三角函数与二次函数的综合应用-三角函数的拓展与综合知识点专题进阶自测题答案-海南省等高一数学必修,平均正确率46.0%

1、['函数的最大(小)值'， '函数求值域'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=3-\operatorname{s i n} x-2 \operatorname{c o s}^{2} x， \begin{matrix} {x \in[ \frac{\pi} {6}， \frac{7 \pi} {6} ]} \\ \end{matrix}$$，则函数的最大值与最小值之差为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{5} {8}$$

C.$$\frac{7} {8}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\underset{\frac{9} {8}}} \\ \end{array}$$

2、['正切（型）函数的定义域与值域'， '三角函数与二次函数的综合应用']

正确率60.0%函数$$y=\operatorname{t a n}^{2} x-\operatorname{t a n} x+2， ~ x \in\left[-\frac{\pi} {4}， ~ \frac{\pi} {4} \right]$$的值域为（）

A.$$[ \frac{7} {4}， ~+\infty)$$

B.$$\left[ \frac{7} {4}， \ 2 \right]$$

C.$$\left[ \frac{7} {4}， \， 4 \right]$$

D.$$[ 2， ~ 4 ]$$

3、['三角函数与二次函数的综合应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x$$的定义域为$$[ a， b ]$$，值域为$$[-1， \sqrt{2} ]$$，则$${{b}{−}{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{3 \pi} {4}， \frac{\pi} {2} ]$$

B.$$[ \frac{\pi} {2}， \frac{3 \pi} {4} ]$$

C.$$[ \frac{\pi} {2}， \frac{3 \pi} {2} ]$$

D.$$[ \frac{3 \pi} {4}， \frac{3 \pi} {2} ]$$

4、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '向量的数量积的定义']

正确率40.0%已知平面非零向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$满足$$\vec{a} \cdot\vec{b}=| 2 \vec{a}+\vec{b} |$$，则$$| \vec{a} | \cdot| \vec{b} |$$的最小值为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{6}}$$

5、['三角函数与二次函数的综合应用'， '三角恒等变换']

正确率40.0%定义：正割$$\operatorname{s e c} \alpha=\frac{1} {\operatorname{c o s} \alpha}$$，余割$$\operatorname{c s c} \alpha=\frac{1} {\operatorname{s i n} \alpha}.$$已知$${{m}}$$为正实数，且$$m \cdot c s c^{2} x+t a n^{2} x \geq1 5$$对任意的实数$$x ( x \neq k \pi+\frac{\pi} {2}， k \in Z )$$均成立，则$${{m}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{9}}$$

6、['三角函数与二次函数的综合应用'， '辅助角公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']

正确率60.0%若$$0 < x \leq\frac{\pi} {3}$$，则函数$$y=\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x+\operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x$$的值域是（）

A.$$[-1， ~+\infty)$$

B.$$[-1， ~ 2 ]$$

C.$$( \ 0， \ 2 ]$$

D.$$( 1， ~ \sqrt{2}+\frac{1} {2} ]$$

7、['三角函数与二次函数的综合应用'， '同角三角函数的平方关系'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%svg异常

A.$$[ 0， 8 ]$$

B.$$[-1， 8 ]$$

C.$$[ 0， 5 ]$$

D.$$[-1，+\infty)$$

8、['向量在几何中的应用举例'， '两角和与差的余弦公式'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '两角和与差的正弦公式'， '两角和与差的正切公式']

正确率60.0%已知矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$的边$$A B=4， ~ ~ A D=1$$，点$${{P}}$$为边$${{A}{B}}$$上一动点，则当$${{∠}{D}{P}{C}}$$最大时，线段$${{A}{P}}$$的长为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$或$${{3}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{1}{.}{5}}$$或$${{2}{.}{5}}$$

9、['三角函数与二次函数的综合应用'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%已知方程$$2 \operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} 2 x-m=0$$在区间$$[-\frac{\pi} {2}， \frac{\pi} {2} ]$$有解，则实数$${{m}}$$的取值范围为

A.$$[-\frac{3} {2}， 1 ]$$

B.$$[-1， 1 ]$$

C.$$[-\frac{3} {2}， 3 ]$$

D.$$[-1， 3 ]$$

10、['导数与极值'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x+\operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x+1$$，则下列说法中正确的是（）

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$关于$$( 0， 1 )$$中心对称

B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的极小值为$$\frac1 2-\sqrt{2}$$

C.$${{f}{(}{x}{)}}$$图象的一条对称轴为$$x=\frac{\pi} {4}$$

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{π}}$$

1. 解析：首先将函数化简为关于$$\sin x$$的二次函数：$$f(x) = 3 - \sin x - 2(1 - \sin^2 x) = 2\sin^2 x - \sin x + 1$$。设$$t = \sin x$$，由于$$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right]$$，$$t \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]$$。函数变为$$g(t) = 2t^2 - t + 1$$，对称轴为$$t = \frac{1}{4}$$。计算端点及极值点：$$g\left(-\frac{1}{2}\right) = 2$$，$$g(1) = 2$$，$$g\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{7}{8}$$。因此最大值与最小值之差为$$2 - \frac{7}{8} = \frac{9}{8}$$，选D。

2. 解析：设$$t = \tan x$$，由于$$x \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$，$$t \in [-1, 1]$$。函数变为$$y = t^2 - t + 2$$，对称轴为$$t = \frac{1}{2}$$。计算端点及极值点：$$y(-1) = 4$$，$$y(1) = 2$$，$$y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{4}$$。因此值域为$$\left[\frac{7}{4}, 4\right]$$，选C。

3. 解析：函数$$f(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$，值域为$$[-1, \sqrt{2}]$$。设$$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in [-1, \sqrt{2}]$$，解得$$x + \frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\right]$$。因此区间长度$$b - a$$的最小值为$$\frac{\pi}{2}$$（如$$[-\frac{\pi}{2}, 0]$$），最大值为$$\frac{3\pi}{2}$$（如$$[-\frac{\pi}{2}, \pi]$$）。选C。

4. 解析：由题意$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |2\vec{a} + \vec{b}|$$，平方得$$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b}$$。设$$\theta$$为夹角，化简得$$|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\cos^2\theta = 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$。令$$t = |\vec{b}|/|\vec{a}|$$，整理为$$t^2\cos^2\theta - 4t\cos\theta - 4 - t^2 = 0$$。为使方程有解，判别式$$\Delta \geq 0$$，解得$$t \geq 2$$。因此$$|\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{a}|^2 t \geq 4$$（当$$|\vec{a}| = 1$$，$$|\vec{b}| = 2$$时取等），选B。

5. 解析：将不等式化为$$m \cdot \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \geq 15$$。设$$u = \sin^2 x$$，则$$m \cdot \frac{1}{u} + \frac{u}{1 - u} \geq 15$$。令$$f(u) = \frac{m}{u} + \frac{u}{1 - u}$$，求导得极值点$$u = \frac{m}{m + 1}$$。代入得$$m + \sqrt{m} \geq 15$$，解得$$m \geq 9$$（当$$u = \frac{9}{10}$$时取等），选D。

6. 解析：设$$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$，由于$$x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right]$$，$$t \in \left(1, \sqrt{2}\right]$$。函数变为$$y = t + \frac{t^2 - 1}{2} = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2}$$，对称轴为$$t = -1$$，在区间内单调递增。因此值域为$$(1, \sqrt{2} + \frac{1}{2}]$$，选D。

7. 解析：题目不完整，无法解答。

8. 解析：设$$AP = x$$，则$$PB = 4 - x$$。利用正切函数求$$\angle DPC$$的正切值：$$\tan \angle DPC = \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x}}{1 - \frac{1}{x(4 - x)}}$$。化简后求导或对称性分析，当$$x = 2$$时$$\angle DPC$$最大，选B。

9. 解析：方程化为$$2\sin x - (1 - 2\sin^2 x) - m = 0$$，即$$2\sin^2 x + 2\sin x - 1 = m$$。设$$t = \sin x$$，$$x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$时$$t \in [-1, 1]$$。函数$$g(t) = 2t^2 + 2t - 1$$在$$[-1, 1]$$的最小值为$$g\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}$$，最大值为$$g(1) = 3$$。因此$$m \in \left[-\frac{3}{2}, 3\right]$$，选C。

10. 解析：函数$$f(x) = \sin x + \cos x + \sin x \cos x + 1$$。验证对称性：$$f(-x) = -\sin x + \cos x - \sin x \cos x + 1 \neq f(x)$$，不关于$$(0, 1)$$对称，A错误。求导得极值点，可验证极小值为$$\frac{1}{2} - \sqrt{2}$$，B正确。$$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$不为极值点，C错误。周期为$$2\pi$$，D错误。选B。

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