1、['利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\mathrm{s i n} \alpha+\mathrm{c o s} \alpha=\frac{1} {3}， \， \， \， \alpha\in( 0， \， \， \pi)，$$则$$\frac{1+\mathrm{t a n} \alpha} {1-\mathrm{t a n} \alpha}=$$（）
B
A.$$\frac{\sqrt{1 7}} {1 7}$$
B.$$- \frac{\sqrt{1 7}} {1 7}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {1 5}$$
D.$$- \frac{\sqrt{1 5}} {1 5}$$
2、['利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知角$${{α}}$$是锐角，若$$\operatorname{s i n} \alpha， ~ \mathrm{c o s} \alpha$$是关于$${{x}}$$的方程$$x^{2}+m x+n=0$$的两个实数根，则实数$${{m}}$$和$${{n}}$$一定满足（）
B
A.$$m^{2}-4 n=0$$
B.$$m^{2}=2 n+1$$
C.$$m+n+1 \leqslant0$$
D.$${{m}{n}{>}{0}}$$
3、['一元二次方程根与系数的关系'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha， ~ \mathrm{c o s} \alpha$$是关于$${{x}}$$的方程$$x^{2}+a x-a=0 ( a \in\mathbf{R} )$$的两个实根，则$${{a}}$$的值是（）
C
A.$${{−}{1}{±}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{1}{±}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\sqrt{2}-1$$
D.$${{1}{−}{\sqrt {2}}}$$
4、['三角函数值在各象限的符号'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\mathrm{c o s} \theta=-\frac{7} {2 5}， \， \， \， \theta\in(-\pi， \， \， 0 )，$$则$$\operatorname{s i n} \frac{\theta} {2}+\operatorname{c o s} \frac{\theta} {2}=$$（）
D
A.$$\frac{1} {2 5}$$
B.$$\pm\frac{1} {5}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$$- \frac{1} {5}$$
5、['同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$$， ~ \operatorname{s i n} A \cdot\operatorname{c o s} A=-\frac{1} {8}，$$则$$\operatorname{c o s} A-\operatorname{s i n} A$$的值为（）
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$
6、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x=\frac{1} {5}， \， \， \， 0 \leqslant x \leqslant\pi，$$则$${{t}{a}{n}{x}}$$等于（）
B
A.$$- \frac{4} {3}$$或$$- \frac{3} {4}$$
B.$$- \frac{4} {3}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$\frac{4} {3}$$或$$\frac{3} {4}$$
7、['利用诱导公式化简'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率60.0%若$$\alpha\in\mathrm{\boldmath~ \left( ~ 0， ~ \pi~ \right) ~}， \mathrm{\boldmath~ \ s i n ~} \left( \pi-\alpha\right) \mathrm{\boldmath~+\cos\alpha~}=\frac{\sqrt{2}} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha$$的值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt2} 3$$
B.$$- \frac{\sqrt2} 3$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$$- \frac{4} {3}$$
8、['三角函数值在各象限的符号'， '两角和与差的正弦公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%已知$$8 \sqrt{2} \sin\ ( \， \alpha+\frac{\pi} {4} \， ) \ =1 5 \sin\alpha\cos\alpha\ ( \， \alpha\in\ ( \， 0， \ \pi) \ )$$，则$$\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha=$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt{4 1}} {5}$$
B.$$\frac{5 \sqrt{4 1}} {4 1}$$
C.$$- \frac{5 \sqrt{4 1}} {4 1}$$
D.$$- \frac{\sqrt{4 1}} {5}$$
9、['函数的最大(小)值'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}}$$$$2 \operatorname{s i n} x-3 \operatorname{c o s}^{2} x-\operatorname{c o s} x$$$$- 2 \operatorname{s i n} 2 x+3$$在$$[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$上的最小值为（）
C
A.$$- \frac{3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{5} {4}$$
D.$${{−}{1}}$$
10、['一元二次方程根与系数的关系'， '指数幂的运算中常用的乘法公式'， '同角三角函数的平方关系'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']正确率40.0%已知$${{s}{i}{n}{α}}$$和$${{c}{o}{s}{α}}$$是方程$$4 x^{2}+2 \sqrt{6} x+m=0$$的两个实数根，则$$\operatorname{s i n}^{3} \alpha+\operatorname{c o s}^{3} \alpha$$的值是（）
C
A.$$\pm\frac{5 \sqrt{2}} {8}$$
B.$$- \frac{5 \sqrt{2}} {8}$$
C.$$- \frac{3 \sqrt6} {8}$$
D.$$\pm\frac{3 \sqrt6} {8}$$
1. 解析：
已知 $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}$$，平方得：
$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9}$$
因为 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，所以：
$$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9} \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{4}{9}$$
计算 $$\sin \alpha - \cos \alpha$$ 的平方：
$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \left(-\frac{4}{9}\right) = \frac{17}{9}$$
因为 $$\alpha \in (0, \pi)$$ 且 $$\sin \alpha \cos \alpha < 0$$，所以 $$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，此时 $$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，故：
$$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{\sqrt{17}}{3}$$
解方程组：
$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}$$
$$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{\sqrt{17}}{3}$$
得：
$$\sin \alpha = \frac{1 + \sqrt{17}}{6}, \quad \cos \alpha = \frac{1 - \sqrt{17}}{6}$$
因此：
$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 + \sqrt{17}}{1 - \sqrt{17}}$$
化简 $$\frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$$：
$$\frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{1 + \frac{1 + \sqrt{17}}{1 - \sqrt{17}}}{1 - \frac{1 + \sqrt{17}}{1 - \sqrt{17}}} = \frac{(1 - \sqrt{17}) + (1 + \sqrt{17})}{(1 - \sqrt{17}) - (1 + \sqrt{17})} = \frac{2}{-2 \sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17}$$
故选 B。
2. 解析：
因为 $$\sin \alpha$$ 和 $$\cos \alpha$$ 是方程 $$x^2 + m x + n = 0$$ 的根，由韦达定理：
$$\sin \alpha + \cos \alpha = -m$$
$$\sin \alpha \cos \alpha = n$$
平方第一式：
$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = m^2 \Rightarrow \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = m^2$$
因为 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，所以：
$$1 + 2n = m^2 \Rightarrow m^2 = 2n + 1$$
故选 B。
3. 解析：
由韦达定理：
$$\sin \alpha + \cos \alpha = -a$$
$$\sin \alpha \cos \alpha = -a$$
平方第一式：
$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = a^2 \Rightarrow 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = a^2$$
代入第二式：
$$1 + 2(-a) = a^2 \Rightarrow a^2 + 2a - 1 = 0$$
解得：
$$a = -1 \pm \sqrt{2}$$
因为 $$\sin \alpha$$ 和 $$\cos \alpha$$ 是实数，判别式需满足：
$$a^2 - 4(-a) \geq 0 \Rightarrow a^2 + 4a \geq 0$$
验证 $$a = -1 + \sqrt{2}$$ 和 $$a = -1 - \sqrt{2}$$：
- 对于 $$a = -1 + \sqrt{2}$$，判别式 $$(-1 + \sqrt{2})^2 + 4(-1 + \sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} - 4 + 4\sqrt{2} = -1 + 2\sqrt{2} > 0$$；
- 对于 $$a = -1 - \sqrt{2}$$，判别式 $$(-1 - \sqrt{2})^2 + 4(-1 - \sqrt{2}) = 3 + 2\sqrt{2} - 4 - 4\sqrt{2} = -1 - 2\sqrt{2} < 0$$，舍去。
故 $$a = -1 + \sqrt{2}$$ 或 $$a = -1 - \sqrt{2}$$，但题目选项只有 $$a = -1 \pm \sqrt{2}$$，故选 A。
4. 解析：
已知 $$\cos \theta = -\frac{7}{25}$$，$$\theta \in (-\pi, 0)$$，所以 $$\theta \in \left(-\pi, -\frac{\pi}{2}\right)$$，$$\frac{\theta}{2} \in \left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}\right)$$。
计算 $$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2}$$：
设 $$x = \sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2}$$，平方得：
$$x^2 = \sin^2 \frac{\theta}{2} + \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = 1 + \sin \theta$$
因为 $$\cos \theta = -\frac{7}{25}$$，所以 $$\sin \theta = -\sqrt{1 - \cos^2 \theta} = -\frac{24}{25}$$（$$\theta$$ 在第三象限）。
因此：
$$x^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{5}$$
因为 $$\frac{\theta}{2} \in \left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}\right)$$，$$\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} < 0$$，故 $$x = -\frac{1}{5}$$。
故选 D。
5. 解析：
已知 $$\sin A \cos A = -\frac{1}{8}$$，所以：
$$(\cos A - \sin A)^2 = \cos^2 A + \sin^2 A - 2 \sin A \cos A = 1 - 2 \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{5}{4}$$
因为 $$\sin A \cos A < 0$$，$$A$$ 在第二象限，$$\cos A - \sin A < 0$$，故：
$$\cos A - \sin A = -\frac{\sqrt{5}}{2}$$
故选 B。
6. 解析：
设 $$\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$$，平方得：
$$\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{25} \Rightarrow 1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{25}$$
所以：
$$\sin x \cos x = -\frac{12}{25}$$
因为 $$0 \leq x \leq \pi$$，且 $$\sin x \cos x < 0$$，所以 $$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$。
设 $$\sin x = a$$，$$\cos x = b$$，则：
$$a + b = \frac{1}{5}, \quad a b = -\frac{12}{25}$$
解方程：
$$t^2 - \frac{1}{5} t - \frac{12}{25} = 0 \Rightarrow 25 t^2 - 5 t - 12 = 0$$
解得：
$$t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{50} = \frac{5 \pm 35}{50}$$
所以：
$$\sin x = \frac{4}{5}, \quad \cos x = -\frac{3}{5}$$
因此：
$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{4}{3}$$
故选 B。
7. 解析：
已知 $$\sin(\pi - \alpha) + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$$，化简得：
$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$$
平方得：
$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{2}{9} \Rightarrow 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{9}$$
所以：
$$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{7}{18}$$
计算 $$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2$$：
$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \left(-\frac{7}{18}\right) = \frac{16}{9}$$
因为 $$\alpha \in (0, \pi)$$ 且 $$\sin \alpha \cos \alpha < 0$$，所以 $$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，此时 $$\sin \alpha > 0$$，$$\cos \alpha < 0$$，故：
$$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{4}{3}$$
故选 C。
8. 解析：
化简方程：
$$8 \sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 15 \sin \alpha \cos \alpha$$
因为 $$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha)$$，所以：
$$8 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) = 15 \sin \alpha \cos \alpha$$
即：
$$8 (\sin \alpha + \cos \alpha) = 15 \sin \alpha \cos \alpha$$
设 $$\sin \alpha + \cos \alpha = t$$，则 $$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{t^2 - 1}{2}$$，代入得：
$$8 t = 15 \cdot \frac{t^2 - 1}{2} \Rightarrow 16 t = 15 t^2 - 15$$
整理得：
$$15 t^2 - 16 t - 15 = 0$$
解得：
$$t = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 900}}{30} = \frac{16 \pm \sqrt{1156}}{30} = \frac{16 \pm 34}{30}$$
因为 $$\alpha \in (0, \pi)$$，所以 $$t \in [-1, \sqrt{2}]$$，故 $$t = \frac{5}{3}$$ 舍去，取 $$t = -\frac{3}{5}$$。
计算 $$\sin \alpha - \cos \alpha$$：
$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \cdot \frac{t^2 - 1}{2} = 2 - t^2 = 2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{41}{25}$$
因为 $$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{t^2 - 1}{2} = \frac{\frac{9}{25} - 1}{2} = -\frac{8}{25} < 0$$，所以 $$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，$$\sin \alpha - \cos \alpha > 0$$，故：
$$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{\sqrt{41}}{5}$$
故选 A。
9. 解析：
化简函数：
$$f(x) = 2 \sin x - 3 \cos^2 x - \cos x - 2 \sin 2x + 3$$
利用 $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$：
$$f(x) = 2 \sin x - 3 (1 - \sin^2 x) - \cos x - 4 \sin x \cos x + 3$$
$$= 2 \sin x - 3 + 3 \sin^2 x - \cos x - 4 \sin x \cos x + 3$$
$$= 3 \sin^2 x + 2 \sin x - \cos x - 4 \sin x \cos x$$
设 $$\sin x = t$$，$$\cos x = \sqrt{1 - t^2}$$（因为 $$x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$），则：
$$f(x) = 3 t^2 + 2 t - \sqrt{1 - t^2} - 4 t \sqrt{1 - t^2}$$
求导或观察极值点较为复杂，直接代入端点：
- 当 $$x = 0$$ 时，$$f(0) = 0 + 0 - 1 - 0 = -1$$；
- 当 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 时，$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 + 2 - 0 - 0 = 5$$；
进一步检查极值点，可能需要数值方法，但选项中最小值为 $$-1$$，故选 D。
10. 解析：
由韦达定理：
$$\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{m}{4}$$
平方第一式：
$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{6}{4} \Rightarrow 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{2}$$
所以：
$$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$$
因此：
$$m = 1$$
计算 $$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$$：
$$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^3 - 3 \sin \alpha \cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)$$
$$= \left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^3 - 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$
$$= -\frac{6 \sqrt{6}}{8} + \frac{3 \sqrt{6}}{8} = -\frac{3 \sqrt{6}}{8}$$
故选 C。
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