac{\sqrt{1 5}} {1 5}$$

2、['两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=-3，$$则$${{c}{o}{s}{2}{α}{+}{2}{{s}{i}{n}}{2}{α}{=}}$$（）

A.$$\frac{9} {5}$$

B.$${{1}}$$

C.$$- \frac{3} {5}$$

D.$$- \frac{7} {5}$$

3、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} ~ ( \pi-\alpha) ~=-\frac{2} {3}，$$且$$\alpha\in\textsubscript{(}-\pi， \emph{-} \frac{\pi} {2} \textsubscript{)} \;，$$则$$\frac{\operatorname{c o s} (-\alpha)+3 \operatorname{s i n} ( \pi+\alpha)} {\operatorname{c o s} ( \pi-\alpha)+9 \operatorname{s i n} \alpha}$$的值为（）

A.$$- \frac{1} {5}$$

B.$$- \frac{3} {7}$$

C.$$\frac{1} {5}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$

4、['利用诱导公式求值'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$${{t}{a}{n}{(}{π}{−}{θ}{)}{=}{3}}$$，则 $$\frac{\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\theta\right)-\operatorname{c o s} \left( \pi-\theta\right)} {\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}-\theta\right)-\operatorname{s i n} \left( \pi-\theta\right)}=$$（）

A.$${{−}{1}}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

5、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']

正确率80.0%若$$\operatorname{t a n} \alpha=2， ~ ~ \mathbb{A} ~ \frac{\operatorname{s i n} \alpha-3 \operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha}$$的值是（）

A.$$- \frac{1} {3}$$

B.$$- \frac{5} {3}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\frac{5} {3}$$

6、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} \alpha=\frac{2} {3}，$$则$${{s}{i}{n}{2}{α}{=}{(}{)}}$$

A.$$\frac{1 2} {1 3}$$

B.$$- \frac{1 2} {1 3}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{1 3}} {1 3}$$

D.$$- \frac{2 \sqrt{1 3}} {1 3}$$

7、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$${{s}{i}{n}{α}{−}{2}{{c}{o}{s}}{α}{=}{0}{，}}$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha} {3 \operatorname{c o s} \alpha-\operatorname{s i n} \alpha}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$

A.$$- \frac{1} {5}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {5}$$

D.$${{2}}$$

8、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%若$${{s}{i}{n}{α}{=}{2}{{c}{o}{s}}{（}{π}{+}{α}{）}}$$，则$$\operatorname{s i n} \alpha( 1-2 \operatorname{s i n}^{2} \frac{\alpha} {2} )=~ ($$）

A.$$\frac{5} {2}$$

B.$$- \frac{5} {2}$$

C.$$\frac{2} {5}$$

D.$$- \frac{2} {5}$$

9、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']

正确率40.0%若$${{t}{a}{n}{θ}{=}{−}{2}}$$，则$$\frac{\operatorname{s i n} \theta( 1+\operatorname{s i n} 2 \theta)} {\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta}=$$（）

A.$$- \frac{6} {5}$$

B.$$- \frac{2} {5}$$

C.$$\frac{2} {5}$$

D.$$\frac{6} {5}$$

10、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知角$${{α}}$$的终边与单位圆交于点$$\left( \frac{3} {5}， \ y_{0} \right)$$，则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+2 \mathrm{c o s} \， \alpha} {3 \mathrm{s i n} \， \alpha-\operatorname{c o s} \alpha}=$$（）

A.$$\frac{1 0} {9}$$

B.$$- \frac{1 0} {9}$$或$$- \frac{2} {1 5}$$

C.$$\frac{1 0} {9}$$或$$- \frac{2} {1 5}$$

D.$$\frac{1} {5}$$

1. 已知 $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}$$，且 $$\alpha \in (0, \pi)$$。求 $$\frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$$ 的值。

首先，平方两边得到：$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{1}{9}$$，展开后为 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9}$$。由于 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，所以 $$2 \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{8}{9}$$，即 $$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{4}{9}$$。

设 $$\sin \alpha = a$$，$$\cos \alpha = b$$，则 $$a + b = \frac{1}{3}$$，$$ab = -\frac{4}{9}$$。解方程 $$t^2 - \frac{1}{3}t - \frac{4}{9} = 0$$，得 $$t = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{6}$$。由于 $$\alpha \in (0, \pi)$$，且 $$\sin \alpha \cos \alpha < 0$$，说明 $$\alpha$$ 在第二象限，因此 $$\sin \alpha = \frac{1 + \sqrt{17}}{6}$$，$$\cos \alpha = \frac{1 - \sqrt{17}}{6}$$。

计算 $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 + \sqrt{17}}{1 - \sqrt{17}}$$。代入 $$\frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$$，化简后得到 $$\frac{\sqrt{17}}{17}$$。因此，答案为 A。

2. 已知 $$\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = -3$$，求 $$\cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha$$ 的值。

利用和角公式，$$\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = -3$$，解得 $$\tan \alpha = 2$$。

利用 $$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$$，而 $$2 \sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha = 1 - \left( -\frac{3}{5} \right) = \frac{8}{5}$$。

因此，$$\cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha = -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} = 1$$。答案为 B。

3. 已知 $$\tan (\pi - \alpha) = -\frac{2}{3}$$，且 $$\alpha \in (-\pi, -\frac{\pi}{2})$$，求 $$\frac{\cos (-\alpha) + 3 \sin (\pi + \alpha)}{\cos (\pi - \alpha) + 9 \sin \alpha}$$ 的值。

由 $$\tan (\pi - \alpha) = -\tan \alpha = -\frac{2}{3}$$，得 $$\tan \alpha = \frac{2}{3}$$。

化简表达式：$$\frac{\cos \alpha - 3 \sin \alpha}{-\cos \alpha + 9 \sin \alpha}$$。分子分母同除以 $$\cos \alpha$$，得 $$\frac{1 - 3 \tan \alpha}{-1 + 9 \tan \alpha} = \frac{1 - 2}{-1 + 6} = -\frac{1}{5}$$。答案为 A。

4. 已知 $$\tan (\pi - \theta) = 3$$，求 $$\frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) - \cos (\pi - \theta)}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) - \sin (\pi - \theta)}$$ 的值。

由 $$\tan (\pi - \theta) = -\tan \theta = 3$$，得 $$\tan \theta = -3$$。

化简表达式：$$\frac{\cos \theta + \cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta} = \frac{2 \cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta}$$。分子分母同除以 $$\cos \theta$$，得 $$\frac{2}{1 - \tan \theta} = \frac{2}{1 - (-3)} = \frac{1}{2}$$。答案为 D。

5. 已知 $$\tan \alpha = 2$$，求 $$\frac{\sin \alpha - 3 \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$$ 的值。

分子分母同除以 $$\cos \alpha$$，得 $$\frac{\tan \alpha - 3}{\tan \alpha + 1} = \frac{2 - 3}{2 + 1} = -\frac{1}{3}$$。答案为 A。

6. 已知 $$\tan \alpha = \frac{2}{3}$$，求 $$\sin 2\alpha$$ 的值。

利用 $$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2 \times \frac{2}{3}}{1 + \left( \frac{2}{3} \right)^2} = \frac{\frac{4}{3}}{1 + \frac{4}{9}} = \frac{12}{13}$$。答案为 A。

7. 已知 $$\sin \alpha - 2 \cos \alpha = 0$$，求 $$\frac{\sin \alpha}{3 \cos \alpha - \sin \alpha}$$ 的值。

由 $$\sin \alpha = 2 \cos \alpha$$，代入得 $$\frac{2 \cos \alpha}{3 \cos \alpha - 2 \cos \alpha} = \frac{2 \cos \alpha}{\cos \alpha} = 2$$。答案为 D。

8. 已知 $$\sin \alpha = 2 \cos (\pi + \alpha)$$，求 $$\sin \alpha \left( 1 - 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right)$$ 的值。

由 $$\cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha$$，得 $$\sin \alpha = -2 \cos \alpha$$，即 $$\tan \alpha = -2$$。

利用 $$1 - 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha$$，所以表达式为 $$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$$。由 $$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{-4}{5}$$，因此结果为 $$-\frac{2}{5}$$。答案为 D。

9. 已知 $$\tan \theta = -2$$，求 $$\frac{\sin \theta (1 + \sin 2\theta)}{\sin \theta + \cos \theta}$$ 的值。

利用 $$\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{-4}{5}$$，表达式化简为 $$\frac{\sin \theta \left( 1 - \frac{4}{5} \right)}{\sin \theta + \cos \theta} = \frac{\frac{1}{5} \sin \theta}{\sin \theta + \cos \theta}$$。分子分母同除以 $$\cos \theta$$，得 $$\frac{\frac{1}{5} \tan \theta}{\tan \theta + 1} = \frac{\frac{1}{5} \times (-2)}{-2 + 1} = \frac{2}{5}$$。答案为 C。

10. 已知角 $$\alpha$$ 的终边与单位圆交于点 $$\left( \frac{3}{5}, y_0 \right)$$，求 $$\frac{\sin \alpha + 2 \cos \alpha}{3 \sin \alpha - \cos \alpha}$$ 的值。

由单位圆性质，$$\cos \alpha = \frac{3}{5}$$，$$\sin \alpha = \pm \frac{4}{5}$$。

当 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$ 时，表达式为 $$\frac{\frac{4}{5} + 2 \times \frac{3}{5}}{3 \times \frac{4}{5} - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{10}{5}}{\frac{9}{5}} = \frac{10}{9}$$。

当 $$\sin \alpha = -\frac{4}{5}$$ 时，表达式为 $$\frac{-\frac{4}{5} + 2 \times \frac{3}{5}}{3 \times \left( -\frac{4}{5} \right) - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{15}{5}} = -\frac{2}{15}$$。

因此，答案为 C。

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